Le Simmetrie - Liceo Lanza
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Le Simmetrie (costruzioni) Le simmetria costituiscono un argomento di estrema importanza sia in matematica che nelle scienze, in natura e nell’arte e nell’architettura. Una simmetria è, in genere, una operazione che muove o trasforma un oggetto lasciandone però inalterato l'aspetto. In questa presentazione come devono essere costruite figure geometriche che sono soggette a simmetrie o in genere a trasformazioni geometriche. Trasformazione geometrica Una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca che ad ogni punto del piano associa uno ed un solo punto del piano stesso. Tra le trasformazioni geometriche di notevole importanza vi è la trasformazione isometrica. Trasformazione Isometrica Una trasformazione geometrica si dice isometrica se essa conserva le distanze. Le principali trasformazioni isometriche vi sono: •Le simmetria assiali; •Le simmetria centrali; •Le traslazioni; •Le rotazioni. Simmetria assiale Per definire cosa è una simmetria assiale si esegue prima una costruzione geometrica, successivamente verranno fornite le sue caratteristiche. La costruzione verrà eseguita mediante il programma di matematica GeoGebra. Simmetria assiale di un punto Si indica con r la simmetria assiale di asse r. Inoltre sia A il punto di cui effettuare la simmetria assiale rispetto all’asse di simmetria r. Simmetria assiale di un punto Dal punto A si traccia la perpendicolare, a, all’asse di simmetria r. Simmetria assiale di un punto La retta a interseca l’asse di simmetria r nel punto H. Simmetria assiale di un punto Con centro nel punto H si traccia un arco di circonferenza, d, il cui raggio, R, vale: R = [AH] Simmetria assiale di un punto Sia F il punto di intersezione tra l’arco di circonferenza, d, e la retta a. Dalla costruzione deduce che: R = [AH] = [HF] si Simmetria assiale di un punto In sintesi: Il punto F è il simmetrico di A rispetto alla retta r. Inoltre si ha che i segmenti b = [AH] e = [FH] sono isometrici congruenti (o uguali). b = [AH] = [FH] = e o Simmetria assiale di un punto definizione Dalla costruzione della simmetria assiale ortogonale (ortogonale poiché la retta a è perpendicolare all’asse di simmetria r) del punto A, si può definire la simmetria assiale (o riflessione), r, come una trasformazione geometrica che, assegnato una retta r, associa ad ogni punto A del piano il punto F (unico), simmetrico di A rispetto alla retta r (r = asse di simmetria). r : A F r A F Simmetria assiale di un punto Un caso particolare di simmetria assiale di un punto è quello in cui il punto A è un punto dell’asse di simmetria. In questo caso il simmetrico di A è il punto stesso A. r : A A r A A Simmetria assiale di un segmento Dopo aver illustrato il modo cui si costruisce il simmetrico di un punto rispetto ad una retta, si costruirà il simmetrico di un segmento, [AB], rispetto alla retta r. Per costruire il simmetrico del segmento [AB], è necessario osservare che un segmento è individuato dai suoi due punti estremi A e B. Pertanto, per costruire il simmetrico di [AB] è necessario trovare i simmetrici dei punti A e B. Simmetria assiale di un segmento Dal punto A si traccia la retta b perpendicolare all’asse di simmetria r. Simmetria assiale di un segmento Dal punto E di intersezione della retta b con l’asse di simmetria, r, si traccia un arco di circonferenza, d, di raggio R= [AE] Simmetria assiale di un segmento L’intersezione dell’arco di circonferenza, d, con la retta b è il punto A1. Il punto A1 è il simmetrico del punto A rispetto all’asse r. Per trovare il simmetrico di B rispetto all’asse r si ripete la costruzione fatta per trovare il simmetrico di A. Si inizia tracciando la perpendicolare, e, alla retta r. Simmetria assiale di un segmento Ripetendo la costruzione si ottiene che il punto B1 è il simmetrico di B rispetto all’asse r. Simmetria assiale di un segmento Collegando i punti A1 e B1 si ottiene il segmento h: h = [A1B1] Simmetria assiale di un segmento Il segmento [A1B1] è il simmetrico del segmento [AB] rispetto all’asse di simmetria r. Una conseguenza della costruzione è che i due segmenti, [AB] e [A1B1], sono isometrici o congruenti. [AB] = [A1B1] Simmetria assiale di un segmento In sintesi, in una simmetria assiale ortogonale, ad un segmento corrisponde un segmento la cui