capitolo
2
L’insieme dei numeri naturali e l’insieme degli interi Fattorizzazione
Fattorizzare un numero naturale significa esprimerlo come prodotto di fattori primi:
12 = 3 ⋅ 22
130 = 2 ⋅ 5 ⋅ 13
ecc.
sempio
Fattorizzare il numero 4680.
Si ha:
4680
2
2340
2
1170
2
585
3
195
5
39
3
13
13
Quindi risulta: 4680 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 13
1
Si può abbreviare il procedimento utilizzando i criteri di divisibilità:
4680 = 10 ⋅ 468 = 10 ⋅ 4 ⋅ 117 = 10 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 13 = 2 ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 32 ⋅ 13 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 13
Ci si può chiedere se un numero possa essere scomposto in un solo modo in fattori primi.
A tale proposito sussiste il seguente
TEOREMA FONDAMENTALE DELLA FATTORIZZAZIONE Ogni numero naturale n > 1 può esse-
re scritto in uno e un solo modo come prodotto di fattori primi:
n
n
nm
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ...⋅ pm
essendo p1, p2, …, pm numeri primi e n1, n2, …, nm gli esponenti con cui essi compaiono nella fattorizzazione
DIMOSTRAZIONE
1. Esistenza di una fattorizzazione: se n è un numero primo, allora la fattorizzazione è costituita dal numero stesso; se n invece non è primo allora n = n1 ⋅ n 2 con due fattori 1 < n 1 < n
e 1 < n 2 < n. Se n1 e n 2 sono primi, essi forniscono una fattorizzazione di n del tipo richiesto.
Se uno o entrambi non sono primi saranno, a loro volta, esprimibili come prodotto di fattori
maggiori di 1 e minori del numero che fattorizzano.
Il procedimento quindi si completa in un numero finito di passi, ovvero ogni numero n può
essere espresso come prodotto di un numero finito di fattori primi.
2. Unicità della fattorizzazione: supponiamo, per assurdo, che uno stesso numero n sia rappresentabile come prodotto di due diversi gruppi di numeri primi. Sia p un numero primo che
figura nella prima fattorizzazione di n: esso dovrà dividere anche la seconda, cioè dovrà dividere almeno uno dei fattori che la compongono. Ma essi sono primi e quindi l’unica possibilità è di trovare anche nella seconda fattorizzazione il fattore p.
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© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista
capitolo
2
L’insieme dei numeri naturali e l’insieme degli interi Quindi i fattori primi che figurano in una rappresentazione figurano, necessariamente, anche
nell’altra. Vi figurano inoltre, con lo stesso esponente: se infatti, per assurdo, un primo p comparisse in una fattorizzazione con un esponente n e nell’altra con un esponente m > n, si potrebbe “semplificare” membro a membro per pn producendo un’uguaglianza tra due numeri
uno dei quali è divisibile per p, anzi per pm−n, e l’altro non lo è.
Osservazione
Il numero 1, elemento neutro della moltiplicazione, non viene generalmente incluso tra
i numeri primi anche se i suoi divisori sono come richiesto 1 e… 1 stesso.
Tale esclusione consente di enunciare il teorema di unicità della fattorizzazione senza
dover precisare che l’unicità si riferisce, naturalmente, ai fattori primi… diversi da 1!
TEOREMA DI EUCLIDE I numeri primi sono infiniti.
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo, per assurdo, che ce ne siano solo un numero
finito:
p1, p2, …, pn
Il numero
a = p 1 ⋅ p2 ⋅ … ⋅ pn + 1
deve, come tutti i numeri, essere rappresentabile come
prodotto di fattori primi.
Tali fattori primi non possono essere, per via di quel “+1”,
i numeri p1, p2, …, pn. Quindi esistono altri primi oltre i
p1, p2, …, pn considerati.
EUCLIDE Matematico greco, vissuto
intorno al 300 a.C. in Alessandria d’Egitto, dove fondò una scuola famosa
per secoli in tutto il Mediterraneo. La
sua opera fondamentale Elementi è il
libro che, dopo la Bibbia, ha avuto al
mondo il maggior numero di edizioni.
In tutti i tredici libri di cui si compone
l’opera vengono ammessi come unici
strumenti consentiti la riga e il compasso e a partire da postulati o assiomi
si costruisce una rigorosa teoria logico-deduttiva: la geometria euclidea.
Osservazione
Il teorema, nella sua semplicità, è estremamente elegante ma non è costruttivo.
Sapere che certamente esistono infiniti numeri primi non vuol dire essere facilmente
in grado di esibirne molti. Al solito tutti conoscono alcune dozzine di numeri primi,
quelli compresi tra 1 e 1000 per esempio, ma pochi saprebbero indicare un esempio di
numero primo con più di 50 cifre…
Lo studente canadese Michael Cameron ha scoperto nel 2003 il più grande numero primo finora conosciuto: esso è composto da 4 053 946 cifre ed è uno dei cosiddetti numeri primi di Mersenne, che ideò una formula per ricavarli.
La scoperta ha richiesto 13mila ore di utilizzo di un rete di computer e un particolare
software.
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