Poligoni inscritti e circoscritti
Preparatevi all’esame di matematica e scienze,
studiando queste pagine, scaricate da internet e
rielaborate da me, per il prossimo incontro.
Fate attenzione ad alcune imprecisioni, che
volutamente non ho modificato, per incrementare il
vostro spirito critico
by iprof
Circonferenza e cerchio
Definizione di circonferenza
Si definisce
circonferenza il
luogo geometrico
dei punti del piano
equidistanti da un
punto detto centro
della circonferenza
Definizione di cerchio
Si
definisce
cerchio la
porzione di
piano racchiusa
da una
circonferenza
Raggio
Si definisce
raggio di una
circonferenza in
segmento che
unisce il centro
con un qualsiasi
punto della
circonferenza
Corda e diametro
Si definisce corda
qualsiasi segmento che
unisce due punti della
circonferenza
Si definisce diametro
una corda che passa per
il centro della
circonferenza
È facile vedere che :
d
= 2r
Rapporto fra circonferenza e
diametro
Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri
che più ricorrono e non solo in matematica
Si tratta di un numero che non può essere espresso
come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla
categoria dei numeri irrazionali
Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando
abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2
Nel nostro caso abbiamo che:
C
d
p
p
3,14…
Formule
C=pxd
Circonferenza
uguale a p greco
per il diametro
d
C
p
Ma d = 2 x r
allora
Formu
le
invers
e
C = p x 2r
Circonferenza uguale
a p greco per due
volte il raggio
r
C
2p
Area del cerchio
Consideriamo i seguenti poligoni regolari
Un poligono a 6 lati
Un poligono a 10 lati
Un poligono a 24 lati
La formula per calcolare l’area di questi
poligoni è sempre la stessa:
A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)
2P = n x l (n = numero dei lati l lato)
Ogni poligono è inscritto in un circonferenza
ed in rosso è mostrato il raggio
Asserviamo cosa succede al poligono
all’aumentare del numero dei lati fissando
prima la nostra attenzione sulla differenza fra
poligono e circonferenza circoscritta
Puoi osservare che all’aumentare del
numero dei lati il poligono tende
sempre di più ad assomigliare ad una
circonferenza tanto che già a 24 lati si
fa fatica a distinguerli
Adesso fissiamo la
nostra attenzione sul
raggio e sull’apotema
Se noi facciamo diventare infinito
il numero dei lati il poligono
coinciderà con la circonferenza e
l’apotema con il raggio
Si nota che nella prima
figura la differenza e
percettibile ma
nell’ultima essa diventa
trascurabile
Conclusioni
Nella formula
diventa
diventa
segue
Formula della lunghezza
di una circonferenza
A = (2pr x r) : 2
infi
ne
Formula inversa
Rappresentazione grafica: a sx
angoli alla circonferenza a dx angoli
al centro
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ANGOLI
AL CENTRO
=2
o
TEOREMA: L’ANGLO AL CENTRO E’
SEMPRE IL DOPPIO DELL’ANGOLO ALLA
CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO
STESSO ARCO
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo
rettangolo.
Infatti l’angolo alla circonferenza α è la
metà del corrispondente angolo al
centro ß che è piatto
α
ß
COROLLARIO
Altro esempio di proporzionalità è il seguente:
In una stessa circonferenza gli archi sono direttamente proporzionali
ai corrispondenti angoli al centro.
Se l=m allora 1=2
l
Alla somma l+m corrsponde la
somma 1+2
1
2
m
1 e 2 sono gli angoli al centro (voi siete abituati ad indicare
gli angoli con le lettere greche…..)
I poligoni e la circonferenza
Poligoni inscritti e circoscritti
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono
punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono
tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel
poligono e il raggio si chiama apotema del poligono.
Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia:
• inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino
nello stesso punto che è il centro della circonferenza
• circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si
intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza.
1
I poligoni e la circonferenza
Caso dei quadrilateri
Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti:
un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari
A+D = 180°
E+B = 180°
un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è
congruente alla somma degli altri due.
AB + DE ≅ AE + BD
2
I poligoni e la circonferenza
Caso dei quadrilateri
Conseguenze:
un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono
congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti
non è congruente alla somma degli altri due
un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi
angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile
un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i
lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma
degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono
supplementari
un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza
perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo
(quindi è circoscrittibile)
3
I poligoni e la circonferenza
Poligoni regolari
Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare.
Se un poligono è regolare allora:
• ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati
• ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati
• è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta
hanno lo stesso centro
4
I poligoni e la circonferenza
Punti notevoli dei triangoli
Punti notevoli di un triangolo:
• gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro,
centro della circonferenza circoscritta al triangolo
• le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto
incentro, centro della circonferenza inscritta
• le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro
6
Consideriamo un esagono regolare inscritto in una circonferenza
A
r
O
1
r
B
L’ANGOLO 1 è LA SESTA PARTE DELL’ANGOLO GIRO, QUINDI è DI 60°.Il
triangolo OAB è isoscele perché i lati sono uguali al raggio. Quindi gli angli alla
base sono di 60°. Pertanto il triangolo, avendo glia angoli congruenti, è equilatero.
AB= r
I poligoni e la circonferenza
Punti notevoli dei triangoli
• le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro;
il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali
quella che contiene il vertice è doppia dell’altra
AO ≅ 2ON
BO ≅ 2OS
CO ≅ 2OM
Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un
circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel
caso del triangolo equilatero.
7