lunghezza è identica al primo segmento. r : [ AB ] [ A1B1 ] r [ AB ] [ A1B1 ] [AB] [A1B1 ] Simmetria assiale di un segmento Per verificare che i due segmenti sono isometrici, si considera il caso particolare in cui un estremo del segmento appartiene all’asse di simmetria. Da come è stata effettuata la costruzione, si constata che si vengono a formare due triangoli rettangoli: [AEB] e [A1EB1] Simmetria assiale di un segmento I due triangoli rettangoli, [AEB] e [A1EB1], sono isometrici (o congruenti) poiché: 1) Hanno entrambi un angolo retto; 2) Per costruzione sono isometrici i due lati [AEB] e [A1EB1]; 3) Il lato [AE] è in comune. Pertanto si ha che: [AB] [A1B1] Simmetria assiale di un poligono Una estensione della simmetria assiale di un punto e di un segmento è la simmetria assiale di un poligono (simmetria assiale di un triangolo.) Simmetria assiale di un poligono Per ognuno dei vertici del triangolo si effettua la costruzione per individuare i punti simmetrici rispetto ad un asse di simmetria. Simmetria assiale di un poligono Per ognuno dei vertici del triangolo si effettua la costruzione per individuare i punti simmetrici rispetto ad un asse di simmetria. Simmetria assiale di un poligono Per ognuno dei vertici del triangolo si effettua la costruzione per individuare i punti simmetrici rispetto ad un asse di simmetria. Simmetria assiale di un poligono Per ognuno dei vertici del triangolo si effettua la costruzione per individuare i punti simmetrici rispetto ad un asse di simmetria. Simmetria assiale di un poligono Per ognuno dei vertici del triangolo si effettua la costruzione per individuare i punti simmetrici rispetto ad un asse di simmetria. Simmetria assiale di un poligono Collegando i punti simmetrici si ottiene di nuovo un triangolo. Simmetria assiale di un poligono In seguito ad una simmetria assiale ortogonale il triangolo [ABC] viene trasformato nel triangolo [A1B1C1]. r :[ ABC] [ A1B1C1 ] r [ ABC] [ A1B1C1 ] Come già visto e dimostrato in precedenza, i lati dei due triangoli sono isometrici, o congruenti, tra di loro. Simmetria assiale di un poligono Dalla isometria dei lati discende, per il terzo criterio di isometria di due triangoli, che sono isometrici anche gli angoli. Nei due triangoli la lettura degli avviene in senso opposto. Simmetria assiale di un poligono Per un poligono qualsiasi valgono le stesse considerazioni fatte per il triangolo: 1) i lati sono ordinatamente isometrici; 2) gli angoli sono ordinatamente isometrici. Inoltre il verso di lettura sia dei lati che degli angoli è opposto. Simmetria centrale Per definire e costruire una simmetria centrale rispetto ad un punto O, verrà costruito il simmetrico di un punto A rispetto al punto O. Si fissa un punto O, centro di simmetria. Si considera un punto A. Simmetria centrale Si traccia la retta r passante per i punti O ed A. Simmetria centrale Con apertura di compasso di centro O (centro di simmetria) e raggio, R, pari al segmento [OA] si traccia l’arco di circonferenza d. Simmetria centrale L’arco di circonferenza, d, interseca la retta r nel punto D. Simmetria centrale Per costruzione, i due segmenti, [AO] e [OD], che vengono individuati sono isometrici o congruenti. AO OD Dalla costruzione effettuata, si deduce che il punto O è il punto medio del segmento [AD. Simmetria centrale Il punto D, che è stato costruito, si chiama simmetrico di A rispetto ad O. Simmetria centrale La simmetria centrale, O, di centro O è una trasformazione che ad ogni punto, A, associa un punto, D, del piano che è simmetrico rispetto al punto O. O : A D O ( A) D Simmetria centrale - segmento Adesso verrà eseguita la costruzione della simmetria del segmento [AB] rispetto al centro O. Il segmento, [AB], viene disegnato in modo orientato. Simmetria centrale - segmento Dal punto B si traccia la retta s che passa per il centro O. Simmetria centrale - segmento Con centro nel punto O e raggio, R, uguale al segmento [OB] si traccia un arco di circonferenza. Simmetria centrale - segmento L’arco di circonferenza incontra la retta s nel punto B' Simmetria centrale - segmento Si ripete la costruzione per il punto A. Simmetria centrale - segmento Si ripete la costruzione per il punto A. Simmetria centrale - segmento Si ripete la costruzione per il punto A. Simmetria centrale - segmento Dopo aver costruito il punto A', simmetrico di A