Sezione Mathesis
Pesaro
Le geometrie
non euclidee
Paola Fulgenzi
Janna Nardi
Floriana Paternoster
Novembre 2011
“La matematica non è altro che il lato esatto del nostro pensiero”
Luitzen Egbertus Jan Brouver
Euclide
In una teoria
assiomatica moderna
Definisce gli enti geometrici dando una descrizione
idealizzata di oggetti che ci
circondano e che fanno
parte della nostra esperienza immediata.
Termini primitivi sono
quegli enti che si sceglie di
non definire e che servono
da punto di partenza per la
definizione degli altri enti
In modo analogo i postulati o assiomi descrivono il
comportamento evidente e
facilmente sperimentabile
degli oggetti geometrici.
Assiomi sono quelle
proposizioni che si sceglie di
non dimostrare e che
servono da punto di
partenza per dimostrare tutti
i teoremi
Storia di un postulato
Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.) fondano la geometria del
piano su cinque postulati che possiamo così riassumere:
I
II
III
IV
V
E’ possibile condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto
E’ possibile prolungare illimitatamente una retta
finita in una retta
E’ possibile descrivere un cerchio con centro e
distanza qualsiasi
Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro
…..
V postulato
Se una retta (r), intersecando due altre rette (s, t), forma
con esse, da una medesima parte, angoli coniugati interni
la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste
due rette illimitatamente prolungate si incontrano dalla
parte detta.
α
s
r
β
t
V postulato altra formulazione
Dati in un piano una retta e un punto fuori di essa, esiste
nel piano una e una sola retta passante per il punto e
parallela alla retta data.
P
s
t
Due rette parallele tagliate da
una trasversale formano angoli
corrispondenti congruenti, alterni
congruenti e coniugati
supplementari.
Somma degli angoli interni di un triangolo
nel piano euclideo
Punto nero
Per secoli i matematici hanno ritenuto che il quinto postulato dovesse essere una
conseguenza dei primi quattro e si sono adoperati, inutilmente, per dimostrarlo.
I primi quattro postulati sembravano godere di una maggiore evidenza; nel
quinto postulato entrava infatti in gioco una proprietà che non è verificabile
se si è in una regione finita di piano (dire che due rette sono parallele
equivale a dire che non si incontrano per quanto possano essere prolungate)
e quindi non così evidente.
EUCLIDE EVITA finché gli è possibile di utilizzare questo postulato.
Dimostra i primi 28 teoremi senza di esso, MA senza di esso non si
possono dimostrare teoremi basilari come:
• il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
(uguale a un angolo piatto)
• il teorema di Pitagora
• i teoremi sulla similitudine delle figure piane
L’esistenza di rettangoli e quadrati
Tentativi di dimostrazione del
V postulato
Era assolutamente necessario liberare, emendare,
purificare l'opera di Euclide da tale macchia, da tale neo.
Nei secoli si sono susseguiti numerosi tentativi ma
il contributo più significativo è di Gerolamo Saccheri con
l’opera:
Euclides ab omni naevo vindicatus
(Euclide liberato da ogni neo)
Gerolamo Saccheri (1667-1733)
IDEA: dimostrazione del V postulato a contrariis
cioè a partire dalla negazione di esso, ma
accettando gli altri 4 postulati
se la NEGAZIONE durante la dimostrazione
porterà a qualcosa di FALSO o ASSURDO
V postulato VERO
lo avremo dimostrato
è un teorema
Quadrilatero birettangolo isoscele: quadrilatero di base AB
su cui si costruisce perpendicolarmente ad essa due lati di
uguale lunghezza AC e BD
Dimostra che gli angoli in C e D sono uguali
servendosi delle proprietà dei triangoli
congruenti mostrate da Euclide senza usare il
V postulato.
gli angoli in C e D sono uguali a 90° (angolo retto)
gli angoli in C e D sono maggiori di 90° (angolo ottuso)
gli angoli in C e D sono minori di 90° (angolo acuto)
Nel primo caso riesce a provare la validità del V postulato, in quanto
l’accettazione di questo implica che C e D siano angoli retti.
