Geometria e Spazio

GEOMETRIA E SPAZIO
GIULIO CODOGNI
4D
Nel rinascimento molti artisti, sotto
l’influsso del neoplatonismo, erano
convinti che lo spazio rispettasse i
teoremi della geometria euclidea e,
grazie a quest’idea, portarono
avanti studi sulla prospettiva che
diedero ottimi risultati
Questo metodo si basa sull’idea
che lo spazio gode di alcune
proprietà, chiamate postulati, la cui
verità è evidente, e di altre
proprietà, dette teoremi, che non
sono evidenti ma possono essere
dedotte logicamente dai postulati
Opere di Paolo Uccello, pittore
del rinascimento
Grazie a questa chiave di lettura
della realtà Copernico teorizzò un
nuovo modello di Cosmo e Keplero
scoprì le tre leggi che lo regolano.
Inoltre Galileo diede l’inizio ad una
riformulazione di tutta la cinematica
e Cartesio arrivò alla geometria
analitica
Newton, arrivò a collocare tutti gli
esperimenti in un ideale
palcoscenico infinito, dove tutti i
corpi rispettavano, prima che le
leggi fisiche, i teoremi della
geometria euclidea
Ma questo entusiasmo per la
geometria euclidea fu disatteso a
circa metà dell’ottocento, si capì
che la geometria euclidea non è
l’unica geometria possibile, che la
matematica non porta ad una verità
assoluta ma ad una molteplicità di
risultati tra cui si deve scegliere.
Per capire questo problema che
portò ad un’autentica rifondazione
della matematica partiamo da un
indovinello
Un uomo cammina verso sud per 1
Km, poi cammina verso est per 1
Km, poi cammina verso nord per 1
Km … e si ritrova al punto di
partenza! Com’è possibile? (La
costruzione matematica, Spirito)
Innanzitutto proviamo a dare una
veste più “geometrica”
all’indovinello
È possibile tracciare un
triangolo con tre angoli
retti?
Impossibile???
Proviamo a cercare la risposta in un bel libro:
Alla fine, un martedì di Dicembre, verso l’ora di
pranzo esplose in un colpo solo tutta la carica del
suo tormento. I bambini avrebbero ricordato per
tutta la loro vita l’augusta solennità con la quale il
padre sedette a capotavola, tremante di febbre,
consunto dalla veglia prolungata e dal fermento
della sua immaginazione, e rivelò la sua scoperta:
“La terra è tonda come un’arancia”. Ursula perse
la pazienza: “Se devi diventare pazzo diventalo
per conto tuo” gridò “ e non cercare di inculcare ai
bambini le tue idee da zingaro” (Cent’anni di
solitudine, Marquez)
Semplicissimo!!!
Possiamo trarre qualche
conclusione interessante da questo
indovinello? Qualcuna:
• In un piano “classico”, che i matematici
chiamano euclideo, è impossibile tracciare
un triangolo che abbia tutti e tre gli angoli
retti
• Invece su una sfera, che è un esempio di
piano non euclideo, è semplicissimo
tracciarlo
Generalizzando:
• Ci sono alcuni spazi, detti euclidei, dove
valgono i teoremi della geometria euclidea
(in questo caso: “la somma degli angoli
interni di un triangolo è di 180 gradi”)
• In altri spazi, detti non euclidei, i teoremi
della geometria euclidea sono falsi e
vengono sostituiti da altri teoremi di altre
geometrie, chiamate non euclidee
Ecco le tre geometrie più studiate e
utilizzate:
• Geometria euclidea è quella dove la somma
degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi
• Geometria di Riemann: è la “geometria
dell’arancia”, la somma degli angoli interni di un
triangolo è sempre maggiore di 180 gradi
• Geometria di Lobaceskji: è la geometria dove la
somma degli angoli interni di un triangolo è
sempre minore di 180 gradi
Adesso dovrebbe sorgere spontanea
una domanda che è quasi più
inerente alla metafisica che alla
fisica:
Quale geometria vale
nello spazio che
circonda?
Ovvero: i teoremi di quale
geometria sono validi nello lo
spazio che ci circonda?
All’inizio Gauss e Lobaceskji
tentarono un approccio empirico al
problema: misuravano l’ampiezza
di alcuni triangoli e, in base alla
somma degli angoli interni,
tentavano di stabilire quale sia la
geometria corretta.
Però Helmholtz capì che questo
approccio era sbagliato: se noi
eseguiamo le nostre misure su un
triangolo formato, per esempio, da
raggi di luce presupponiamo una legge
fisica, cioè che la luce si muove in linea
retta, ma se non sappiamo ancora
quale geometria è vera come facciamo
a verificare questa legge?!?
Una delle risposte più interessanti
è stata data dalla teoria del
convenzionalismo, il maggiore
ispiratore di questa teoria è stato
Poincarè.
Il convenzionalismo:
• Non esiste una geometria corretta, tutte le
geometrie sono corrette purché abbinate
ad opportune leggi fisiche
• Cioè se cambiamo geometria dobbiamo
modificare le leggi fisiche e viceversa
• Esistono infinite coppie geometria-leggi
fisiche in grado di interpretare la realtà ed
è opportuno scegliere la più semplice.
Opere di Escher dove valgono coppie
geometria-fisica non compatibili con il
nostro mondo
Prima della relatività ristretta di
Einstein la coppia utilizzata era:
geometria euclidea - fisica di
Newton
Con la relatività generale Einstein
ha mostrato che
• La “vecchia coppia” è valida solo con velocità
molto piccole e in assenza di forze gravitazionali
molto forti
• La “coppia migliore” è geometria di Reimann –
fisica di Einstein
• Per quanto riguarda i modelli cosmologiche
ipotesi fisiche diverse, anche opposte, rispettano
ugualmente i dati sperimentali purché abbinate
ad un’opportuna geometria