l`unità cognitiva di teoremi

Alcune questioni
sulla dimostrazione
Nicolina A. Malara,
Dipartimento di Matematica
Università di Modena & Reggio E.



valenza educativa della dimostrazione
concezioni di dimostrazione
la dimostrazione nell’insegnamento

Aspetti logico-linguistici inerenti la
dimostrazione

La dimostrazione in ambito aritmetico
ed il ruolo del linguaggio algebrico

dall’esplorazione alla dimostrazione (‘l’unità
cognitiva di teoremi’)
Sulla valenza
educativa
della
dimostrazione
in The Mathematical Experience (1981)
Davis ed Hersh sostengono che la dimostrazione
caratterizza univocamente la matematica e che
non vi è matematica se non vi è dimostrazione.
Rilevano che, rispetto ad un dato argomento, la
dimostrazione determina la validità di enunciati, in
genere non evidenti ed a volte insospettati, ed
aumenta la conoscenza e comprensione
dell'argomento stesso.
Richiamano il valore sociale della dimostrazione,
per il costante processo di critica e di conferma
cui è sottoposta, che ne suggella la rispettabilità e
l'autorità.
Lucio Russo, Scienza e tradizioni culturali, relazione al
convegno “Perché l’antico”, Firenze 2000
La tendenza ad eliminare le dimostrazioni è oggi molto forte
e segue varie strade contemporaneamente: mentre il
metodo dimostrativo è quasi completamente scomparso
dalle scuole secondarie dell’occidente, si stanno
diffondendo (in particolare negli USA) corsi di “fisica senza
matematica”, nei quali la fisica è insegnata con un metodo
puramente descrittivo; inoltre le dimostrazioni tendono a
sparire anche dai corsi universitari di matematica (in Italia i
corsi di matematica generale per Economia e gli altri corsi
“di servizio” hanno già quasi completato la trasformazione;
per i corsi di laurea in matematica e fisica un importante
passo avanti in questa direzione sarà compiuto con le
lauree triennali appena istituite).
In definitiva il metodo dimostrativo si sta
rifugiando in una “riserva indiana” costituita da
pochi corsi di dottorato e pochi settori della
ricerca matematica (dove, essendo usato solo
per fare carriera accademica, potrà in breve
essere sostituito da una qualsiasi altra tecnica
sufficientemente astrusa). Le conseguenze di
questo processo sulle capacità argomentative
diffuse sono facilmente verificabili (e costituiscono
la
controprova
dell’antico
rapporto
tra
dimostrazioni,
capacità
argomentative
e
democrazia).
Gila
Hanna
(1995):Challenges
to
the
importance of proof, For the learning of
mathematics, vol. 15, n. 3
La Dimostrazione è un argomento trasparente,
in cui tutte le informazione usate e tutte le leggi
di ragionamento sono chiaramente espresse e
aperte alla critica. E’ proprio per la natura
stessa della dimostrazione che la validità della
conclusione scaturisce non da alcuna autorità
esterna ma dalla dimostrazione stessa. La
dimostrazione veicola agli studenti il messaggio
che essi possono ragionare da se stessi, che
non hanno bisogno di piegarsi alla autorità.
Dunque l’uso della dimostrazione in classe è in
realtà anti-autoritario
Sul significato
di
dimostrazione
Usualmente il significato attribuito al termine
‘dimostrazione’ è inteso come sistemazione
deduttiva di un processo di ragionamento.
Va invece fatto inteso in senso più ampio
come costruzione di un ragionamento che
porta alla scoperta di nuove conoscenze.
Questa visione della dimostrazione, induttiva
e deduttiva insieme, tipica della cultura di
matrice anglosassone, è stata sottolineata da
nostri importanti studiosi sin dai primi del ‘900
Nel 1904 Vailati scriveva
“E’ di somma importanza che l’allievo arrivi il
più presto possibile a vedere nel processo di
dimostrazione un mezzo per passare dal noto
all’ignoto, uno strumento cioè di prova e,
ancor più, di ricerca, mentre solo più tardi
potrà apprezzarne e gustarne l’efficacia
come strumento di analisi, e di riduzione al
minimo, dei concetti e delle ipotesi
fondamentali”.
Brano tratto dalla recensione del testo di geometria di Enriques
Amaldi.
G. Lolli (2006) ‘I turbamenti dell’uguale’ ‘Se viceversa’,
Polymath (http://www2.polito.it/didattica/polimath/)
In generale, la regola dominante deve essere quella
di distruggere (o ancor prima, non instillare) l’opinione
che la risposta (a un quesito che richiede una
dimostrazione) debba o possa essere un flusso diretto
lineare ininterrotto di formule matematiche.
Instillare al contrario, anche nel caso di successioni di
uguaglianze e disuguaglianze, servendosi proprio dei
vari artifici di dispiegamento dei commenti, l’idea che
la dimostrazione è più simile ad una passeggiata,
senza fretta, con deviazioni e ritorni e visite su
percorsi laterali, in un paesaggio abitato
da pensieri e parole.
La dimostrazione
nel nostro
insegnamento
La dimostrazione
nel nostro insegnamento
Aritmetica
geometria
altro
Algebra
Analisi
Probabilità
…
Didattica della dimostrazione
Costruzione
Lettura-comprensione
Apprendimento-riproduzione
Comunicazione
Aspetti semantici
Aspetti sintattici
Attività propedeutiche
Attività di controllo
Aspetti logici
inerenti la
dimostrazione
La (diffusa) scarsa padronanza del linguaggio
naturale determina negli studenti varie difficoltà
nell’apprendimento di una dimostrazione
Per questo è opportuno dedicare una particolare cura
agli aspetti logici del linguaggio e in particolare alle
proposizioni condizionali, le cosìdette implicazioni
Importante è far riconoscere ed esplicitare
proposizioni condizionali quando esse sono
espresse attraverso l’uso di:
•articoli determinativi o indeterminativi
•il quantificatore universale tutti (ogni)
Esempi
“un numero naturale divisibile per quattro è
divisibile per due”
“i rettangoli hanno le diagonali uguali”
“Tutti i numeri quadrati hanno esattamente tre
divisori”
Se un numero naturale è divisibile per quattro
allora è divisibile pre due
Se un quadrilatero è un rettangolo allora ha le
diagonali uguali
Se un numero naturale è un quadrato allora ha
esattamente tre divisori
Distinzione delle proposizioni condizionali costruite sulle
stesse componenti
implicazione, implicazione inversa, implicazione
contraria, implicazione contronominale
Esempio
se un parallelogrammo è un rettangolo allora ha gli angoli uguali
Inversa: se un parallelogrammo ha gli angoli uguali allora è un
rettangolo
Contraria: se un parallelogrammo non è un rettangolo allora non ha
gli angoli uguali
Contronominale: se un parallelogrammo non ha gli angoli uguali
allora non è un rettangolo

