Modelli politropici

Modelli politropici
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Richiamiamo alle equazioni di struttura:
dr
1
 2
dM 4r 
dL

dM
dP
GM
 4
dM
4r
dT
3 R L

dM 64 2 r 4T 3
Con condizioni al contorno:
R=0, L=0 a M=0
=0, T=0 a M=Ms
A queste vanno aggiunte 3 relazioni per P, ,  (assumendo che 1) il
materiale stellare si comporta come un gas ideale con pressione di
radiazione trascurabile, e 2) che le leggi per l’opacità e la generazione di
energia siano approssimabili da leggi di potenza)
P
 T

   0  T 
   0 T 
Dove , ,  sono costanti e 0 e 0 sono costanti
per una fissata composizione chimica.
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Cos’è un modello stellare semplificato
• Le equazioni di struttura stellare sono 7, non lineari, accoppiate e quindi devono
essere risolte simultaneamente. Hanno due punti con condizioni al contorno definite.
• Soluzioni semplici (cioe’ analitiche) si basano sull’assunzione che esistano delle
quantità che variano lentamente dal centro della stella fino alla superficie e che quindi
dipendano poco da r o m. - E’ difficile trovare tali quantità. Ad esempio, T varia di 3
ordini di grandezza e P di 14! L’unica cosa che può essere assunta come uniforme è
la composizione chimica, nell’ipotesi che I processi convettivi rimescolino il contenuto
della stella.
• Modelli politropici: si utilizza una relazione semplice tra la pressione e la densità
e si assume che sia valida su tutta la stella. Allora le equazioni per l’equilibrio
idrostatico e la conservazione della massa possono essere risolte
indipendentemenete dalla altre 5.
• Prima dell’avvento dei computer, I modelli politropici giocavano un ruolo importante
nelle sviluppo delle teorie di struttura stellare.
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Modelli politropici
Si parte dall’equazione di equilibrio idrostatico (in funzione di r)
dP(r)
GM(r)(r)

dr
r2
d r 2 dP 
dM

 G
dr  dr 
dr
La si moltiplica per r2/ e si deriva rispetto ad r
A destra si sostituisce l’equazione di
conservazione della massa:
1 d r 2 dP 

 4 G
2
r dr  dr 
Si prende ora un’equazione di stato del tipo
P  K   K 
n 1
n
Dove si assume per convenzione che l’indice adiabatico sia = 1+1/n, K
sia una costante mentre n è l’indice politropico. La pressione è funzione
della sola densità. Per i gas perfetti in genere si usa l’espressione:
P  P(  , T ) Questo implica una relazione tra pressione e Temperatura.
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 2

(n  1)K 1 d  r d 
 
n1
2


4nG r dr
dr
n


Si ottiene così la
seguente
equazione:
La soluzione di questa equazione differenziale per (r) con 0 ≤ r ≤ R è chiamata
politropa e richiede due condizioni al contorno (centro e superficie). Una
politropa è definita da 3 parametri: K, n, e R. Una volta risolta questa
 calcolare le restanti quantità fisiche in funzione del raggio,
equazione, è possibile
come la pressione, l’energia, o la densità media.
Per trovare la soluzione, conviene introdurre una variabile adimensionale 
definita tra 0 ≤  ≤ 1 con:
  c
n
Tradizionalmente, c si assume la densità centrale
della stella.
Si arriva quindi alla equazione di Lane-Emden di indice n:
1 d  2 d 
 n 1
n
1/ n 1 




dove
r


con


K

c


2


 d  d 
 4 G
1/ 2
5
Soluzioni dell’equazione di Lane-Emden
E’ possibile risolvere l’equazione analiticamente solo per 3 valori
dell’indice n
n  0,
n  1,
n  5,
 2 
  1  
 6 
sin 


1

  2 0.5
1 3 


Queste soluzioni hanno le seguenti condizioni al contorno al centro:
d
 0,   1 a   0
d
i.e. r=0 , =c
6
Soluzioni numeriche per
l’equazione di Lane-Emden
per (da sinistra a destra)
n = 0,1,2,3,4,5
Da confrontare con I casi
analitici noti
n  0,
n  1,
n  5,
 2 
  1  
 6 
sin 


1

  2 0.5
1 3 


Le soluzioni decrescono monotonicamente e si ha=0 a = R (i.e. il raggio
della stella). Per n ≥ 5 si hanno casi non fisici di stelle di raggio infinito.
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Per n < 5 la soluzione diventa minore di 0 per un valore finito di  e quindi si
può stimare il raggio R. . Nella tabella qui sotto sono riportati I valori dei
raggi stellare in funzione di n:
n
R
0
2.45
3.33  10-1
1
3.14
1.01  10-1
2
4.35
3
6.90
6.14  10-3
4
15.00
5.33  10-4
d 
 
d   R

2.92  10-2
n
r     c
Dove:
Per n=0 stella a densità costante  = c,per n=1  non dipende da c e quindi
il raggio non dipende da densità centrale.


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‘Taratura’ dei modelli politropi.
Prendiamo un modello con n=3 per il Sole (conosciuto come il modello
standard di Eddington). Per i dati sul Sole adottiamo il cosiddetto modello
standard del Sole (SSM - Bahcall 1998, Physics Letters B, 433, 1). Prima
di tutto convertiamo le quantità adimensionali raggio  e densità  a
quantità fisiche in m e kg m-3.
Per determinare il fattore di scala  ricordiamo che alla superficie (=0)
abbiamo

R
R
Dove R è il valore del raggio stellare (il sole nel nostro caso)mentre R èil
valore di  alla superficie.
I dati dell’SSM sono disponibili al:
http://www.sns.ias.edu/~jnb/SNdata/solarmodels.html
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Ora bisogna determinare la massa in funzione del raggio. L’equazione
di conservazione della massa dà:
dM
 4r 2 
dr
Integrando e sostituendo: r =  e  = c n
R
R
M   4 r  dr  4 c   2 n d
2
0
3
0

d
Ricordando che l'equazione Lane-Emden ha la forma: 
    2 n d 
0
d
 La massa della stella in funzione del raggio diventa:
2
 d 
M  4 3  c R2  
 d    R
Supponiamo di sapere M e R allora possiamo ricavare un’espressione per
la struttura interna:
med
3M sol
3M sol
 1 d 


 3c 

3
3 3

d

4 Rsol 4  sol

 sol
Da cui si ricava c
10
in funzione di  e quindi
 = c  n e la pressione P = K  (n+1)/n. K può
Sapendo  e c si può calcolare la Massa
di r (r = ), la densità
essere determinato direttamente dall’equazione
Infine, la Temperatura può essere ottenuta
eguagliando l’equazione di stato di un gas
perfetto con l’equazione di stato politropa:
P T  / mH   K  c( n 1) / n n 1 e quindi


(n  1)K 1 d  r 2 d 
 

4nG r 2 dr  n1
dr
 n


T=m H c1/ n / K
In figura, il modello politropo per il
Sole con n=3 viene confrontato con il
modello standard. L’accordo è
particolarmente buono in prossimità
del centro della Sole buono mentre
nelle regioni esterne convettive la
differenza è significativa.
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Nella tabella vengono riportati per confronto I valori ottenuti tramite il
modello politropo e il modello standard:
n=3
SSM
c
7.65  104
kgm-3
1.52  105
kgm-3
Pc
1.25  1016
Nm-2
2.34  1016
Nm-2
Tc
1.18  107 K
1.57  107
K
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