L’ipotesi dell’angolo ottuso è completamente falsa, perché distrugge
se stessa in quanto incompatibile con l’idea che ogni retta sia infinita.
Il terzo caso viene scartato perché poco intuitivo.
L'opera di Saccheri rappresenta un punto di svolta:
a. per aver aperto la strada (con la sua
dimostrazione per assurdo) alla possibilità di
ipotizzare la non validità del V postulato
b. per aver inaugurato, involontariamente, la sintesi
effettiva delle Geometrie Non Euclidee
c. per l’idea di fondare la validità di una geometria
sulla sua non contraddittorietà logica (e non
sull'evidenza intuitiva)
Fu solo nel XIX secolo (anni tra 1830-1860) a partire dai
lavori di Gauss, Lobačevskij e Bolyai che il problema
trovò una soluzione definitiva.
Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Nicolai Ivanovich
Lobachevsky
(1793- 1856)
Jànos Bolyai
(1802-1860)
In seguito altri matematici hanno creato ulteriori geometrie no
Euclidee e nuovi modelli di tali geometrie
Bernhard Riemann
1826 - 1866
Eugenio Beltrami
1835 - 1900
Felix Klein
1849 - 1925
Henri Poincarè
1854 - 1912
Sulla cosiddetta geometria
non euclidea (1871)
Nel V postulato nulla si dice sul piano. Esso è finito o
infinito? I falliti tentativi della dimostrazione del v
postulato non esclusero l’esistenza di percorsi
dimostrativi non ancora trovati. Qualcuno si pose la
domanda: se si abbandona il V postulato, cosa
succede?
Nella prima metà del 1800 cambiò l’ottica con cui si
affrontò il problema.
N. J. Lobacevskij, Sui principi della Geometria, 1829
e Nuovi principi della Geometria, 1836
Costruisce una geometria che definisce immaginaria partendo dal
seguente assunto:
Retta r, punto P esterno
2 rette per P parallele ad r,
infinite non secanti r,
infinite secanti
secanti
P
s
parallela
non secanti
non secanti
parallela
secanti
r
La geometria immaginaria di Lobaceskij include come caso
particolare la geometria di Euclide, quando le due parallele
vengono a coincidere e tutte le altre rette sono secanti
s
P
r
Tra le conseguenze più rilevanti di questo nuovo postulato …
In ogni triangolo rettilineo la somma dei tre
angoli non può superare due angoli retti
ossia è minore o uguale a 180°
Geometria di Riemann
B.Riemann, Sulle ipotesi che stanno a fondamento della
geometria, 1854, ammette la possibilità, sino ad allora
sempre rigettata, di una ulteriore geometria nella quale
non esistono rette parallele: tutte le rette si
incontrano.
…”È un errore - dice Riemann - confondere l’illimitatezza
con l'infinità dello spazio; il primo concetto è infatti relativo
all'estensione, cioè è un concetto qualitativo; il secondo
invece è relativo alla misura, cioè è un concetto
quantitativo. Sicché si può ipotizzare uno spazio che sia
insieme illimitato e finito; e quindi una retta che sia,
ugualmente, illimitata e finita. Nel caso della retta, essa
risulterà quindi chiusa.”
Riemann parte dal seguente ASSUNTO:
Per un punto esterno ad una retta
data NON passa alcuna parallela
Conseguenza:
La somma degli angoli interni in
un triangolo è maggiore di 180°
A questo punto introduciamo il concetto di:
Geodetica
Su una superficie qualsiasi il percorso più breve che unisce
due punti si chiama geodetica, PQ arco di geodetica
piano
P
Q
superficie
Q
geodetica
P
retta
Modello di Riemann
La sua geometria è detta ellittica, ma si fa comunque riferimento alla
superficie sferica perché più intuitiva.
Superficie sferica
Piano
• Punto del piano
• Retta del piano
• Per due punti passa una retta
• Per un punto esterno a una
retta passa una e una sola
parallela alla retta data
Punto sulla sfera
Circonferenza max (geodetica)
Per due punti passa almeno
una circonf. max
Non esistono rette parallele
Ma allora…
E il piano euclideo in cui ci sembra di vivere?
