Quarta lezione - WordPress.com

INSIEMI E LOGICA
PARTE QUARTA
TAUTOLOGIE
• Se una formula enunciativa
risulta vera qualunque sia il
valore di verità delle lettere
enunciative che la
compongono, si dice che è
una tautologia.
• Per indicare che una formula
enunciativa A è una tautologia
si scrive
A
• Se una formula enunciativa
risulta falsa qualunque sia il
valore di verità delle lettere
enunciative che la
compongono, si dice che è
una contraddizione.
a  b  a
È una tautologia
aa
È una contraddizione
Leggi della logica
• Principio del terzo
escluso
•
(È sempre vero che) cammino o non
cammino.
aa
• Proprietà transitiva
dell'implicazione.
 a  b  b  c  a  c
• Legge di
contrapposizione.

 a  b   b  a
• Modus Ponens.
 a  b  a  b

• Se studio apprendo, e
studio, dunque apprendo.
Proprietà transitiva
dell'implicazione.
• La proprietà transitiva dell'implicazione materiale si presta a
esprimere schematicamente un tipo di ragionamento deduttivo,
detto sillogismo ipotetico: questo si compone di due premesse a
—> b, b —> e e di una conseguenza a —> e, tutte in forma
ipotetica («se... allora...»).
• «Se studierò sarò promosso e se sarò promosso riceverò un
premio: quindi se studierò riceverò un premio». Qui la proprietà
transitiva dell'implicazione viene usata per compiere un
ragionamento sillogistico. Quello che conta è lo schema di
ragionamento e quindi non ha interesse sapere se le locuzioni
• a: studierò, o: sarò promosso, e: riceverò un premio
• sono proposizioni vere o false; interessa invece che, chi compie il
ragionamento, dalla verità delle premesse a —» b e b —> e,
possa dedurre la conseguenza
• a —> e.
 a  b  b  c  a  c
Legge di contrapposizione
• Dall'essere vero che «se un numero naturale è
divisibile per 4, allora è multiplo di 2» segue che «se
un numero naturale non è multiplo di 2, allora non è
divisibile per 4».
• B Com'è noto «se un numero naturale è divisibile
per 10, allora la sua rappresentazione decimale
termina con zero». Ne consegue che «Se un
numero naturale ha una rappresentazione decimale
che non termina con zero, allora non è divisibile per
10».

 a  b   b  a

Leggi della logica
• Modus Tollens.


 a  b   b  a
• Reductio ad
absurdum
(riduzione
all'assurdo).


 a f a
Se ho sete bevo, ma non bevo, quindi non
ho sete.
In questa tautologia,rappresenta un
enunciato falso: ad esempio una
contraddizione o la negazione di un
enunciato di cui sia nota la verità. ciò
significa che, se dalla negazione di una
proposizione a si deduce una
proposizione falsa, non potendosi
negare a, la proposizione a deve essere
vera.
Regole di deduzione
• I ragionamenti più usati nella
matematica sono basati sul
seguente schema.
• 1) Si presentano alcune
affermazioni, dette premesse,
la cui verità è già stata
accettata
(perché già dimostrata oppure
perché le affermazioni fatte
sono intuitivamente
evidenti);
• 2) si deduce da queste la
verità di una nuova
affermazione, detta
conclusione.
• Alcune delle tautologie ora
viste consentono di chiarire e
giustificare questo modo di
procedere, permettendo di
formulare delle regole di
deduzione o regole di
inferenza, ossia regole
mediante le quali dalla verità di
alcune proposizioni
(premesse] si può dedurre la
verità di una nuova
proposizione (conclusione}.
• Vediamo insieme alcune di
queste regole di deduzione,
che prendono il nome delle
tautologie su cui sono fondate.
Modus ponens
• se sono vere le proposizioni a —> b e
a, dev'essere vera anche la
proposizione b.
• Tavola di verità
 a  b  a  b
Modus tollens
• se è vera la proposizione a —> b ed è
vera la negazione di b (ossia è falsa b),
deve essere vera anche la negazione
di a (ossia dev'essere falsa a).


 a  b   b  a
Reductio ad absurdum
• se la negazione di una proposizione a
implica una proposizione falsa, a
dev'essere vera.


