fine
Numeri figurati
Numeri
triangolari
fine
Abbiamo delle monete ...
e le disponiamo in modo da formare dei triangoli ...
Il numero di monete disposte in
modo opportuno a formare un
triangolo rappresenta un
fine
Costruiamo i numeri triangolari
Quante
monete?
1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
Quante
monete?
1
Il primo numero triangolare che indichiamo con
T1 = 1
… proseguiamo ...
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
Quante
monete?
1
T1 = 1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
Quante
monete?
1
T1 = 1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
Quante
monete?
1+1
T1 = 1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
Quante
monete?
1+1
T1 = 1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
Quante
monete?
1+2
T1 = 1
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
Quante
monete?
1+2
Il secondo numero triangolare che indichiamo
con
T2 è uguale alla somma dei primi
due numeri naturali
T1 = 1
T2 = 3
… proseguiamo ...
fine
Costruiamo i numeri triangolari
Partiamo da T2 che
abbiamo già costruito
T1
T2
Quante
monete?
1+2
T1 = 1
T2 = 3
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
T2
Quante
monete?
1+2+1
T1 = 1
T2 = 3
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
T2
Quante
monete?
1+2+2
T1 = 1
T2 = 3
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
T2
Quante
monete?
1+2+3
T1 = 1
T2 = 3
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
T2
Quante
monete?
1+2+3
T1 = 1
T2 = 3
fine
Costruiamo i numeri triangolari
T1
T2
Quante
monete?
1+2+3
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
Il terzo numero triangolare che indichiamo con
T3 è uguale alla somma dei primi
tre numeri naturali
… proseguiamo ...
fine
Quanto vale T4?
Partiamo da T3 che
abbiamo già costruito
T1
T2
T3
Quante
monete?
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
fine
Quanto vale T4?
Partiamo da T3 che
abbiamo già costruito
T1
T2
T3
Quante
monete?
1+2+3
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
fine
Quanto vale T4?
T1
T2
T3
Quante
monete?
1+2+3+1
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
fine
Quanto vale T4?
T1
T2
T3
Quante
monete?
1+2+3+2
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
fine
Quanto vale T4?
T1
T2
T3
Quante
monete?
1+2+3+3
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
fine
Quanto vale T4?
T1
T2
T3
Quante
monete?
1+2+3+4
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
fine
Quanto vale T4?
Abbiamo aggiunto 4
monete per costruire T4
partendo da T3
T1
T2
T3
Quante
monete?
1+2+3+4
T4 è uguale alla somma dei primi
quattro numeri naturali
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
T4 = 10
fine
Riassumendo ...
T1
T2
T3
T4
… e poi?
1
3
6
10
fine
Riassumendo ...
T1
T2
T3
T4
T5
… e poi?
1
3
6
10
?
fine
Riassumendo ...
T1
T2
T3
T4
T5
T10
… e poi?
1
3
6
10
?
?
fine
Riassumendo ...
T1
T2
T3
T4
T5
T10
T17
… e poi?
1
3
6
10
?
?
?
fine
Riassumendo ...
T1
T2
T3
T4
T5
T10
T17
… e poi?
1
3
6
10
?
?
?
In generale, quanto vale TM?
fine
In generale, quanto vale TM?
Per avere TM, si deve costruire un triangolo avente
M monete come base e M monete in altezza
M
Quante
monete?
m
o
n
e
t
e
M monete
TM = ?
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5
monete come base e 5 monete in altezza
Prima strategia
Seconda strategia
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5
monete come base e 5 monete in altezza
5
Proviamo a
spostare le
monete
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Proviamo a
spostare le
monete
5
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Proviamo a
spostare le
monete
5
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Proviamo a
spostare le
monete
5
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a
5*(6:2), allora
T5= 5*(6:2)
possiamo anche scrivere
T5= 5*[(5+1):2] oppure
T5= 5*(5+1):2
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a
5*(6:2), allora
T5= 5*(6:2)
possiamo anche scrivere
T5= 5*[(5+1):2] oppure
T5= 5*(5+1):2
Seconda strategia
congettura
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5
monete come base e 5 monete in altezza
Proviamo a
disporre
altrettante
monete
5
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Proviamo a
disporre
altrettante
monete
5
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Proviamo a
disporre
altrettante
monete
5
m
o
n
e
t
e
5 monete
T5 = 15
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne
abbiamo bisogno della metà, cioè
T5= (5*6):2
possiamo anche scrivere
T5= [5*(5+1)]:2 oppure
T5= 5*(5+1):2
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne
abbiamo bisogno della metà, cioè
T5= (5*6):2
possiamo anche scrivere
T5= [5*(5+1)]:2 oppure
T5= 5*(5+1):2
Prima strategia
congettura
fine
In generale, quanto vale TM?