Triangoli e quadrati sulla
superficie sferica
Piano euclideo come caso limite
•Nella geometria di Lobačeviskij (geometria iperbolica)
si mostra che si possono costruire geometrie in cui non
vale l’unicità: “per un punto P non appartenente ad una
retta r si può condurre più di una parallela alla retta
data (modello di Klein)”.
•Nella costruzione geometrica proposta da Riemann
(geometria sferica) non vale l’esistenza: “per un punto
P non appartenente ad una retta r non si può condurre
alcuna parallela alla retta data”.
Curvatura nel piano
Dato R il raggio di una curva in un
punto si dice curvatura in quel
punto 1/R.
Curvatura nello spazio
Data una superficie tridimensionale e
considerato un punto P su di essa si
prendono due piani perpendicolari in
P alla superficie. La curvatura della
superficie in P è il prodotto delle
curvature delle curve ottenute
dall’intersezione dei piani con la
superficie.
Curvature positive, negative e nulle
Geometria Euclidea
La sistemazione definitiva
dell’argomento viene da Klein
attraverso la classificazione
delle geometrie in tre classi
fondamentali
Geometria Ellittica
È la geometria delle
superfici a
curvatura nulla
Vale l’assioma
dell’esistenza e
unicità della
parallela. La
somma degli angoli
interni di un
triangolo è uguale
ad un angolo piatto
È la geometria delle
superfici a
curvatura positiva
( Riemann) . In
essa non esistono
rette parallele. La
somma degli angoli
interni di un
triangolo è
maggiore di un
angolo piatto
Geometria iperbolica
È la geometria
delle superfici a
curvatura
negativa
(Lobacevskij). Per
un punto esterno
ad una retta vi
sono più parallele.
La somma degli
angoli interni di un
triangolo è minore
di un angolo piatto
Si hanno tre casi differenti a seconda che la curvatura sia
positiva, negativa o nulla
Geometria
Somma degli
Rapporto tra
circonferenza e
diametro del cerchio
Numero di
angoli interni
Curvatura
parallele di un triangolo
Iperbolica
Lobacevskij
<0
Infinite
< 180°
>π
Parabolica
Euclide
=0
Una
= 180°
=π
Ellittica
Riemann
>0
Nessuna
> 180°
<π
Modello di Beltrami
Il matematico Eugenio Beltrami presentò il primo
modello di geometria non euclidea (1868, modello della
geometria piana immaginaria di Lobacevskij).
trattrice
Curva in cui i segmenti di tangenza
hanno lunghezza costante
pseudosfera
Superficie a
curvatura negativa
α + β + γ < 180°
Traduzione
Piano di Lobacevskij
• Regione finita di piano
Pseudosfera di Beltrami
Regione di superficie pseudosferica
• Punto del piano
Punto della superficie
• Retta del piano
Geodetica
• Due punti determinano una retta
•
• Per un punto esterno a una retta
passano infinite rette parallele a
quella data
Due punti determinano una
geodetica
Per un punto esterno ad una
geodetica passano infinite
geodetiche che non incontrano
quella data
r
Modello di Klein (di geometria
iperbolica)
P
C
M
A
B
Q
• Sia C un cerchio privato della
circonferenza, i “punti” sono
i punti di tale cerchio, mentre
le “rette” siano le corde della
stesso cerchio.
• Considerando la retta AB, un
punto M fuori da essa,
esistono
infinite
rette
passanti per M che non
intersecano AB, che sono
rappresentate da tutte le
corde per M che intersecano
gli archi AP e BQ di C.
piano
punto
retta
punti interni ad una conica (una circonferenza;
quindi cerchio privato della circonferenza)
punto interno al cerchio
corda del cerchio
Due punti determinano una retta (BQ, AP
semirette; AB segmento)
Per un punto passano infinite rette
Per un punto esterno a una retta passano
infinite rette che non la intersecano
parallela
semipiano
CP e CQ, rette separatrici delle
rette secanti da quelle non secanti,
sono le parallele a PQ
Somma angoli di un triangolo < 180°
secante
Felix Klein
1871- Sulla cosiddetta geometria non euclidea
1872- Il programma di Erlangen
Opera un’accurata e profonda riorganizzazione e
classificazione di tutta la geometria
Una geometria euclidea o parabolica è quella in cui per
un punto esterno ad una retta passa una sola parallela.
