media campionaria

Stat 02 - 1 / 40
Lezione 5
Strumenti
statistici:
campioni e
stimatori
Stat 02 - 2 / 40
le strategie di
campionamento:
- sistematico,
- stratificato,
- per quote,
- a grappolo
Nella parte 1 ...
gli stimatori
campionari
V = v ( X1, X2, …, Xn )
correttezza:
consistenza:
lim P
n 
efficienza:
 V -E V 
E V   

  1
E   V -E V   

E   V -E V   
2
Eff  V1 / V2
2
2
2
1
1
Stat 02 - 3 / 40
parte 2
gli stimatori:
- “media campionaria”
Stat 02 - 4 / 40
Richiami: statistiche e stimatori
• Si definisce “statistica” g ( X1, X2, X3, …, Xn )
una funzione di variabili casuali
che non contiene parametri.
– Una statistica è a sua volta una variabile casuale.
• Si definiscono “stimatori” quelle statistiche che
vengono usate per stimare un parametro
o una sua funzione.
– I valori ottenuti mediante gli stimatori si dicono
“stime” del parametro.
Stat 02 - 5 / 40
Principali statistiche:
momento campionario di ordine 1
• Fra i momenti campionari riveste particolare interesse quello di
ordine 1 ( p = 1 ). E’ chiamato “media campionaria” e coincide
con la media della X per il campione: per questo motivo lo
indicheremo con
Xn
per richiamare il suo significato.

Xj 
1

j 1


M


1
n


p 1

1
M p 
n
n

p
n
X
j 1
j
 Xn
Stat 02 - 6 / 40
Proprietà della media campionaria
teorema 5.1:
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X diversi campioni di n elementi a ciascuno dei quali
corrisponde un insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn }
• posto:
si ha:
1
Xn 
n
n
X
j
j 1
2
E  X n    ; var  X n  
n
qualunque sia l’andamento della f (x)
e qualunque sia la distribuzione della media campionaria
Xn
Stat 02 - 7 / 40
Teorema limite centrale
teorema 5.2:
• Siano X1, X2, …, Xn variabili casuali indipendenti con la
medesima distribuzione con media  e varianza  2 finite.
• Detta Sn = X1 + X2 + … + Xn la variabile casuale costituita
dalla loro somma,
• allora la corrispondente variabile standardizzata
S n  n
 n
• è asintoticamente normale dato che:
lim P
n 
Sn  n


 b 
a 
 n



b
a
 u2 
1
 exp   du
2
 2
Stat 02 - 8 / 40
Variabile standardizzata
• da una variabile casuale X con media  e varianza  2 finita
si ricava la corrispondente variabile standardizzata
Xstandardizzata
– sottraendo ad X la sua media 
– dividendo la differenza X -  per il valore della
“deviazione standard”  ( radice quadrata positiva della
varianza )
X standardizzata
X 


Stat 02 - 9 / 40
Teorema limite centrale
teorema 5.2:
• Siano X1, X2, …, Xn variabili casuali indipendenti con la
medesima distribuzione con media  e varianza  2 finite.
• Detta Sn = X1 + X2 + … + Xn la variabile casuale costituita
dalla loro somma,
• allora la corrispondente variabile standardizzata
S n  n
 n
• è asintoticamente normale dato che:
lim P
n 
Sn  n


 b 
a 
 n



b
a
 u2 
1
 exp   du
2
 2
Stat 02 - 10 / 40
Proprietà della media campionaria
• Se dividiamo sia il numeratore sia il denominatore
della
S n  n
 n
per n otteniamo:
Sn

S n  n
 n
 n
 n
n
ricordando poi che:
Sn = X1 + X2 + … + Xn
otteniamo:
Stat 02 - 11 / 40
Proprietà della media campionaria
Sn = X1 + X2 + … + Xn
Sn

S n  n n


 n
 n
n
Con cui si può affermare che
X 
1 n
Xj 

n j 1

è asintoticamente normale.
1
n
n
n
j
j 1

n
Stat 02 - 12 / 40
Proprietà della media campionaria
• se X1, X2, …, Xn anziché variabili casuali indipendenti
definite per popolazioni diverse, ancorché con la medesima
distribuzione e con media  e varianza  2 finite,
sono variabili casuali indipendenti definite per la stessa
popolazione (con media  e varianza  2 finita) che
corrispondono ad un campione di n elementi
• allora possiamo scrivere anche:
S n  n

 n
1
n
X 
n
j
j 1

n
Xn  


n
Stat 02 - 13 / 40
Proprietà della media campionaria
• questo ci permette di affermare che anche la variabile
(standardizzata)
Xn  

n
è asintoticamente normale dato che è possibile scrivere:
 Xn  

  n


P
 nlim


S n  n

 n
S n  n


 b 
a 
 n



b
a
 u2 
1
 exp   du
2
 2
Stat 02 - 14 / 40
Proprietà della media campionaria
Variabile standardizzata:
si era scritto che:
• da una variabile casuale X con media  e varianza  2 finita
si ricava la corrispondente variabile standardizzata
Xstandardizzata
– sottraendo ad X la media 
– dividendo la differenza X -  per il valore della
“deviazione standard” , ( radice quadrata positiva della varianza )
X standardizzata
X 


