Inferenza Statistica
Le componenti teoriche dell’Inferenza Statistica sono:
la teoria dei campioni
la teoria della probabilità
la teoria della stima dei parametri
la teoria della verifica delle ipotesi
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Stima dei parametri e Verifica delle ipotesi
La Stima dei parametri consente di conoscere, su basi
probabilistiche, le caratteristiche di una popolazione mediante
informazioni ottenute dal campione
La Verifica delle ipotesi permette, sempre sulla base
delle informazioni ottenute mediante un campione, di non
respingere o di respingere l’attendibilità di ipotesi, formulate
intorno ai parametri di variabili di una popolazione
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Per la stima dei parametri…..
Nel caso di dati quantitativi continui, estratto un campione di dimensione
appropriata, per stimare i parametri di una variabile di una popolazione:
se la variabilità della popolazione di riferimento è nota ed il campione è
sufficientemente numeroso, ci avvaliamo della distribuzione di Gauss
standardizzata
se la variabilità della popolazione di riferimento non fosse nota, nel caso di
campioni numerosi, (almeno 100 unità), si considererebbe possibile riferirsi
comunque alla distribuzione di Gauss standardizzata, rappresentativa delle
distribuzioni di probabilità normali, nelle quali si identificano la maggior parte
dei fenomeni biologici
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Stima puntuale e stima intervallare
per stimare il parametro μ di una popolazione, mediante la
media x di un campione ci avvaliamo delle seguenti
procedure:
stima puntuale
stima intervallare
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Stima puntuale
STIMA PUNTUALE
eseguiamo il calcolo di un singolo valore (puntuale),
che stima il parametro della popolazione.
n
x
x
i 1
i
n
L’attendibilità della stima si riferisce solamente al
campione prescelto
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Errore standard della media
L’errore campionario si quantifica come stima della deviazione
standard dalla media in un ampio numero di campioni, tratti dalla
stessa popolazione
Per questo, occorre un indice che quantifichi la variabilità di
ciascuna di queste medie, rispetto alla media di tutte queste medie
SE
n
la media di questa distribuzione delle medie campionarie tenderà a coincidere
con la media della popolazione (μ)
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Teorema del limite centrale
se il campione è sufficientemente numeroso,
la distribuzione di tutte le medie
calcolate su tutti i possibili campioni estraibili dalla popolazione,
tenderà a distribuirsi normalmente
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INTERVALLO DI CONFIDENZA
l’intervallo di confidenza è un intervallo di valori che probabilmente
racchiude quello vero, ma non conosciuto, della media della popolazione
stabilendo la probabilità di errore che il ricercatore è
disposto a correre come:
α =0,05
per costruire l’intervallo fiduciario al 95%, ci
riferiamo al 95% dei valori centrali della distribuzione
normale standardizzata, che corrisponde all’area
delimitata da ±1,96 sulla curva di Gauss
standardizzata
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Intervallo al 95%...
se campionassimo ripetutamente una
variabile di una popolazione, il 95% degli
intervalli di confidenza avrebbe la
probabilità di catturare il valore medio
della variabile della popolazione
In una distribuzione
normale
standardizzata…
-4
-3
-2
-1
0
95%
1
2
3
4
( 1,96)
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Valori critici
INTERVALLO DI CONFIDENZA
l’intervallo di confidenza si costruisce sulla media campionaria puntuale ed è stimato
come:
x ± 1,96 • ES
(1.96 se alfa=0.05 e la distribuzione è normale)
il concetto di “l’intervallo di confidenza" si basa sul concetto di ripetizione dell’ indagine
intrapresa.
Se l’indagine fosse ripetuta su 100 campioni, dei 100 intervalli di confidenza costruiti
ciascuno su ogni campione, il 95% degli intervalli avrebbe la probabilità di racchiudere
il parametro μ della popolazione
infatti, stabilita la probabilità α = 0,05
z0,025 , corrispondente a - 1,96 deviazioni standard, è quel valore che isola il 2,5% dei
valori compresi nell’area sotto la curva (cosiddetta area di rifiuto, a sinistra del valore medio),
pari alla probabilità prefissata α, che dal campione estratto, possa essere calcolato un
intervallo di confidenza in cui il parametro μ della popolazione non sia racchiuso
z0,975 , corrispondente a +1,96 deviazioni standard, che individua il 95% dell’area sotto
la curva in cui il parametro μ della popolazione è probabilmente racchiuso, isolando il 2,5%
dei valori compresi nell’area sotto la curva (cosidetta area di rifiuto a destra del valore medio)
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Calcolo degli intervalli di confidenza per la media
di una popolazione
Nella valutazione del parametro
μ, per tutte le distribuzioni normali con numerosità
superiore a 30 unità e varianza nota, possiamo riferirci alla distribuzione normale
standardizzata con una livello di probabilità, stabilita generalmente con α = 0,05 (95%)
oppure = 0,01 (99%)
previa il necessario calcolo dell’errore standard calcoliamo l’intervallo di confidenza per la
media della popolazione
μ 95 x 1,96 SE
nel 95% dei casi, tra tutti i campioni estraibili dalla popolazione, sarà dunque
selezionato il campione il cui intervallo di confidenza conterrà la media della
popolazione un intervallo di confidenza del 99% è dato da:
μ 99 x 2,576 SE
nel 99% dei casi, tra tutti i campioni estraibili dalla popolazione, sarà dunque
selezionato il campione il cui intervallo di confidenza conterrà la media della
popolazione
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Intervalli di confidenza
-4
-3
-2
-1
0
95%
99%
1
2
3
4
(± 1,96)
(± 2,58)
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Esempio
Media calcolata su un campione di 60 casse di legno (n=60) dove viene misurata la
resistenza in giorni
= 185,7
x
σ = 14,6
per stimare l’intervallo al 95% e al 99% della media della popolazione:
14,6
SE
1,88
n
60
μ 95 x 1,960 SE
μ 99 x 2,576 SE
Variabile: Pressione Arteriosa
-----------------------------------------------------------Media
SE
Lim.inf.
Lim.sup.
-----------------------------------------------------------95,0 % di confidenza 185,7 1,88
182,015
189,385
-----------------------------------------------------------99,0 % di confidenza 185,7 1,88
180,857
190,543
-----------------------------------------------------------Valori critici
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