Una geometria di Lobacevskij o iperbolica è quella in cui
per un punto esterno ad una retta passa più di una parallela.
Una geometria di Riemann o ellittica è quella in cui per un
punto esterno ad una retta non passa alcuna parallela.
Modello di Poincaré (geometria iperbolica)
piano
punto
retta
cerchio privato della circonferenza
punto interno al cerchio
diametro oppure un arco di circonferenza, interno al
cerchio e ortogonale alla circonferenza che lo delimita
Per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele a
quella data (che non la intersecano)
la somma degli angoli di un triangolo è sempre
minore di 180° e varia da triangolo a triangolo
Se A e B giacciono su un
diametro, le parallele asintotiche
ad AB per P saranno quelle in
rosso nel disegno (i punti Y* e
X* non esistono per gli abitanti
di C). Tutte le rette passanti per
P e con un estremo compreso
tra X* e Z* e l’altro tra Y* e W*
come quella in verde nel
disegno sono dette parallele
divergenti.
Le rette secanti per P sono
quelle che invece hanno un
estremo compreso tra Z* e W*
(In grigio nel disegno).
Esempi di rette parallele ad una retta data
Un cerchio di
centro D
Un cerchio di centro
O, due diametri tra
di loro perpendicolari e il quadrato
inscritto
Un ottagono
regolare e il
cerchio ad esso
circoscritto
Maurits Cornelis Escher (1898 –1972) incisore e grafico olandese
Il problema della coerenza di un sistema
ipotetico-deduttivo
Qual è la geometria vera?
Ha senso questa domanda?
Com’è possibile trovare una risposta?
Sono tutte domande che sorsero nella seconda metà dell’800 e, per
provare la coerenza degli assiomi da cui deriva una geometria si
pensò di fornire dei modelli reali di quella geometria:
Klein provò che se ci fossero contraddizioni logiche all’interno delle
geometrie non euclidee, queste dovrebbero trovarsi già nella
geometria euclidea
quindi
la coerenza delle geometrie non euclidee è strettamente
legata a quella della geometria euclidea
Mutamenti nel pensiero
matematico
La scoperta dei modelli di Klein e di Riemann.
portarono, tra l’altro, ai seguenti mutamenti nel
pensiero matematico:
fu risolto il problema millenario delle parallele;
furono scoperte le geometrie non euclidee;
si passò dal concetto classico di assioma ”relazione
o proprietà evidente” al principio di non
contraddittorietà.
Conseguenze di tali
mutamenti
Per creare le geometrie non euclidee la mente umana è
dovuta andare oltre l’abitudine, l’intuizione, la percezione
dei sensi.
Lo spazio fisico fu separato dallo spazio matematico.
Non esiste una geometria “migliore” di un’altra ma solo
più utile o più adatta ai dati sperimentali.
Ma la Geometria non-euclidea ha una qualche
utilità?
I matematici sviluppano le loro teorie indifferenti ad un uso pratico delle
stesse. Spesso accade che dopo molti anni tali teorie vengano ripescate
e altri studiosi le applichino in campi sino a poco tempo prima impensabili.
Le geometrie non-euclidee sono state “un passatempo” per i matematici o
hanno trovato una loro utilità?
Nella teoria della relatività, i raggi di luce non viaggiano nello spazio lungo
rette euclidee ma secondo geodetiche, cioè linee curve. Le masse
presenti nel cosmo deviano il cammino dei raggi luminosi che passano
vicini ad esse. Ma le particelle luminose che costituiscono i raggi di luce, i
fotoni, non hanno massa e quindi non sono soggetti ad attrazione. Le
geodetiche dello spazio sono come i binari per un treno e i fotoni
viaggiano su di esse.