E’ opportuno educare gli studenti a riconoscere
l’equiveridicità di una implicazione e della sua
contronominale ed a comprendere il ruolo di
quest’ultima nelle dimostrazioni per assurdo.
Una cura particolare va data alla negazione di
proposizioni quantificate.
In generale gli studenti tendono ad identificare la
negazione del quantificatore “tutti” con il suo
contrario “nessuno”
Ancora più delicata è la gestione di proposizioni
contenenti entrambi i quantificatori
“esiste … per ogni”
“per ogni … esiste”
Di cui va fatta rilevare la non commutatività
Esempio classico: assiomi 2° e 3° di gruppo
Sul significato del termine “Teorema”
Dizionario Enciclopedico “Fedele” (UTET)
Teorema (dal greco “esamino”)
“ciò che si esamina” ma anche “la verità che è il
risultato dell’esame, della dimostrazione”.
In matematica
“proposizione dimostrabile”
Enciclopedia Britannica
“proposizione
che deve essere dimostrata”
Elementi fondamentali di un teorema sono:
L’ipotesi: proposizione iniziale, dalla quale si prendono le
mosse per la dimostrazione del teorema
tesi:
proposizione finale, conclusiva di una
dimostrazione del teorema
Un’importante osservazione
Il predicato di una proposizione esprime una condizione
circa il sogetto della stessa.
Esempio:
Un rombo ha le diagonali perpendicolari
La condizione espressa per un rombo dal predicato è
“l’avere le diagonali perpendicolari”
Teorema Se un numero naturale è divisibile per 4
allora è divisibile per 2
Ipotesi
un numero naturale è
divisibile per 4
Condizione espressa per
un numero dall’ipotesi
Tesi
un numero naturale
è divisibile per 2
Condizione espressa per
un numero dalla tesi
(a) Divisibilità per 4
(b) Divisibilità per 2
Dato il teorema, per un numero
E’ sufficiente che si verifichi la condizione (a) perché
necessariamente si verifichi la condizione (b)
(a) è detta cond. sufficiente, (b) cond. necessaria
Per antica tradizione, nella prassi didattica, tali
condizioni usualmente vengono utilizzate nella
formulazione unitaria di due teoremi uno inverso
dall’altro. Ad esempio
Condizione necessaria e sufficiente affinché un
triangolo sia isoscele è che abbia due angoli uguali
Raramente di fronte ad un semplice teorema si
caratterizzano le condizioni espresse dalla ipotesi
e dalla tesi motivando le denominazioni di
“condizione sufficiente” per quella dell’ipotesi
“condizione necessaria” per quella della tesi
L’omettere con gli studenti una analisi come
questa, genera in loro incomprensione e spesso sta
all’origine di atteggiamenti di passività.
La
dimostrazione
in ambito
aritmetico
La dimostrazione in ambito aritmetico è poco o
nulla praticata in Italia, anche per ragioni
connesse alla storia dell’insegnamento
matematico
L’aritmetica, ed in particolare l’ambiente dei
numeri naturali costituiscono terreno ideale per
attività dimostrative.
Queste attività offrono un importante contesto
per l’argomentazione e la dimostrazione, con un
progressivo passaggio dal linguaggio naturale a
quello algebrico.
Non tutti i ricercatori sono concordi sull’importanza
del linguaggio algebrico per la dimostrazione in
ambito aritmetico valorizzando la semplicità di
certe
dimostrazioni verbali.
Esempi
provare che il prodotto di tre numeri consecutivi
è divisibile per sei
(passi di ragionamento: Dati tre numeri consecutivi, almeno
uno dei tre deve essere pari , almeno uno dei tre diviso per
3 ha resto zero)
provare che il quadrato di un numero dispari è
dispari
Dimostrazione verbale
Passi di ragionamento: un numero dispari ha cifra delle unità
dispari, il quadrato delle cifre dispari ha unità dispari
Dimostrazione algebrica
(2k+1)2 = 4k2 + 4k+1=2(2k2 + 2k) + 1
Confronto di
strategie
Un esempio di problema dimostrativo non risolubile
per via verbale
Dati due numeri interi a e b se 3a = 2b allora la
somma a+b è muntiplo di 5”
Analisi delle
difficoltà
Ritengo cruciale per la didattica della
dimostrazione portare gli studenti a
condurre ragionamenti via linguaggio
algebrico
- per la semplificazione e controllo
della complessità argomentativa
- per la facilitazione della
comunicazione
- per la valorizzazione del ruolo di
metalinguaggio del linguaggio
naturale
Nell’approccio alla dimostrazione il ruolo
dell’insegnante è cruciale, egli dovrà porsi
come modello mostrando, in varie situazioni,
come:
-
tradurre le ipotesi in linguaggio algebrico,
trasformare una scrittura in più modi per
aprire il campo a sue diverse interpretazioni;
interpretare
formule
ottenute
per