 a f a
Logica dei predicati
• Consideriamo ora l'espressione linguistica
• «x è un numero primo» essendo x N
• E evidente che non è esattamente una proposizione
perché, non conoscendo x, non possiamo dire se è
vera o falsa; però, se poniamo 5 al posto di x, diventa
una proposizione vera, mentre se poniamo 6 al posto
di x, diventa una proposizione falsa.
• Al variare di x in N la è dunque una proposizione il cui
valore di verità dipendedalla variabile x.
• Scriveremo pertanto:
• p(x):
x è un numero primo
xN.
Predicati
• Le proposizioni dipendenti da una o più variabili,
appartenenti a un prefissato dominio, vengono
dette predicati (o funzioni proposizionali o
funzioni enunciative),
• Si noti che la parola predicato sta per proprietà;
• il predicato «essere un numero primo» è una
proprietà definita nell'insieme N: alcuni x godono
della proprietà, altri no.
• Per es equazionidi primo grado e disequazioni
sono predicati
Operazioni logiche con i predicati
• Poiché fissando il valore della variabile (o
delle variabili), il predicato diventa
enunciato vero o falso, si possono definire,
per i predicati, operazioni logiche
analoghe a quelle viste per le proposizioni.
Insieme di verità
• Dato un predicato a(x), x e D, chiamiamo insieme di verità di
a(x) l'insieme: A D costituito dagli elementi di D per cui a(x) è

vero.
• Consideriamo, per esempio, il predicato
• a(x):2<x<6
•
Esso è vero se, al posto di x sostituiamo uno dei numeri naturali
3, 4 o 5, mentre diviene falso se al posto di x sostituiamo un
qualsiasi altro numero naturale L'insieme di verità di tale
predicato è perciò
• A = {3; 4; 5}.
• Si osservi che, per determinare l'insieme di verità di un predicato,
è essenziale specificare il dominio. Infatti, se il dominio di a(x)
fosse, anziché N, l'insieme Q dei numeri razionali, nel suo
insieme di verità dovremmo includere anche infinite frazioni.
Implicazione logica
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•
Analizziamo la seguente frase:
se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2.
Allo scopo consideriamo i due predicati
p(x): x è divisibile per 4
xeN
q(x): x è divisibile per 2. Si può notare che tutti i possibili valori x che
rendono vero p(x) rendono vero anche q(x)
• infatti se è vero che un numero è divisibile per 4, è anche vero che è
divisibile per 2. Diremo allora che p(x) implica logicamente q(x), cioè
che è una implicazione logica.
• Considerati due predicati p(x) e q(x), con x appartenente a un
opportuno dominio, se ogni valore di x che rende vero p(x) rende
vero anche q(x), si dice che p(x) implica logicamente q(x) o che
q(x] è conseguenza logica di p(x).
p x   q x 
esempi
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•
Consideriamo l'affermazione:
se un triangolo ha due lati uguali, allora ha due angoli uguali.
Essa è una implicazione logica. Posto
p(x): x ha due lati uguali q(x): x ha due angoli uguali,
con x appartenente all'insieme dei triangoli, risulta
•
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Esaminiamo la frase
se una persona è cittadino italiano, allora è cittadino milanese.
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p x   q x 
Detto
p(x): x è cittadino italiano
q(x): x è cittadino milanese,
essendo x appartenente all'insieme delle persone, si nota che, in questo caso,
p x   q x 
e infatti vi sono ovviamente persone x, cittadini italiani, (per le quali dunque p(x)
è vero) che non sono cittadini milanesi (per le quali quindi q(x) è falso).
Osservazione
• Se in una implicazione logica si scambia
l'antecedente con il conseguente, non è
detto che si ottenga ancora una
implicazione logica.
equivalenza logica o
coimplicazione logica
• Due predicati p(x) e q(x) sono logicamente
equivalenti, se ogni valore di x che rende vero
p(x) rende vero q(x) e se,
contemporaneamente, ogni x che rende vere
q(x) rende vero anche p(x).
px  qx
Esempio
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Consideriamo, per esempio, i predicati
p(x): x è un numero pari
q(x): x è multiplo di 2.
In questo caso risulta px   qx 
e anche
q x   p x 
e pertanto i due pre dicati si equivalgono logicamente:
p(x) <=> q(x).
• In questo caso l'equivalenza logica è espressa dalla
frase «un numero è pari se e solo se è multiplo di 2» o
anche da «l'essere pari, per un numero, è equivalente a
essere multiplo di 2».
•
Osservazione
• I Non bisogna confondere i simboli
• con i simboli  e 
e 