Recupero della II Prova in Itinere di Statistica Matematica A

Recupero della II Prova in Itinere di Statistica Matematica A - 10 Febbraio 2003
Allievi Meccanici, II anno, sez. N-Z
Docente: L. Valdettaro
Tempo a disposizione: 2 ore
I. Domande a risposta multipla
Ogni domanda ha una sola risposta esatta. Le risposte sbagliate sono contate negativamente per un terzo del valore della risposta esatta.
1.
Sia X una variabile aleatoria continua con funzione quantile q. Se a, b sono
numeri reali (a > 0), allora la funzione quantile u di aX + b vale
nessuna delle altre risposte è corretta
u = (q − b)/a
ì u = aq + b
√
u = (q − b)/ a
1 P
2.
La statistica X = n−1 i xi per il valore medio di una popolazione con varianza
incognita è uno stimatore:
distorto (anche asintoticamente)
ì distorto ma asintoticamente corretto
la correttezza dello stimatore dipende dalla legge della popolazione
corretto
3.
In un test d’ipotesi H0 : µ = µ0 sulla media con varianza nota, dimezzando la dimensione n del campione e supponendo che non vari il valore della media
campionaria,
non si hanno abbastanza elementi per decidere come varia il p-value
il p-value resta invariato
il p-value diminuisce
ì il p-value aumenta
4.
Sia Xi una successione di v.a. indipendenti identicamente distribuite con valore
atteso µ e varianza σ 2 . Per n grande si ha:
X n − σ 2 /n ∼ N (µ − σ 2 /n, 0)
X n − σ 2 /n ∼ N (µ, σ 2 /n)
X n − σ 2 /n ∼ N (µ, 0)
ì X n − σ 2 /n ∼ N (µ − σ 2 /n, σ 2 /n)
1
II. Esercizi
Riportare oltre al risultato anche (sinteticamente) il procedimento con cui esso è stato
trovato. Gli esercizi dove compare solo il risultato verranno considerati nulli, anche se
questo fosse esatto.
1.
In Lombardia negli ultimi 4 inverni sono stati registrati, durante i mesi di
Novembre, Dicembre e Gennaio, i seguenti casi di meningite
99/00
00/01
01/02
02/03
13
15
20
18
Supponendo che il numero di abitanti sia rimasto sostanzialmente invariato in questi
anni (e pari a 8.940.000) e tenendo come livello di riferimento la media dei primi 3 anni
di monitoraggio, si vuole decidere se l’epidemia di quest’anno è più preoccupante.
a) Si adotti il punto di vista precauzionale (non si vuole correre il rischio di sottovalutare l’epidemia): si formuli l’ipotesi nulla adeguata e si discuta la validità dell’ipotesi
con un livello di significatività del 5%.
b) Si adotti il punto di vista non allarmistico (non si vuole sopravvalutare l’epidemia):
si formuli l’ipotesi nulla adeguata, si calcoli il p-value e si discuta la validità dell’ipotesi.
2.
Un sondaggio condotto su un campione di 300 persone di sesso maschile e 300
persone di sesso femminile, volto a determinare il numero di fumatori, ha fornito i
seguenti risultati:
Femmine
Maschi
Non fumatori
210
184
Fumatori
90
116
Determinare se al livello di significatività del 5% si può ipotizzare che l’abitudine
al fumo sia indipendente dal sesso.
3.
La variabile aleatoria peso di una persona di sesso maschile viene supposta
normale. Da un grande campione di persone risulta che la frazione di quelli con peso
superiore a 100 Kg è pari al 3%, mentre quelli di peso inferiore a 53 Kg erano il 4%.
Determinare la probabilità che una persona scelta a caso abbia un peso inferiore a 62
Kg.
4.
Una serie di 51 misure del diametro dei chicchi di grandine durante una precipitazione ha fornito i seguenti risultati:
la media campionaria è risultata pari a 1.05 cm
la deviazione standard campionaria è risultata pari a 2.1 mm.
a) Determinare l’intervallo di confidenza al 96% per il valore medio.
b) Determinare la maggiorazione per la varianza del diametro con un livello del 94%.
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