elaborazione sintattica e selezionare quelle
utili ai fini della tesi.
Dimostra che la differenza tra i quadrati di due numeri naturali
consecutivi è sempre dispari
Occorre partire considerando due numeri naturali consecutivi.
Indichiamo con una lettera il primo dei due
a
Esprimiamo il suo successivo mediante a
a +1
Indichiamo il quadrato di ciascuno
a2
Scriviamo la differenza tra i quadrati
(a+1)2 - a2
(a+1)2
Occorre provare che questa differenza è un numero dispari
Trasformiamo perciò la scrittura (a+1)2 - a2,
svolgiamo il quadrato di (a+1)2
(a2 + 2a + 1)
riscriviamo la differenza dei quadrati (a2 + 2a + 1)- a2 = 2a + 1
Interpretiamo la scrittura 2a + 1: rappresenta un numero dispari?
Si.
Quanto si voleva è dimostrato.
Conoscenze e abilità necessarie per la costruzione
di una dimostrazione nei naturali
conoscenza di specifici termini nel linguaggio
caratterizzanti predicati in associazione con il verbo
essere (doppio, consecutivo, pari, maggiore di,
minore di, divisibile per, multiplo di, etc e loro
combinazioni);
capacità di:
- riformulare predicati in termini di uguaglianza
-tradurre espressioni dal linguaggio naturale a
quello algebrico;
-interpretare espressioni algebriche trasformate nei
termini della situazione in esame;
-controllare le conseguenze degli assunti e
ragionamenti fatti.
Proposizioni da tradurre in linguaggio algebrico
Il successivo di un pari, Il successivo pari di un pari
Il quadrato del successivo di un numero
Il successivo del quadrato di un numero
Il quadrato del successivo di un pari
Il quadrato del successivo di un dispari
Il precedente di un numero
L’antecedente del triplo di un numero
Il precedente di un pari
Il precedente di un dispari
L’antecedente del triplo di un numero pari
L’antecedente del triplo di un numero dispari
La somma di due dispari consecutivi
Il prodotto di due numeri consecutivi
La somma dei quadrati dei reciproci di due numeri
La somma del quadrato dei reciproci di due numeri
Il quadrato della somma dei reciproci di due numeri
Esempi di attività interpretative di scritture
algebriche e di riconoscimento di loro equivalenze
Dopo aver valutato la correttezza delle seguenti
uguaglianze, esprimi il loro perché.
2(2k+2)=4k+4 ;
(2h)2-1=4h2-1
3(2k+1)2=12(k2+k)+3 ;
((2h+1)+2)+1=(2h+1)+2
Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti
ad 8k. Esprimi il perché di tali equivalenze:
24k
42k
6+2k
(5+3)k.
Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti
a 2k+3. Esprimi il perché di tali equivalenze:
2(k+1)+2
(2k+2)+1
2(k+2) -1.
Determina per quali valori di k (numero naturale qualsiasi)
sono soddisfatte le seguenti condizioni:
k+3 è multiplo di 3,
k+3 è dispari ;
k+3 è pari
k+3 è multiplo di 4
3k è pari
3k è multiplo di 6
3k è dispari
k3 è dispari
k3 è divisibile per 8
k3 è multiplo di 4
Rappresenta algebricamente tali valori in modo da provare
la tua conclusione.
Individua e rappresenta espressioni algebriche equivalenti
alle seguenti espressioni. Esprimi tale equivalenza mediante
il linguaggio verbale.
4k+2;
4k2+2k;
6k+3
Esempi di problemi proponibili nella scuola media
Dimostra che la somma di due numeri dispari
consecutivi è uguale al doppio del numero pari
compreso tra essi.
Dimostra che la somma di un numero naturale, del
suo doppio, del suo triplo e del suo quadruplo è un
numero che ha come cifra delle unità lo zero.
Dimostra che la somma di quattro numeri naturali
consecutivi è un numero pari.
Dimostra che la somma di cinque numeri naturali
consecutivi è un multiplo di 5.
Comportamenti
di studenti in
attività
dimostrative
Classici ed interessanti studi sui comportamenti
degli allievi impegnati in attività di costruzione
di una dimostrazione sono quelli di Bell (1976) e
Balacheff (1988).
Gli autori, seppure con diverse impostazioni e
terminologia, distinguono essenzialmente tre
momenti dello stesso processo.
degli esperimenti o verifiche empiriche
in cui l’allievo esplora la situazione per la
formulazione di congetture o per convincersi della
validità di un assegnato enunciato e cercare le
ragioni che ne stanno alla base;
dell’illuminazione e convincimento personale
in cui l’allievo intuisce-coglie-e chiarisce a se stesso
le ragioni che stanno alla base della validità della
tesi;
della sistemazione e della prova
in cui l’allievo ricostruisce il proprio ragionamento
al fine di comunicarlo agli altri e convincerli della
correttezza
Balacheff svolge un’interessante distinzione tra
‘prove empiriche’ e ‘prove intellettuali’