Se binari curvano, il treno curva.
Il fenomeno cosmologico riportato in figura fu previsto da Einstein attraverso
la teoria della relatività, e fu osservato dagli astronomi durante l’eclissi totale
di sole nel 1919
Come si può immaginare una mappa della rete internet?
Di un sito è necessario rappresentare il numero delle pagine contenute, il
numero dei link che collegano con il sito, il numero dei siti che portano da
questo ad altri siti.
La struttura di un sito è a piramide con al vertice la Homepage
e a cascata le pagine meno generali
Si può immaginare una mappa di internet costruita in uno spazio
iperbolico, contenuto all’interno di una sfera, dove tutto ciò che è
vicino al centro della sfera appare di proporzione normale mentre ciò
che via via si allontana appare più piccolo e distorto.
I modelli cosmologici di
Alexander Fridman
Eistein vede l’universo come
statico, ma nel 1922 il
matematico russo Alexander
Fridman scopre che le equazioni
della relatività generale
ammettono anche soluzioni
dinamiche e cioè un universo in
espansione.
E negli stessi anni le osservazioni
di E. Hubble confermano
l’espansione dell’universo.
I tre modelli cosmologici di Fridman
Secondo Fridman esistono tre principali modelli cosmologici:
1. Modello iperbolico: la geometria del cosmo in grande è
quella di Lobacevskij; l’epansione dell’universo continuerà
all’infinito, accelerando.
2. Modello euclideo: la geometria è euclidea e l’espansione
continuerà all’infinito, ma in modo equilibrato.
3. Modello ellittico: la geometria è quella di Riemann;
l’espansione dell’universo finirà e subentrerà una
contrazione fino al collasso dell’universo in un solo punto
(big crunch).
Non c’è una geometria privilegiata rispetto ad un’altra, ma solo più
utile dal punto di vista pratico. La relatività dice che non c’è un
sistema di riferimento privilegiato rispetto ad un altro.
Einstein ha scritto sulla relatività (la prima) nel 1905. Il quadro di
Picasso “Les damoiselles d’Avignon” è del 1907: in esso non c’è
un unico punto di vista. Forse senza questa matematica e senza la
relatività, Picasso non lo avrebbe mai dipinto.
Bibliografia
M.Kline, La matematica nella cultura occidentale, Feltrinelli, 1976
R.Trudeau, La rivoluzione non euclidea, Bollati Boringhieri, 2004
R.Courant, H.Robbins, Che cos’è la matematica?, Bollati Boringhieri,
2003
E.Agazzi, D.Palladino, La geometria non euclidea e i fondamenti della
geometria, A.Mondadori 1978 (1988 )
http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria_sulla_sfera
http://matematica.it
http://progettomatematico.dm.unibo.it/NonEuclidea
http://math.unipa.it/
http://dif.unige.it/epi/hp/pal/NonEucl
http://digilander.libero.it/zinabianca/modelli.html
http://liceomarconi.it/Mat_didattico/mat_fis_scie
http://GabrieleMartufi.altervista.org/matematica.html
Le tre geometrie vengono definite da Klein
Parabolica (Euclidea) – la parabola ha un solo punto all’infinito – una parallela
Iperbolica (Lobacevskij) – l’iperbole ha due punti all’infinito – due parallele
Ellittica (Riemann) – l’ellisse non ha nessun punto all’infinito – nessuna parallela
parabola
Punto all’infinito
iperbole
Punto all’infinito
Punto all’infinito
ellisse
Gauss fu il più completo precursore delle Geometrie non Euclidee;
probabilmente per primo (1831), giunse alla concezione chiara di
una geometria indipendente dal V postulato, ne sviluppò molti
dettagli e pervenne alla convinzione della sua non contradditorietà
logica. Egli arrivò a questa conclusione dopo venti anni di sporadici
tentativi di dimostrare il V postulato, durante gli anni successivi
condusse delle ricerche sulla nuova geometria e scoprì un certo
numero di teoremi.