rispetto al centro O, si congiungono i punti A e B. Si ottiene il segmento v=[AB]. Simmetria centrale - segmento I due segmenti, [AB] e [AB], sono isometrici. Infatti considerando in due triangoli [AOB] e [AOB] sono isometrici o congruenti perché: 1) [AO]=[AO] per costruzione; 2) [BO]=[BO] costruzione; per 3) = perché angoli opposti al vertice. Simmetria centrale - segmento Dalla isometria dei due triangoli si deduce che: 1) [AB]=[AB 2) Gli angoli in B e B sono isometrici; 3) Gli angoli in A e A sono isometrici. Dalla isometria degli angoli si deduce che i due segmenti [AB] e [AB] risultano paralleli. Simmetria centrale - segmento In sintesi: in una simmetria centrale di centro O, ad un segmento vi corrisponde un segmento isometrico e parallelo al primo. L’orientamento del segmento simmetrico è opposto al segmento originale. Simmetria centrale - Poligono Una estensione della simmetria centrale di un segmento è la simmetria centrale, di centro O, di un poligono. Si prende in considerazione il poligono [ABCD] ed un punto O, centro di simmetria. Simmetria centrale - Poligono Per ognuno dei vertici del poligono, A, B, C, D, si esegue la simmetria centrale rispetto al punto O; si ottengono i punti simmetrici A, B, C, D. Simmetria centrale - Poligono Collegando i punti simmetrici A, B, C, D si ottiene il poligono, [ABC D], simmetrico del poligono [ABCD]. I lati dei due poligoni sono isometrici e paralleli. Il verso di percorrenza dei vertici è opposto nei due poligoni. Simmetria centrale - Poligono A causa del parallelismo dei lati (originale e simmetrico) gli angoli dei due poligono sono a due a due isometrici. Pertanto i due poligono, l’originale ed il simmetrico, sono isometrici o congruenti. Traslazione - Punto La traslazione è una trasformazione geometrica in cui ad un punto corrisponde un punto, ad un segmento corrisponde un segmento le cui caratteristiche saranno definite al termine della costruzione. La traslazione non è altro che la conseguenza di una doppia simmetria assiale, dove gli assi di simmetria sono paralleli. Pertanto le costruzioni delle varie figure geometriche sono identiche a ciò che è stato fatto in precedenza. La prima costruzione che verrà effettuata sarà la traslazione di un punto. Traslazione - Punto Per effettuare la traslazione di una figura geometrica è necessario disegnare due rette parallele, r e s, poste ad una distanza d Traslazione - Punto Si prende in considerazione un punto A, di cui è necessario effettuare una traslazione. Traslazione - Punto La prima costruzione da effettuare è quella di trovare il simmetrico del punto A rispetto alla retta r (simmetria assiale di un punto rispetto ad una retta.) Dal punto A si traccia la perpendicolare, a, rispetto all’asse di simmetria r. Traslazione - Punto La perpendicolare, a, interseca le due rette parallele, r e s, che sono i due assi di simmetria, nei punti N e K. La distanza tra i due punti di intersezione, [NK], è uguale alla distanza, d, tra le due rette parallele. d NK Traslazione - Punto Mediante la costruzione effettuata in precedenza si costruisce il simmetrico di A rispetto all’asse di simmetria r. Il punto A è il simmetrico di A rispetto alla retta r. Dalla costruzione si deduce che: AN NA' Traslazione - Punto Dopo alla prima simmetria, si effettua una seconda simmetria assiale, che è quella del punto A rispetto alla retta s. Dopo aver eseguito la costruzione si ottiene il punto A. Dalla costruzione si deduce che: A' K KA' ' Traslazione - Punto Dopo aver effettuata le costruzioni di due simmetrie assiali con assi paralleli, si deduce che la distanza, t, tra il punto A ed il suo traslato A vale: t AA' ' AN NA' A' K KA' ' Traslazione - Punto Dalle uguaglianze: AN NA' e A' K KA' ' elaborando l’espressione della distanza t, si deduce che. t AA' ' NA' NA' A' K A' K t AA' ' 2 NA' 2 A' K t AA' ' 2 NA' A' K Traslazione - Punto Poiché la distanza, d, tra le due rette parallele, r e s, vale: d NK NA' A' K sisideduce deduceche. che. t AA' ' 2 NA' A' K tt AA AA'' '22dd Quindi la distanza, t, tra il punto originale, A, ed il punto traslato, A, è uguale al doppio della distanza tra i due assi paralleli, r e s. Traslazione - Segmento Per verificare che effettivamente una doppia simmetria assiale ad assi paralleli è effettivamente una traslazione è opportuno prendere in considerazione come minimo un segmento. Sia [AB] il segmento da traslare. Traslazione - Segmento Per il segmento [AB] si effettua la simmetria assiale rispetto all’asse r. La costruzione del segmento simmetrico, [AB], è stata già descritta in precedenza. Traslazione - Segmento Il secondo passaggio da effettuare è la simmetria assiale del segmento [AB] rispetto all’asse s. Ovviamente la costruzione del segmento simmetrico, [AB], è stata già descritta in precedenza. Traslazione - Segmento Il segmento originale [AB] ed il segmento [AB], conseguenza di due consecutive simmetrie assiali rispetto a due assi paralleli, sono isometrici e paralleli. AB A' ' B' ' AB//A' ' B' ' Traslazione - Segmento La distanza tra i due segmenti, [AB] e [AB], è il doppio della distanza tra i due assi paralleli rispetto ai cui sono state effettuate le simmetrie assiali. Tale distanza viene indicata con il vettore v. v AB A' ' B' ' 2 d Traslazione - Poligono Una estensione della traslazione di un segmento è la traslazione di un poligono. Siano: 1) [ABCD] il poligono da traslare; 2) r e s i due assi di simmetria paralleli tra di loro e distanti d. Traslazione - Poligono [ABCD] è il poligono da traslare. Traslazione - Poligono Dai vertici A, B, C e D si tracciano le rette e, f, g, h perpendicolari agli assi di simmetria. Traslazione - Poligono Il poligono [ABCD] è il poligono simmetrico di [ABCD] rispetto all’asse r. Traslazione - Poligono Il poligono [ABCD] è il poligono simmetrico di [ABCD] rispetto all’asse s. Traslazione - Poligono La conseguenza della doppia simmetria assiale con assi paralleli è di traslare il poligono [ABCD] nel [ABCD]. Inoltre ad angoli corrispondono angoli congruenti, ed a segmenti corrispondono segmenti paralleli e congruenti. La traslazione, u, è il doppio della distanza tra gli assi paralleli. Traslazione - Poligono La traslazione di un poligono può avvenire anche in senso verticale. La costruzione è identica a quella orizzontale. Inoltre le conclusioni sono le stesse: ad angoli corrispondono angoli congruenti; a segmenti corrispondono segmenti congruenti e paralleli. Traslazione - Poligono Combinando i due tipi di traslazione, verticale ed orizzontale, si ottiene una traslazione obliqua. Traslazione - Poligono In sintesi: La traslazione, , è una trasformazione geometrica che: 1) ad angoli fa corrispondere angoli isometrici o congruenti; 2) a segmenti fa corrispondere segmenti isometrici o congruenti e paralleli. Rotazione La rotazione è una trasformazione geometrica che, fissato un punto, O, detto centro di rotazione, ed un angolo orientato, , fa ruotare una figura geometrica intorno al punto O di un angolo . Rotazione Il poligono da ruotare è [ABCDEF]. Il centro di rotazione è O. L’angolo di rotazione è . Il poligono ruotato è [A'B'C'D'E'F']. Rotazione - Punto Per costruire un a figura ruotata, si parte dalla rotazione di un punto. Sia A il punto da ruotare. Allora si fissa una retta r. Rotazione - Punto Si trova il simmetrico del punto A rispetto all’asse di simmetria r. Si ottiene il punto A. La costruzione è già stata spiegata in precedenza. Rotazione - Punto Si tracci una seconda retta s, che intersechi la prima retta r nel punto O. Rotazione - Punto Si esegue la simmetria assiale del punto A rispetto alla retta s. Si ottiene il punto A. Rotazione - Punto Analisi della costruzione bc La retta r, essendo asse di simmetria passa per il punto medio del segmento [AA]. Inoltre tutti i punti delle retta, come spiegato in una precedente costruzione, sono equidistanti dai punti A e A. Quindi i segmenti b e c, che collegano il punto O con i due punti A e A, sono isometrici o congruenti. Quindi: Rotazione - Punto Analogo discorso si esegue per il punto A ed il suo simmetrico A. Il punto O, appartenente alla retta di simmetria s, è equidistante dai punti A e A. Pertanto i segmenti c ed a sono isometrici o congruenti. Quindi ca Rotazione - Punto Riassumendo i risultati, si ottiene: aabbcc Pertanto i tre punti A, A e A sono equidistanti da un unico punto O. Quindi essi appartengono ad una circonferenza di centro O e raggio: R abc Rotazione - Punto L’arco f collega i tre punti, A, A e A. Il punto A è il risultato della rotazione del punto A. Pertanto la rotazione di un punto si ottiene eseguendo due simmetrie assiali, i cui assi si intersecano in un punto, O, che è il centro di rotazione. Rotazione - Punto L’angolo è l’angolo di rotazione del punto A intorno al centro O. Rotazione - Punto L’angolo è l’angolo formato dagli assi di simmetria. Esso è la semisomma degli angoli al vertice O dei due triangoli isosceli [AOA] e [AOA]. [ AOA ' ] [ A' OA ' ' ] 2 2 Rotazione - Punto L’angolo rotazione, , è doppio dell’angolo, formato dagli assi simmetria. 