Nelle prove empiriche è presente il soggetto e
l’azione, sono caratterizzate dall’uso di un
linguaggio familiare
 nelle prove intellettuali vi è un distacco dal
soggetto e dall’azione, il linguaggio usato è
astratto e atemporale
Tali classificazioni consentono una lettura fine delle
produzioni degli allievi e possono essere letti in
termini di criteri di valutazione degli stessi
Un nostro studio sui comportamenti di futuri
insegnanti di scuola secondaria
Problemi tratti da G. Peano
“Giochi d’aritmetica e problemi interessanti”
Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza
dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della
differenza ti dirò la differenza.
Scrivi un numero di più cifre, moltiplica per 10 e sottrai da questo quello di
partenza, cancella nella differenza una cifra non nulla e dammi la somma delle
rimanenti. Io indovinero' quella che tu hai cancellato. Spiegami come è
possibile.
Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la
differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le
cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre 1089. Perché?
Un numero di due cifre ha questa caratteristica: il suo quadrato diminuito del
quadrato del numero precedente è uguale al numero stesso con le cifre
invertite. Qual è il numero.
Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo
invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade
quando il numero è di tre o quattro cifre.
Problema 1. Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle
cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore,
dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza.
132231, 231-132=99; 815518, 815-518=297; 136 613, 613136=495; 314 413, 413-314=99. Se la differenza è di due cifre
sono due 9  d=99. Se la differenza è di 3 cifre quella centrale è
sempre 9. Le due cifre esterne sommate devono dare 9. Seguendo
questa regola è facile rispondere all’indovinello.
Problema 5. Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che
ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile
per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre.
25+52=77 è vero; 52+25=77; 13+31=44; 44+44=88 è vero, la somma
ha sempre le cifre ripetute come i multipli di 11. 132+231=363 è
vero; 345+543=888 non è vero. 1246+6421= 7667=11x697 è vero;
1234+4321=5555=11x505
;
5051+1505=6556=1x596
;
2468+8642=11110 = 11x1010. Non funziona nel caso di 3 cifre.
Problema 3. Scrivi un numero di tre cifre
decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la
differenza dei due numeri. A questa differenza
aggiungi la medesima con le cifre invertite.
Qualunque sia il numero si ottiene sempre 1089.
Perché?
Suppongo che il numero sia abc (a>b>c)
abcu 9 (9-u) +
cba=
(9-u) 9(u)
u 9(9-u)
10 8 9
dove u è un numero.
Infatti 431 – 134 = 297 ; 297 +792 = 1089.
Mi sono trovata incapace di formulare un
ragionamento
Non ho la più pallida idea di come si risolvano
i quesiti
Non so perché queste regolarità accadono
Dall’esplorazione
alla
dimostrazione
L’unità cognitiva
di teoremi
"l'unità cognitiva di teoremi" è un costrutto teorico
dovuto a Boero et Al. (1995) elaborato, per
interpretare il comportamento degli allievi
attraverso lo studio, in opportuni campi di
esperienza, dei processi durante i quali questi
giungono a:
 produrre congetture, nella forma di enunciati
astratti, generali e condizionali,
 costruire le dimostrazioni di tali enunciati in
attività condivise nella classe
 prendere parte alla costruzione collettiva,
guidata dall'insegnante, di una teoria di
modellizzazione per il campo di esperienza in
cui si muovono.
esplorazione di situazioni
formulazione di congetturedimostrazione della loro validità
o loro confutazione
Un esempio di attività esplorativa
Si sviluppa attraverso:

