Modelli politropici
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Richiamiamo alle equazioni di struttura:
dr
1
2
dM 4r
dL
dM
dP
GM
4
dM
4r
dT
3 R L
dM 64 2 r 4T 3
Con condizioni al contorno:
R=0, L=0 a M=0
=0, T=0 a M=Ms
A queste vanno aggiunte 3 relazioni per P, , (assumendo che 1) il
materiale stellare si comporta come un gas ideale con pressione di
radiazione trascurabile, e 2) che le leggi per l’opacità e la generazione di
energia siano approssimabili da leggi di potenza)
P
T
0 T
0 T
Dove , , sono costanti e 0 e 0 sono costanti
per una fissata composizione chimica.
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Cos’è un modello stellare semplificato
• Le equazioni di struttura stellare sono 7, non lineari, accoppiate e quindi devono
essere risolte simultaneamente. Hanno due punti con condizioni al contorno definite.
• Soluzioni semplici (cioe’ analitiche) si basano sull’assunzione che esistano delle
quantità che variano lentamente dal centro della stella fino alla superficie e che quindi
dipendano poco da r o m. - E’ difficile trovare tali quantità. Ad esempio, T varia di 3
ordini di grandezza e P di 14! L’unica cosa che può essere assunta come uniforme è
la composizione chimica, nell’ipotesi che I processi convettivi rimescolino il contenuto
della stella.
• Modelli politropici: si utilizza una relazione semplice tra la pressione e la densità
e si assume che sia valida su tutta la stella. Allora le equazioni per l’equilibrio
idrostatico e la conservazione della massa possono essere risolte
indipendentemenete dalla altre 5.
• Prima dell’avvento dei computer, I modelli politropici giocavano un ruolo importante
nelle sviluppo delle teorie di struttura stellare.
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Modelli politropici
Si parte dall’equazione di equilibrio idrostatico (in funzione di r)
dP(r)
GM(r)(r)
dr
r2
d r 2 dP
dM
G
dr dr
dr
La si moltiplica per r2/ e si deriva rispetto ad r
A destra si sostituisce l’equazione di
conservazione della massa:
1 d r 2 dP
4 G
2
r dr dr
Si prende ora un’equazione di stato del tipo
P K K
n 1
n
Dove si assume per convenzione che l’indice adiabatico sia = 1+1/n, K
sia una costante mentre n è l’indice politropico. La pressione è funzione
della sola densità. Per i gas perfetti in genere si usa l’espressione:
P P( , T ) Questo implica una relazione tra pressione e Temperatura.
4
2
(n 1)K 1 d r d
n1
2
4nG r dr
dr
n
Si ottiene così la
seguente
equazione:
La soluzione di questa equazione differenziale per (r) con 0 ≤ r ≤ R è chiamata
politropa e richiede due condizioni al contorno (centro e superficie). Una
politropa è definita da 3 parametri: K, n, e R. Una volta risolta questa
calcolare le restanti quantità fisiche in funzione del raggio,
equazione, è possibile
come la pressione, l’energia, o la densità media.
Per trovare la soluzione, conviene introdurre una variabile adimensionale
definita tra 0 ≤ ≤ 1 con:
c
n
Tradizionalmente, c si assume la densità centrale
della stella.
Si arriva quindi alla equazione di Lane-Emden di indice n:
1 d 2 d
n 1
n
1/ n 1
dove
r
con
K
c
2
d d
4 G
1/ 2
5
Soluzioni dell’equazione di Lane-Emden
E’ possibile risolvere l’equazione analiticamente solo per 3 valori
dell’indice n
n 0,
n 1,
n 5,
2
1
6
sin
1
2 0.5
1 3
Queste soluzioni hanno le seguenti condizioni al contorno al centro:
d
0, 1 a 0
d
i.e. r=0 , =c
6
Soluzioni numeriche per
l’equazione di Lane-Emden
per (da sinistra a destra)
n = 0,1,2,3,4,5
Da confrontare con I casi
analitici noti
n 0,
n 1,
n 5,
2
1
6
sin
1
2 0.5
1 3
Le soluzioni decrescono monotonicamente e si ha=0 a = R (i.e. il raggio
della stella). Per n ≥ 5 si hanno casi non fisici di stelle di raggio infinito.
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Per n < 5 la soluzione diventa minore di 0 per un valore finito di e quindi si
può stimare il raggio R. . Nella tabella qui sotto sono riportati I valori dei
raggi stellare in funzione di n:
n
R
0
2.45
3.33 10-1
1
3.14
1.01 10-1
2
4.35
3
6.90
6.14 10-3
4
15.00
5.33 10-4
d
d R
2.92 10-2
n
r c
Dove:
Per n=0 stella a densità costante = c,per n=1 non dipende da c e quindi
il raggio non dipende da densità centrale.
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‘Taratura’ dei modelli politropi.
Prendiamo un modello con n=3 per il Sole (conosciuto come il modello
standard di Eddington). Per i dati sul Sole adottiamo il cosiddetto modello
standard del Sole (SSM - Bahcall 1998, Physics Letters B, 433, 1). Prima
di tutto convertiamo le quantità adimensionali raggio e densità a
quantità fisiche in m e kg m-3.
Per determinare il fattore di scala ricordiamo che alla superficie (=0)
abbiamo
R
R
Dove R è il valore del raggio stellare (il sole nel nostro caso)mentre R èil
valore di alla superficie.
I dati dell’SSM sono disponibili al:
http://www.sns.ias.edu/~jnb/SNdata/solarmodels.html
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Ora bisogna determinare la massa in funzione del raggio. L’equazione
di conservazione della massa dà:
dM
4r 2
dr
Integrando e sostituendo: r = e = c n
R
R
M 4 r dr 4 c 2 n d
2
0
3
0
d
Ricordando che l'equazione Lane-Emden ha la forma:
2 n d
0
d
La massa della stella in funzione del raggio diventa:
2
d
M 4 3 c R2
d R
Supponiamo di sapere M e R allora possiamo ricavare un’espressione per
la struttura interna:
med
3M sol
3M sol
1 d
3c
3
3 3
d
4 Rsol 4 sol
sol
Da cui si ricava c
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in funzione di e quindi
= c n e la pressione P = K (n+1)/n. K può
Sapendo e c si può calcolare la Massa
di r (r = ), la densità
essere determinato direttamente dall’equazione
Infine, la Temperatura può essere ottenuta
eguagliando l’equazione di stato di un gas
perfetto con l’equazione di stato politropa:
P T / mH K c( n 1) / n n 1 e quindi
(n 1)K 1 d r 2 d
4nG r 2 dr n1
dr
n
T=m H c1/ n / K
In figura, il modello politropo per il
Sole con n=3 viene confrontato con il
modello standard. L’accordo è
particolarmente buono in prossimità
del centro della Sole buono mentre
nelle regioni esterne convettive la
differenza è significativa.
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Nella tabella vengono riportati per confronto I valori ottenuti tramite il
modello politropo e il modello standard:
n=3
SSM
c
7.65 104
kgm-3
1.52 105
kgm-3
Pc
1.25 1016
Nm-2
2.34 1016
Nm-2
Tc
1.18 107 K
1.57 107
K
12
