CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 3
ENUNCIATO del teorema:
un numero naturale è divisibile per 3 se e solo se lo è anche la somma delle sue cifre
altro modo equivalente di enunciare lo stesso teorema:
un numero naturale è multiplo di 3 se e solo se lo è anche la somma delle sue cifre
IPOTESI
,
(consideriamo cioè un qualsiasi numero naturale composto da 4 cifre)
(la somma delle sue cifre è multiplo di 3)
TESI
(k è allora un multiplo di 3, k è divisibile cioè per 3)
L’idea della dimostrazione è far vedere che il numero k si può scrivere come somma di numeri tutti multipli di 3 e
quindi ricavare che anche k è multiplo di 3 (di fatto è un’applicazione dell’ ESERCIZIO 10 delle fotocopie, il
quale afferma che se a = b+c e “b” e “c” sono multipli di un numero “n”- in questo caso n=3 - allora anche la loro
somma “a” – in questo caso a=k - è multiplo di n.)
DIMOSTRAZIONE
Osserviamo innanzitutto che
,
cioè che il resto della divisione di tutte le potenze di 10 per 3 è sempre uguale a 1.
Quindi riscriviamo il numero k usando questa osservazione:
(prop. distributiva)
(moltiplicazione per 1)
(per la seconda ipotesi)
( e
sono operazioni interne a )
C.V.D.
Osservazione finale: non solo abbiamo dimostrato che se la somma delle cifre è divisibile per 3 allora “tutto” il numero k è
divisibile per 3, abbiamo anche di fatto dimostrato che solo se la somma delle cifre è divisibile per 3 lo è anche k (infatti se
nel terz’ultimo passaggio scrivessimo che la somma non è divisibile per 3, cioè a + b + c + d = 3m + r, 0 < r < 3, sarebbe
immediato verificare allora che anche k = 3n + r, 0 < r < 3, cioè anche k non sarebbe divisibile per 3).