l’individuazione di una regolarità aritmetica

la formulazione verbale della regolarità
osservata

l’esplorazione delle ragioni sottostanti la
regolarità e la sua dimostrazione formale

possibili estensioni e variazioni
La situazione
Osserva le differenze
83 - 38 = 45
74 - 47 = 27
54 - 45 = 9
81 - 18 = 63
46 - 64 = 28
31 -13 = 18
Vedi qualche regolarità?
Dall’osservazione una prima, intuitiva risposta è:
ciascuna differenza è un multiplo di 9
Chiedendo di

esplicitare tali differenze come multipli 9

cercare un legame tra le cifre dei due
termini della differenza ed il secondo fattore
del prodotto
gli allievi scrivono: 83-38 = 9x5
74-47 = 9x3
54-45 = 9x1
63-36 = 9x3
Occorre mettere in relazione
5 con 3 e 8
1 con 5 e 4
3 con 7 e 4
3 con 6 e 3
risulta evidente che il secondo fattore è
la differenza fra le cifre dei due termini
La formulazione della congettura
La situazione presentata
induce una formulazione della congettura in
termini relazionali
avente come soggetto la differenza tra i due numeri
La formulazione dell’enunciato risulta difficile per la
necessità di esprimere le caratteristiche dei
due numeri di cui si fa la differenza
La cosa si risolve

esplicitando a monte dell’enunciato i
legami tra i due numeri

dando una definizione ad hoc
Le risposte ottenibili si possono così classificare:

