lacuna come si amplia l`insieme dei numeri razionali?
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Copyright Luisa Camnasio uso consentito solo per le attività didattiche dell’Iti «Fermi» di Desio Siamo nel V secolo avanti Cristo, in una località della Magna Grecia, probabilmente sulle coste dell'Italia meridionale, nei pressi di Crotone. Primo atto: tutto è numero! Quali erano i numeri incaricati di esprimere il mondo e l'armonia, i numeri che avevano il compito di descrivere il cosmo? I NUMERI INTERI Quali erano i numeri incaricati di esprimere il mondo e l'armonia, i numeri che avevano il compito di esprimere il cosmo? E ANCHE LE FRAZIONI Quali erano i numeri incaricati di esprimere il mondo e l'armonia, i numeri che avevano il compito di esprimere il cosmo? MA SOLO NUMERI POSITIVI! Questi numeri, definiti in seguito razionali, permettevano di… esprimere numericamente grandezze geometriche e, quindi, misurarle. Secondo atto: l’arrivo della diagonale del quadrato di lato 1 LATO CHE RAPPORTO ESISTE TRA LATO E DIAGONALE? Prendiamo il quadrato più semplice, quello con il lato uguale a 1 1 Qual è la lunghezza della sua diagonale? 1 La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli 1 La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli 1 TRIANGOLI RETTANGOLI…? Teorema di… PITAGORA!!! In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti QUINDI: quadrato della diagonale 1 = 1 2 1 + 2 1 QUINDI: quadrato della diagonale 1 = 1 1 + 1 QUINDI: quadrato della diagonale 1 = 1 2 Ecco l’informazione essenziale: la lunghezza della diagonale è un numero il cui quadrato è 2 Che numero è? Questo numero esiste davvero? E se non esiste… come accertarsene? Terzo atto: la crisi della visione pitagorica legame tra numeri e grandezze Il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili CRISI DELL’UNIVERSO DEI PITAGORICI FINO A QUEL MOMENTO: tutto ciò che si può costruire si può “misurare” RIVELAZIONE: La misura di alcune grandezze non si può esprimere con un numero razionale La prima dimostrazione nella storia della matematica è stata una dimostrazione di impossibilità È venuto il momento di affrontare questa famosa dimostrazione… ENUNCIATO: Non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2 DIMOSTRAZIONE: Procediamo per assurdo supponendo che esista almeno un numero razionale n tale che 2 n =2 DIMOSTRAZIONE: Per definizione, n si può scrivere come rapporto di due numeri interi a, b: a n= b DIMOSTRAZIONE: Possiamo supporre che: MCD(a,b) = 1 a n= b 2 n = 2 a 2 b DIMOSTRAZIONE: 2 n = 2 a 2 n 2 b 2 a 2 b =2 =2 DIMOSTRAZIONE: 2 a 2 b 2 a = =2 2 2 b DIMOSTRAZIONE: 2 a = 2 2 b 2 a a è pari è pari a = 2c 2 a = 2 4c 2 2c = 2 b = 2 2b DIMOSTRAZIONE: 2 b è Quindi pari e, di conseguenza, anche b lo è ??? Ma questo è impossibile!!! Infatti a è pari e MCD(a,b) = 1 CONCLUSIONE: È ASSURDO SUPPORRE CHE ESISTA UN NUMERO RAZIONALE IL CUI QUADRATO È 2 cvd COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? Consideriamo il problema del numero il cui quadrato è 2. Tale numero non esiste in Q, come abbiamo dimostrato COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? Possiamo però cercare di “avvicinarci” il più possibile alla soluzione, usando dei numeri razionali. Costruiamo cioè due “successioni” di numeri razionali i cui quadrati si avvicinano, rispettivamente per eccesso e per difetto, a 2 COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? 1 1,4 1,41 1,414 1,4142 2 1,5 1,42 1,415 1,4143 Il quadrato dei numeri in rosso è minore di 2, quello dei numeri in blu è maggiore di 2. Inoltre i numeri in rosso differiscono da quelli in blu di un’unità di ordine via via inferiore: 1, 1/10, 1/100, 1/1000... COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? 1 1,4 1,41 1,414 1,4142 2 1,5 1,42 1,415 1,4143 Non troveremo mai un numero razionale il cui quadrato è 2, ma possiamo restringere quanto vogliamo l’intervallo intorno alla “lacuna” che c’è, nell’insieme dei numeri razionali rappresentati su una retta orientata, in corrispondenza del segmento che è la diagonale del quadrato di lato 1 COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? 0 1 2 COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? 0 1 LACUNA 2 COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? 1 1,4 1,5 2 COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? 1,4 1,5 1,41 1,42 E COSÌ VIA COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? Una coppia di successioni come quelle con cui abbiamo “assediato” la diagonale del quadrato di lato 1 definisce un numero reale. Non è facile lavorare con la definizione rigorosa dei numeri reali, elaborata da Dedekind, che definisce i numeri reali come coppie di particolari insiemi di numeri razionali, detti “sezioni”. COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? Definiremo quindi un numero reale come allineamento decimale. In particolare un allineamento decimale non periodico, non potendo essere trasformato in una frazione, si dice NUMERO IRRAZIONALE. COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? NUMERI RAZIONALI allineamenti decimali periodici NUMERI IRRAZIONALI allineamenti decimali NON periodici NUMERI REALI COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI? Per operare più agevolmente con i numeri reali senza ricorrere ad approssimazioni, definiremo i “radicali” e ne studieremo le proprietà.
