NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI I numeri possono essere suddivisi in due tipi: NUMERO PRIMO divisibile per se stesso e per 1 NUMERO COMPOSTO divisibile per se stesso, per 1 e almeno un altro divisore Eccezione a tale classificazione: IL NUMERO 1 (non è né composto né primo perché non è definibile con nessuno dei due casi, visto che 1 ha un solo divisore, se stesso) Per trovare i numeri primi si utilizza un criterio molto semplice detto CRIVELLO DI ERATOSTENE (200 a.C.), che prevede l’eliminazione di tutti i multipli dei numeri che si trovano in ordine nei numeri naturali partendo da 2. In sequenza si eliminano i numeri presenti nelle tabelline: • i numeri pari (multipli di 2) • i multipli di 3 ( alcuni già eliminati con i multipli di 2) • i multipli di 5 (il 4 si salta perché multiplo di 2... Il risultato di tale conteggio è stato raccolto in una tabella detta: TABELLA DEI NUMERI PRIMI FINO A 1000. Se un numero è assente in tale tabella si tratta allora di un numero composto: FATTORIZZAZIONE (O SCOMPOSIZIONE) IN FATTORI PRIMI Scomporre un numero in fattori significa trovare tutti i divisori primi che rimoltiplicati fra loro danno come risultato il numero di partenza. Es: 30 = 3 ⋅10 = 6 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Teorema della fattorizzazione - qualsiasi numero naturale (diverso da 1) può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica. Cioè: ogni numero composto può essere scritto come un prodotto o potenze di numeri primi. Per fattorizzare un numero si procede in due modi: 1. • • Fattorizzazione AD ALBERO (numeri piccoli di 2 cifre) Suddividere il numero con due frecce in due sottomultipli appartenenti alla tabellina. Suddividere i sottomultipli ottenuti fino ad ottenere solo numeri primi Es: 72 = 23 ⋅ 32 2. Fattorizzazione A COLONNA (numeri grandi di 3 o più cifre) • • scrivere il numero da scomporre con una riga verticale sulla destra; scrivere a destra della riga la successione crescente dei numeri primi che dividono il numero scelto, utilizzando i criteri di divisibilità; riportare i risultati delle divisioni a resto zero sulla colonna di sinistra; procedere fino ad ottenere 1 nella divisione finale. • • Con qualsiasi ordine io inizi la divisione del numero composto, i fattori primi sono sempre gli stessi: Es: 252 126 63 21 7 1 2 2 3 3 7 I numeri primi che compaiono, anche se scritti in diverso ordine per la proprietà commutativa della moltiplicazione, creano un’unica sequenza di fattori. Il numero 1 viene eliminato perché non permetterebbe l’unicità della scomposizione 252 3 la sua fattorizzazione è pertanto: 84 2 252 = 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7 42 7 6 3 2 2 La seconda ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei primi è che se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per 1, un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di partenza, creando così fattorizzazioni distinte. 1 CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA’ Due numeri sono divisibili tra loro se, scomponendoli in fattori primi, tutti i fattori del secondo (divisore) sono presenti anche nel primo (dividendo). Il quoziente della divisione si ottiene sottraendo tutti gli esponenti dei fattori corrispondenti del secondo numero a quelli del primo, applicando la proprietà di potenze di uguale base divise. Il primo numero è quindi divisibile per il secondo solo se i fattori del secondo compaiono anche nel primo numero con esponente minore o uguale. ES: 17640 : 588 = 30 17640 8820 4410 2205 735 245 49 7 1 2 2 2 3 3 5 7 7 588 294 147 49 7 1 2 2 3 7 7 17640 = 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 2 588 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2 Applicando le proprietà di potenze divise di uguale base 17640 : 588 = 2 3− 2 ⋅ 32 −1 ⋅ 5 ⋅ 7 2 − 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅1 = 30 oppure ( )( ) 17640 : 588 = 2 3 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 2 : 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2 = = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 2 ⋅ 3⋅ 5 = = 30 :1 = 30 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 7 ⋅ 7 1 Se si mette la fattorizzazione in frazione bisogna semplificare i fattori corrispondenti dividendoli e ottenendo 1 per ciascun fattore semplificato. Se al denominatore sono tutti semplificati ottengo praticamente tutti 1 ed essendo elemento neutro della divisione, il risultato del numeratore non cambia. NUMERI NON DIVISIBILI: (perché rimane un numero diverso da 1 al denominatore dopo la semplificazione e quindi la divisione ha il resto) • Il divisore ha i fattori corrispondenti con esponente più alto Es: • ( )( ) 144 : 32 = 2 4 ⋅ 32 : 2 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3 3⋅ 3 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2 2 Nel secondo numero (divisore) compaiono fattori non presenti nel primo numero(dividendo) Es: 154 : 33 = ( 2 ⋅ 7 ⋅11) : ( 3 ⋅11) = 2 ⋅ 7 ⋅11 2 ⋅ 7 = 3 ⋅11 3