fattorizzazione e infinità dei numeri primi

Teoria dei numeri e
numeri primi
fattorizzazione e infinità
dei numeri primi
Teoria dei numeri e numeri primi:
fattorizzazione e infinità dei numeri primi
Un paio di lezioni per:
• presentare i contenuti
• mettere bene in rilievo come si è orientata la ricerca
matematica a proposito dei numeri primi
• mostrare i possibili legami fra l’aritmetica e l’algebra e tra
l’aritmetica dei numeri primi e la geometria al fine di
mostrare il rapporto fra numeri ed, in particolar modo, fra i
numeri primi
Teoria dei numeri e numeri primi:
fattorizzazione e infinità dei numeri primi
Si forniscono le definizioni di:
• divisione tra due numeri naturali;
• divisore e multiplo di un naturale;
• divisori banali e non banali.
Si propongono alla classe una serie di esercizi per far
scoprire loro alcune relazioni fra fattori e divisori, che poi si
andranno a formalizzare.
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fattorizzazione e infinità dei numeri primi
• Che relazione d’ordine c’è tra un naturale ed un suo
fattore? Qual è più grande tra un naturale e un suo fattore?
• Consideriamo un naturale, per esempio 3, un suo multiplo
per esempio 12, ed un multiplo di quest’ultimo per esempio
24: 24 è anche multiplo di 3; questa proprietà è vera in
generale? cioè un multiplo di un multiplo di un naturale è
un multiplo di quel naturale?
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fattorizzazione e infinità dei numeri primi
• Consideriamo
i naturali 24 e 18: valgono 3 è divisore di 24 e 3 è
divisore di 18, con quozienti 8 e 6; valgono anche 3 è divisore di
(24+18) e 3 è divisore di (24−18); questa proprietà è vera in generale?
Ossia la somma e la differenza di due multipli di un naturale sono
entrambi multipli di quel naturale?
• Moltiplichiamo
i naturali 24 e 18 (entrambi divisibili per 3)
rispettivamente per 2 e 5 e sommiamo i prodotti ottenuti: il risultato
24*2+18*5 = 138. E’ ancora divisibile per 3? Sì perché 138:3 = 46. In
generale, allora, la somma dei prodotti di due multipli di un naturale per
due naturali è ancora un multiplo di quel naturale?
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Esempio ad “effetto”
Si fa scrivere un numero di tre cifre e poi scrivere ancora queste cifre nello
stesso ordine.
Poi si dice “E’ divisibile per 7, vero?”. E poi: “anche per 11, vero?”, lo
stesso poi si chiede per 13.
Lo verificheranno rapidamente con la calcolatrice.
Si vede facilmente che un numero così costruito è sempre multiplo di 7, 11,
13 in quanto non si fa altro che moltiplicare il numero di partenza per 1000
+ 1 = 1001 multiplo di 7, 11, 13. Infatti:
235235 = 235*1000 + 235 = 235* (1000 + 1) = 235*1001 = 235*7*11*13
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fattorizzazione e infinità dei numeri primi
Si forniscono:
• le definizioni di numeri primi e composti;
• il teorema fondamentale dell’aritmetica;
• alcuni criteri di divisibilità;
• le definizioni di M.C.D. e m.c.m..
Si propongono alla classe una serie di esercizi per far
scoprire loro alcune relazioni fra M.C.D. e m.c.m., che poi
si andranno a formalizzare.
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fattorizzazione e infinità dei numeri primi
• Qual è il M.C.D.(30, 18)? E il M.C.D.(30-18,18)? E il M.C.D.
(18-12, 12)? E’ possibile determinare una proprietà vera in
generale? Se sì perché?
• Qual è il M.C.D.(8, 12), quale il m.c.m.(8, 12) e quale il loro
prodotto? Qual è il M.C.D.(3, 15), quale il m.c.m.(3, 15) e
quale il loro prodotto? Il prodotto fra i due numeri è pari al
prodotto del Massimo Comune Divisore e il minimo comune
multiplo tra tali numeri. Questa proprietà è vera in generale?