Enunciati operativi che si riferiscono alla
operazione di sottrazione (es. “in ogni
sottrazione … il risultato è …”)

Enunciati misti, operativi/relazionali, in genere
‘sporchi’ (es. “La differenza …. è un multiplo di
9 moltiplicato …”)

Enunciati di tipo relazionale che esprimono le
proprietà della operazione in esame (es. “Dati
due numeri naturali tali che …, la loro
differenza è data dal prodotto di ….”);
Se il problema si presenta in termini procedurali o in
termini di indovinello, ad esempio:
Prendi un numero di due cifre con le decine
maggiori delle unità, ad esempio 83. Scambia le
cifre, fai la differenza tra primo e secondo e scrivi il
risultato, nel nostro esempio 83-38 = 45. Fai altre
prove, ad esempio con 74, 54, 92, ecc, cosa
osservi circa i risultati?
Pensa un numero di due cifre con le decine
maggiori delle unità. Considera il numero che si
ottiene scambiando le due cifre e fai la differenza
tra il numero iniziale e quest’ultimo. Dimmi il
risultato e una delle due cifre, io ti dirò il numero
che hai pensato. Spiegami come ho fatto.
È molto difficile ottenere l’enunciato della proprietà
Esplorazione, convincimento e
comunicazione dei motivi della regolarità
Questa fase è più delicata e richiede una abitudine a
 le rappresentazioni plurime di un numero
 il collegamento tra rappresentazioni diverse
Si può esplorare la regolarità a partire da casi numerici
cercando di ridurre le cifre al ruolo di segnaposto
Nel nostro caso si tratta di

passare dalla rappresentazione posizionale a
quella polinomiale dei numeri

eseguire la differenza dei due numeri

cercare di trasformare la scrittura in forma
moltiplicativa mediante le proprietà delle
operazioni
Vediamo un esempio
Partiamo da 83-38. Questa differenza è di fatto:
8•10 + 3 – (3•10 + 8)
La riscrittura in termini (8-3)10 +(3-8) dà subito il
risultato operando in Z, basta riscrivere la
differenza come
(8 - 3)9 + (8- 3) + (3 - 8)
Considerata la differenza 97-79 possiamo operare
come nel caso precedente ottenendo
(9 - 7)9 + (9 - 7) + (7 - 9)
Se educati all’osservazione
gli allievi non è difficile che
•colgano l’analogia tra i casi
• rileggano le espressioni come
schema di processo
Per esprimere tale processo in generale basta
sostituire
ordinatamente
al
posto
di
cifre
corrispondenti una lettera come rappresentante.
La lettera indica una cifra qualsiasi
non determinata
variabile
in un certo insieme di valori
Si ottiene
la dimostrazione della regolarità
a•10 + b - (b•10 + a) = (a-b)9 + (a-b) + (b-a)
Questo percorso consente di cogliere
• il senso del passaggio particolaregenerale
• il ruolo del linguaggio algebrico per la
dimostrazione
Dal problem solving al problem posing
 Si può chiedere se esiste una analoga
regolarità considerando la somma anziché la
differenza
Scopriranno che la somma è sempre esprimibile
come prodotto di 11 per la somma delle cifre
 Si può estendere l’indagine a casi più
complessi, ad esempio porre i problemi:
 cosa succede con la differenza (o la somma)
di due numeri di tre cifre ottenuti l’uno
dall’altro invertendoli ordinatamente?
 cosa succede al crescere dell’ordine di
grandezza dei numeri?
Questi ultimi problemi sono certamente più
complessi ma adatti alla secondaria superiore.
Studi svolti da svariati ricercatori, non solo italiani,
testimoniano che un tale genere di attività è possibile
già dalla scuola media,
purché
l’insegnante
 sia consapevole dell’importanza e attui attività
esplorative volte alla individuazione di relazioni e
proprietà ed alla individuazione dei fatti che le
determinano
 pratichi una didattica costruttiva, centrata sulla
argomentazione, sulla riflessione di quanto via
via costruito, sulla verbalizzazione.
Nessuna umana
investigazione si
può dimandare
vera scienza,
s’essa non passa
dalle matematiche
dimostrazioni
Leonardo da Vinci