numeri primi e scomposizione

NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
I numeri possono essere suddivisi in due tipi:
NUMERO PRIMO
divisibile per se stesso e per 1
NUMERO COMPOSTO
divisibile per se stesso, per 1 e almeno un altro divisore
Eccezione a tale classificazione: IL NUMERO 1 (non è ne composto ne primo perché non è definibile con nessuno dei
due casi, visto che 1 ha un solo divisore, se stesso)
Per trovare i numeri primi si utilizza un criterio molto semplice detto CRIVELLO DI ERATOSTENE (200 a.C.), che
prevede l’eliminazione di tutti i multipli dei numeri che si trovano in ordine nei numeri N partendo da 2. In sequenza si
eliminano:
• i numeri pari (multipli di 2)
• i multipli di 3 ( alcuni già eliminati con i multipli di 2)
• i multipli di 5 (il 4 si salta perché multiplo di 2...
• ecc.
Il risultato di tale conteggio è stato raccolto in una tabella detta: TABELLA DEI NUMERI PRIMI FINO A 1000. Se un numero
è assente in tale tabella si tratta allora di un numero composto:
FATTORIZZAZIONE (O SCOMPOSIZIONE) IN FATTORI PRIMI
Scomporre un numero in fattori significa trovare sottomultipli che moltiplicati fra loro diano come risultato il numero
di partenza.
Es: 30 = 3 ⋅10 = 6 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Teorema della fattorizzazione
- qualsiasi numero naturale (diverso da 1) può essere scomposto in fattori
primi, e tale scomposizione è unica.
Cioè: ogni numero composto può essere scritto come un prodotto o potenze di numeri primi.
I numeri primi che compaiono, anche se scritti in diverso ordine per la proprietà commutativa della
moltiplicazione, creano un’unica sequenza di fattori. Il numero 1 viene eliminato perché non
permetterebbe l’unicità della scomposizione
Per fattorizzare un numero si deve procedere in questo modo:
•
•
•
•
scrivere il numero con (a destra) una riga verticale;
scrivere a sinistra la successione crescente dei numeri primi divisibili per il numero scelto, utlizzando i criteri di
divisibilità;
riportare i risultati delle divisioni a resto zero sulla colonna di destra;
procedere fino ad ottenere 1 nella colonna di destra.
Es:
252
126
63
21
7
1
2
2
3
3
7
la sua fattorizzazione è pertanto:
La seconda ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei
primi è che se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per 1,
un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di
252 = 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7
partenza, creando così fattorizzazioni distinte.
La scomposizione in fattori primi si applica nel caso particolare del:
CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA’
Due numeri sono divisibili tra loro se, scomponendoli in fattori primi, tutti i fattori del secondo (divisore)
sono presenti anche nel primo (dividendo).
Il quoziente della divisione si ottiene sottraendo tutti gli esponenti dei fattori corrispondenti del secondo
numero a quelli del primo, applicando la proprietà di potenze di uguale base divise.
Il primo numero è quindi divisibile per il secondo solo se i fattori del secondo compaiono anche nel primo numero
con esponente minore o uguale.
ES: 17640 : 588 = 30
17640
8820
4410
2205
735
245
49
7
1
2
2
2
3
3
5
7
7
588
294
147
49
7
1
2
2
3
7
7
17640 = 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 2
588 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2
Applicando le proprietà di potenze divise di uguale base
17640 : 588 = 2 3− 2 ⋅ 32 −1 ⋅ 5 ⋅ 7 2 − 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅1 = 30
oppure
(
)(
)
17640 : 588 = 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 2 : 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2 =
=
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 2 ⋅ 3⋅ 5
=
= 30 :1 = 30
2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 7 ⋅ 7
1
Se si mette la fattorizzazione in frazione bisogna semplificare i fattori corrispondenti dividendoli e ottenendo 1 per
ciascun fattore semplificato. Se al denominatore sono tutti semplificati ottengo praticamente tutti 1 ed essendo
elemento neutro della divisione, il risultato del numeratore non cambia.
NUMERI NON DIVISIBILI:
(perché rimane un numero diverso da 1 al denominatore dopo la semplificazione e quindi la divisione ha il resto)
•
Il divisore ha i fattori corrispondenti con esponente più alto
Es
•
(
)( )
144 : 32 = 2 4 ⋅ 32 : 2 5 =
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3 3⋅ 3
=
2⋅2⋅2⋅2⋅2
2
Nel secondo numero (divisore) compaiono fattori non presenti nel primo numero(dividendo)
Es:
154 : 33 = ( 2 ⋅ 7 ⋅11) : ( 3 ⋅11) =
2 ⋅ 7 ⋅11 2 ⋅ 7
=
3 ⋅11
3