Proviamo a fare una congettura.
fine
Quante
monete?
Congettura:
per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale:
TM= M*(M+1):2
Prima strategia
Seconda strategia
fine
Congettura:
per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale:
TM= M*(M+1):2
Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo
affermare (senza costruire) che
T17= 17*(17+1):2=17*18:2=153
cioè che il 17-esimo numero triangolare è
costruito con 153 monete.
Come possiamo dimostrare che
la congettura vale per ogni M?
fine
Peano ci aiuta con il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:
1. Verifica che la proprietà vale per un numero
naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)
2. Dimostra che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:
Se sono soddisfatte queste due condizioni,
allora la proprietà vale per ogni numero naturale
(a partire dal primo per cui è stata verificata, di
solito 0 o 1 ).
fine
Applico nel nostro caso il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
Passo 1
1. Verifico che la proprietà vale per il numero
naturale 1 (il primo numero triangolare):
- per costruzione sappiamo che T1 = 1
- con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1.
fine
Applico nel nostro caso il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
Passo 1
1. Verifico che la proprietà vale per il numero
naturale 1 (il primo numero triangolare):
- per costruzione sappiamo che T1 = 1
- con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1. OK
fine
Procedo con il passo 2
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
Tm = m (m + 1) : 2
allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è
Tm+1 = (m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
m
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
Costruiamo Tm+1
m
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
Costruiamo Tm+1
aggiungendo m+1 monete
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Abbiamo Tm
Costruiamo Tm+1
aggiungendo m+1 monete.
Quant'è Tm+1? Quante
monete?
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
(m + 1)(m + 2) : 2 =
m+1
m
o
n
e
t
e
m(m+1):2
monete
m+1 monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
m+1
(m + 1)(m + 2) : 2 =
m
o
n
e
t
e
(m + 1)[(m + 1) +1] : 2
m(m+1):2
monete
m+1 monete
fine
2. Dimostro che
se l'm-esimo numero triangolare è
m (m+1):2
allora l' (m + 1)-esimo numero
triangolare è
(m + 1) [(m + 1) +1] : 2
cioè faccio propagare la proprietà
da un numero qualsiasi m al suo
successivo (m + 1).
Allora di ha:
m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
[m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 =
[m2 + m + 2m + 2] : 2 =
[m2 + 3m + 2] : 2 =
m+1
(m + 1)(m + 2) : 2 =
m
o
n
e
t
e
(m + 1)[(m + 1) +1] : 2
m(m+1):2
monete
m+1 monete
Fatto!
La proprietà
vale per ogni M !!!
Abbiamo trovato e dimostrato
una formula
per calcolare l’M-esimo
TM= M*(M+1)
2
Abbiamo usato strategie
di tipo figurale
cioè basate su aspetti percettivi.
Abbiamo trovato e dimostrato
una formula
per calcolare l’M-esimo
TM= M*(M+1)
2
Avremmo potuto usare anche
una strategia aritmetica
come C. F. Gauss
uno dei maggiori matematici di
tutti i tempi
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Gauss frequentava la
scuola elementare.
Si racconta che un giorno
il suo precettore assegnò
il compito di calcolare la
somma dei primi 100
numeri naturali.
Gauss scrisse subito sulla
lavagnetta il numero:
5050
Come lo aveva calcolato?
1 + 2 + 3 + ……………..+ 98 + 99 + 100
101
101
101
50 addendi
.
.
.
.
1 + 2 + 3 + ……………..+ 98 + 99 + 100
101
101
101
50 x 101 = 5050
.
.
.
.
50 x
101 =
5050
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Gauss frequentava la
scuola elementare.
Si racconta che un giorno
il suo precettore assegnò
il compito di calcolare la
somma dei primi 100
numeri naturali.
Gauss scrisse subito sulla
lavagnetta il numero:
5050
Come lo aveva calcolato?
fine
Numeri figurati
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a
successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri triangolari:
1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
fine
Numeri figurati
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a
successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri quadrati:
1, 4, 9, 16, 25, 36, …..
fine
Numeri figurati
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a
successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri pentagonali
1, 5, 12, …..
fine
Numeri figurati
Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a
successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici.
Numeri pentagonali
1, 5, 12, …..
E così via