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E poi si fornisce la definizione di numeri primi tra loro e a seguire sempre
con delle domande, si può cercare di far determinare ai ragazzi una
proprietà di tali numeri:
Qual è il m.c.m. tra 2 e 3? E tra 3 e 5? E tra 7 e 11? Questi numeri sono
primi tra loro e il loro m.c.m. è proprio il loro prodotto. Questa proprietà è
vera in generale?
Un modo molto immediato per “vedere” la proprietà di due numeri di essere
primi tra loro può essere il seguente: una rappresentazione geometrica di
tali numeri, mediante la quale è possibile stabilire se questi ultimi siano o no
primi tra loro.
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STORIA
Si possono proporre agli studenti alcune domande atte a far sorgere in loro
le stesse curiosità che hanno impegnato le menti dei matematici nel corso
dei secoli:
• Determinate i numeri primi… tutti.... è possibile? Quanti sono?
• Secondo voi esiste un modo per determinare tutti i numeri primi? Riuscite
a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual
è il centesimo numero primo?
• Secondo voi qual è la frequenza con cui ci si imbatte in un numero primo
percorrendo la sequenza dei numeri naturali? E’ possibile determinarla?
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Primo problema: quanti sono i numeri primi?
III sec. a.C. Euclide dimostra che i numeri primi sono infiniti
Secondo problema: determinazione dei numeri primi
mediante semplice formula
• Ipotesi di Fermat (XVII secolo): “tutti i numeri della forma 22  1 sono
n
primi”.
• Nel 1732 Eulero dimostrò che già per n=5 l’ipotesi non è vera.
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• Nel 1859 Riemann presenta, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi
minori di una certa grandezza", un’ipotesi per determinare la distribuzione
dei primi tra gli altri numeri. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una
formula per generare l'elenco dei numeri primi”.
Da un secolo e mezzo l'ipotesi di Riemann ossessiona i matematici.
Stabilire una regola matematica che dimostri se esiste o no una logica
nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi,
significherebbe comprendere se vi è una "aritmia" totale in quest'ultima o
meno; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni
informatiche odierne e future.
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• Nel 1976 Jones, Sato, Wada e Wiens dimostrano
l’esistenza di un polinomio in 26 variabili i cui valori positivi,
al variare delle variabili sui numeri interi, sono esattamente
i numeri primi.
Esso rappresenta attualmente il migliore risultato trovato
nella ricerca di una formula per determinare i numeri primi.
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Si può far notare ai ragazzi che
anche se non esiste una formula
matematica per determinare tutti i
numeri primi, esiste un metodo
empirico per trovarli.
Si introduce così il crivello di
Eratostene risalente al III sec.
a.C..
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Passo decisivo: rinuncia alla ricerca di una formula che
determini i numeri primi per chiarire, invece, la distribuzione
media dei primi tra i numeri naturali.
Uno dei risultati più importanti:
intorno al 1800 Gauss scopre una buona approssimazione del
comportamento medio della distribuzione dei numeri primi
all’interno della successione dei numeri naturali.
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Sono ancora tante e varie le questioni aperte a proposito della
teoria dei numeri primi, alcune delle quali, una volta ipotizzate,
hanno visto anche una serie di verifiche empiriche, per quanto
non ne sia stata dimostrata la validità. Si può così citare la più
illustre nonché famosa
La congettura di Goldbach:
ogni numero pari diverso da 2 può essere rappresentato come
somma di due numeri primi.
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Per concludere si può citare la seguente caratterizzazione dei
numeri primi:
Un numero n è primo se e solo se
(n - 1)! + 1
è divisibile per n
Si fa notare così che questa proposizione può essere
facilmente utilizzata come
test di primalità
di un numero
naturale, ossia per verificare se esso sia o no primo
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…e per finire…
Sapete che cos’è questa?
Questa è la
distribuzione dei numeri primi
tra tutti i numeri naturali,
rappresentati come una spirale
che imita l'aspetto dei
semi al centro di un girasole.