Stat 02 - 15 / 40
Proprietà della media campionaria
X standardizzata
X 


dato che la variabile standardizzata
Xn  

n
è asintoticamente normale si può affermare che, per n che tende
all’infinito, la variabile casuale
1
Xn 
n

n
j 1
Xj



ha distribuzione normale,
2
E  X n    ; var  X n  
n
Stat 02 - 16 / 40
Distribuzione della media campionaria
teorema 5.3:
• Sia data una popolazione infinita per cui è stata definita la
variabile casuale X avente densità f (x) , media  finita e
varianza  2 finita.
• Detta:
Xn
la media della X per un campione casuale di
dimensione n estratto da essa,
• allora, al tendere di n ad infinito,
la media campionaria
1
Xn 
n
- segue una distribuzione normale
- con media  e varianza  2 / n .
n
X
j 1
j
Stat 02 - 17 / 40
considerazioni
• Il teorema 5.3 non fa alcuna considerazione sulla distribuzione
della X, ma richiede solamente che media  e varianza  2
siano finite.
• La possibilità di costruire un campione di dimensione n che
tende all’infinito è ovviamente solo teorica, ma l’enunciato del
teorema deve essere inteso nel senso che:
– quanto più il campione è numeroso,
– tanto meglio la distribuzione della media campionaria
approssima una distribuzione normale con media  e
varianza  2 / n.
Stat 02 - 18 / 40
Distribuzione della media campionaria
f (x)
1
Xn 
n
n
X
j 1
j
Stat 02 - 19 / 40
Proprietà della media campionaria
conseguenze 1) e 2) del teorema 5.3 enunciato:
1) la distribuzione della media campionaria ha media coincidente
con la media della X relativa alla popolazione da cui proviene il
campione
E  Xn 
pertanto
la media campionaria è uno stimatore corretto
della media  della X per l’intera popolazione.
Stat 02 - 20 / 40
Proprietà della media campionaria
conseguenze 1) e 2) del teorema 5.3 enunciato:
2) nel caso di popolazioni infinite o di campionamento con
ripetizione la distribuzione della media campionaria
ha una varianza che, risultando inversamente proporzionale al
numero degli elementi che costituiscono il campione,
tende a 0 per n che tende all’infinito
pertanto
2
var  X n  
n
la media campionaria è uno stimatore consistente
della media  della X per l’intera popolazione.
Stat 02 - 21 / 40
Proprietà della media campionaria
2
var  X n  
n
corollario:
la distribuzione della media campionaria presenta una
dispersione attorno al proprio valore medio che, espressa in
termini di “deviazione standard ”, risulta inversamente
proporzionale alla radice quadrata del numero degli elementi
che costituiscono il campione.
Possiamo anche notare che ad un aumento di quattro volte della
dimensione del campione corrisponde solamente un dimezzamento
della deviazione standard della nuova distribuzione della media
campionaria.
Stat 02 - 22 / 40
Proprietà della media campionaria
teorema 5.4:
• dato un campione di n elementi prelevato senza ripetizione da
una popolazione composta da N elementi per cui è definita la
variabile casuale X, posto:
1
Xn 
n
n
X
• si ha:
j
j 1
2 N  n
var  X n  

n N 1
N  10000
N n
 0,99

n  100 
N 1
;
N  500 
N n
 0,80

n  100 
N 1
Stat 02 - 23 / 40
Distribuzione della media campionaria
Avevamo affermato che:
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X diversi campioni di n elementi a ciascuno dei quali
corrisponde un insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn }
posto:
1
Xn 
n
n
X
j
j 1
al tendere di n ad infinito si ha:
2
E  X n    ; var  X n  
n
qualunque sia l’andamento della f (x)
e qualunque sia la distribuzione della media campionaria
• Ma qual è la distribuzione della media campionaria ?
Xn
.
Stat 02 - 24 / 40
Distribuzione della media campionaria
distribuzione normale
fX 
1
x 
2π σ X
 1
exp 
 2
 x μX

 σX



2



“… allora, al tendere di n ad infinito, la media campionaria segue
una distribuzione normale
con media  e varianza  2 / n …” :
f  X 
n
1
2

n


1

exp 
 2






 Xn   
  


 n 
2






Stat 02 - 25 / 40
gli stimatori:
- “varianza campionaria”
Stat 02 - 26 / 40
Principali statistiche:
momento campionario rispetto a X n .
definizione 5.3:
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si chiama
“momento campionario di ordine p rispetto a X n ” la statistica:
1
Mp 
n
 X
n
j
 Xn
p
j 1
• Il momento campionario di ordine 2 rispetto a X n
definisce la varianza campionaria S 2,
il cui valore coincide con la varianza della X nel campione:
1
M2 
n
 X
n
j 1
 Xn   S2
2
j
Stat 02 - 27 / 40
Varianza campionaria S 2
La varianza campionaria S 2 può essere usata come stimatore
della varianza 2 della X relativa all’intera popolazione?
1
S 
n
2

