distribuzione campionaria delle frequenze

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DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE:
Bisogna ricordare che:


Una misura che descrive una caratteristica della popolazione si chiama parametro.
Una misura che descrive una caratteristica di un campione è chiamata statistica.
I parametri della popolazione sono valori numerici costanti , le statistiche campionarie sono
variabili aleatorie che presentano una distribuzione campionaria.
Definizione
POPOLAZIONE
Tutte le unità statistiche
Caratteristiche
Media
Varianza
Deviazione Standard
Frequenza rel
Ampiezza
Parametri
μ
б²
б
φ
N
CAMPIONE
Parte dell’unità statistica
(rappresentativa e casuale)
Statistica
x
s²
s
fR
n
Da una popolazione N e di ampiezza n devo applicare la seguente formula (la formula mi manca
o.O”).
Definiamo inoltre che una distribuzione campionaria è una distribuzione di tutti i possibili valori du
una statistica campionaria.
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE MEDIE
Si consideri un caso molto semplice:
Una popolazione costituita dai 6 valori nel lancio di un dado:
Popolazione
1,2,3,4,5,6
μ= xı = 1+2+3+4+5+6
n
6
= 3,5
б = ( xı-n)² = (1-3,5)² + (2-3,5)²……….(6-3,5)²
n
6
= 2,916
Il campionamento è il calcolo di tutti i possibili campioni di ampiezza 2 che si ottengono nel lancio
di due dadi.
D* N,n = Nn = D*6,2 = 6² = 36
Campioni:
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
Per fare la media, si sceglie uno dei campionie:
_
x = 3+4 = 7 =3,5
2
2
→
considerando 3,4
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE FREQUENZE
Si consideri il catodi una popolazione di tipo binomiale;
In questo tipo di popolazione le unità statistiche si dividono a seconda che presentino o meno una
certa modalità. Indicando con il successo il fatto che la presentino e con l’insuccesso il fatto che non
la presentino.
Variabili aleatorie:
x=1
x=0
→ successo
→ insuccesso
p= probabilità favorevole
q= 1-p (probabilità contraria)
In un campione di n elementi la media e la deviazione standard dei successi è data:
μ=np
б=npq
Consideriamo ora la distribuzione campionaria della frequenza dei successi.
Si prenda in esame un campione di n elementi in cui la frequenza dei successi è f
f= variabile aleatoria campionaria
Dal teorema del limite centrale
z= x- μ
б
Abbiamo:
z= f-np
npq
Dividendo tutto per n e sostituendo:
z=
fR – p
pq/n
in questo caso si parla di distribuzione campionaria delle frequenze relative che è una distribuzione
che tende alla distribuzione normale , per n sufficentemente grande (n>=30), con media μp = p e
б=pq/n.
DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA VARIANZA
Esempio:
Un’urna contiene 4 gettoni numerati, i numeri sono:
1,2,3,4
Determinare:
a. La media e la varianza della popolazione.
b. La distribuzione campionaria della varianza, se N=2 la media e la varianza di questa
distribuzione.
c. Verificare la relazione:
μs² = n-1 б²
n
E’ possibile conoscere la distribuzione della campionaria della varianza se:
n è molto grande; infatti per il teorema del limite centrale la variabile aleatoria S² in una
distribuzione asintoticamente normale, qualunque sia la distribuzione della variabile aleatoria X
della popolazione da cui è stato estratto il campione.
La popolazione ha una distribuzione normale di con media μ e varianza б² in questo caso si può
dimostrare che il rapporto:
n(S²)
б²
ha una distribuzione χ² con nu(lettera greca)=n-1
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