X
n
j
 Xn

2
?
1
 
N
 x
 V -E V 
  1
2
j 1
correttezza degli
stimatori campionari
consistenza degli
stimatori campionari
N
j
j 1
E V   
lim P
n 

 X 
2
Stat 02 - 28 / 40
Varianza campionaria S 2
E’ possibile dimostrare che
E  S 2   2
pertanto la varianza campionaria S 2 non è uno stimatore corretto
della varianza della X relativa all’intera popolazione!!!
La dimostrazione di tale affermazione ci consentirà di individuare
uno stimatore campionario corretto della varianza  2.
Stat 02 - 29 / 40
Varianza campionaria S 2
E  S 2   2
dimostrazione:
1 n
2
S   X j  X n 
n j 1
2
se scriviamo:
X j  X n  X j  μ  μ  X n   X j  μ    X n  μ 
allora:
X
 X n   X j     2 X nj     X nj     X n   
2
j
2
2
Stat 02 - 30 / 40
Varianza campionaria S 2
X
 X n   X j     2  X n     X j      X n   
2
j
2
2
da cui si ricava, passando alle sommatorie:
 X
n
j 1
 Xn 
2
j
 X
n
  
2
j
j 1
 2 X n    
 X
n
j 1
j
  
n
 X
j 1
n
 
2
Stat 02 - 31 / 40
Varianza campionaria S 2
 X
n
j 1
 X n    X j    
n
2
j
2
j 1
 2  X n      X j       X n   
notiamo che:
n
n
j 1
j 1
2
 X     n   X   
n
j
n
j 1
 X
n
da cui:
j 1
 X n    X j    
2
j
n
2
j 1
 2 n  X n      X n   
2
n
j 1
2
Stat 02 - 32 / 40
Varianza campionaria S 2
 X
n
j 1
j
 Xn
   X
n
2
j 1
j
 
2

 2 n  X n      X n   
n
2
j 1
notiamo poi che:
 X
n
j 1
    n  X n   
2
n
2
da cui:
 X
n
j 1
 Xn  
2
j
 X
n
j 1
    n  X n   
2
j
2
2
Stat 02 - 33 / 40
Varianza campionaria S 2
 X
 Xn  
n
2
j
j 1
 X
n
    n  X n   
2
j
2
j 1
Dividendo ambo i membri per n si può scrivere:
1
n
 X
n
j 1
j
 Xn 
2
1

n
 X
n
j 1
j
 
2
n
2
  X n   
n
e, passando ai valori medi in ambo i membri:
E
1 n
2
  X j  X n    E
 n j 1

1 n
2
  X j      E
 n j 1

X
n
 
2

Stat 02 - 34 / 40
Varianza campionaria S 2
E
1 n
2
  X j  X n    E
 n j 1

1 n
2
  X j      E
 n j 1

X
n
 
2
la variabile casuale X ha media  e varianza 2 pertanto, per n che
tende all’infinito, si può scrivere:
1 n
2
2




X



var
X


 j
n j 1
da cui:
E

1 n
1 n 2
2
22 
2
X j  Xn X j  E
 X n   
 E
 n j 1
 n j 1 



Stat 02 - 35 / 40
Varianza campionaria S 2
E
1 n
2
2


X

X



  j

n
 n j 1

E X n  
2

per n che tende all’infinito, la variabile casuale media campionaria
1
Xn 
n
pertanto:
X
n
j 1

j
 ha distribuzione normale,
2

 E  X n    ; var  X n  
n

2
2
1 n 2



1 2n

2
E X n
 j X n  Xn2  
E
 X
n j 1
 n n
 n j 1
Stat 02 - 36 / 40
Varianza campionaria S 2
E
2
1 n




2
2
  X j  X n       
 n 
 n j 1

raccogliendo al secondo membro, si ottiene:
E
1 n
n 1 2
2



  X j  Xn  
n
 n j 1

da cui si conclude che:
E
1 n
2
2


X

X


  j

n
 n j 1

Stat 02 - 37 / 40
Varianza campionaria S 2
E’ stato possibile dimostrare che
E  S 2   2
pertanto la varianza campionaria S 2 non è uno stimatore corretto
della varianza 2 !!!
Come stimatore della varianza 2 si può usare
la “varianza campionaria corretta” Sn2
n
n 2
S 
M2 
S
n 1
n 1
2
n
che, come ora è facile mostrare, è uno stimatore corretto.
Stat 02 - 38 / 40
Varianza campionaria corretta Sn 2
Nel caso della varianza campionaria S 2 si era concluso che:
1

 n
 n 1 2
X j  X n   
E

n

j 1
è sufficiente moltiplicare ambo i membri per n / ( n -1 ) per ottenere:
n
E
n 1
da cui:
E
1

 n
n

 X
 1

 n  1
2
 Xn 
n
j
2
j 1
 X
n
j 1
j
 Xn 

n n 1 2



 n  1 n
2

2
2
  E Sn  

 
Stat 02 - 39 / 40
La prossima volta…
Lo stimatore “varianza campionaria corretta”
e la sua distribuzione