2 di il , di Rotazione di un segmento Adoperando la stessa tecnica con cui è stata effettuata la rotazione di un punto, è possibile effettuare anche la rotazione di un segmento. Rotazione di un segmento Si prende in esame il segmento [AB], di cui si vuole effettuare la rotazione. Inoltre sia c il primo asse di simmetria. Rotazione di un segmento Si esegue la simmetria assiale del segmento [AB] rispetto all’asse c. Il segmento simmetrico è [AB]. Rotazione di un segmento Come già detto in precedenza, i due segmenti [AB] e [AB] sono uguali. v [ AB ] [ A' B' ] w Rotazione di un segmento Si traccia il secondo asse di simmetria, b. Rotazione di un segmento Si esegue la simmetria assiale del segmento [AB] rispetto all’asse b. Si ottiene il segmento [AB]. I tre segmenti, v, w e z sono isometrici. v [ AB ] w [ A' B' ] z [ A' ' B' ' ] Rotazione di un segmento Le due terne di punti, [B,B,B] e [A,A,A], dei tre segmenti si trovano sullo stesso arco di circonferenza il cui centro, O, è il punto di intersezione dei due assi di simmetria. Rotazione di un segmento Le due terne di punti, [B,B,B] e [A,A,A], dei tre segmenti si trovano sullo stesso arco di circonferenza il cui centro, O, è il punto di intersezione dei due assi di simmetria. Rotazione di un segmento L’angolo di rotazione, , del segmento [AB] è doppio dell’angolo, , formato dagli assi di simmetria. 2 Rotazione di un segmento Nella rotazione a segmenti corrispondono segmenti congruenti. Ciò costituisce una conseguenza della doppia simmetria assiale. Infatti in una simmetria assiale a segmenti corrispondono segmenti isometrici. Rotazione di un poligono Il poligono è una spezzata chiusa non intrecciata, per cui la sua rotazione intorno ad un punto sarà la conseguenza della somma delle rotazioni di tutti i suoi lati. Rotazione di un poligono Il poligono da ruotare è [ABCD]. La retta s è il primo asse di simmetria. Rotazione di un poligono Mediante le costruzioni esaminate in precedenza, si esegue la simmetria assiale del poligono [ABCD] rispetto alla retta s. Si ottiene il poligono simmetrico [ABCD]. Rotazione di un poligono Si disegna una seconda retta, r. Questa interseca la prima retta, s, nel punto O. Rotazione di un poligono Si esegue la simmetria del poligono [ABCD] rispetto alla seconda retta, r. Si ottiene il poligono [ABCD]. Rotazione di un poligono Un vertice, A, del poligono ed i suoi simmetrici, A e A, appartengono ad un arco il cui centro, O, è il punto di intersezione dei due assi di simmetria. Rotazione di un poligono Le considerazioni fatte per i vertici A, A e A, si estendono a tutti gli altri vertici. Quindi la rotazione di un poligono è la conseguenza di una doppia simmetria assiale i cui assi si intersecano in un punto, O, che è il centro di rotazione. Rotazione di un poligono I segmenti m e n sono due segmenti che collegano il centro di rotazione con i vertici originale e ruotato, C e C. Come già notato in precedenza i due segmenti, m e n, sono isometrici. mn Rotazione di un poligono L’angolo tra gli assi di simmetria è . Rotazione di un poligono L’angolo tra i segmenti m e n è . Come già notato in precedenza l’angolo di rotazione è il doppio dell’angolo, , formato dagli assi di simmetria. Rotazione di un poligono In conclusione, nella rotazione a segmenti e ad angoli corrispondono segmenti ed angoli isometrici. Trasformazioni geometriche Le costruzioni effettuate costituiscono delle trasformazioni geometriche. Definizione: Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto di una figura geometrica del piano fa corrispondere un unico punto del piano stesso. Facendo riferimento alla figura, si nota che ad ogni punto del poligono da ruotare vi corrisponde un unico punto del poligono ruotato. Isometrie Casi particolari di trasformazione geometrica sono le isometrie. In queste trasformazioni geometriche in cui le ampiezze degli angoli e le lunghezze dei segmenti rimangono invariate. Ciò significa che la figura originale e la figura ottenuta mediante una isometria sono isometriche o congruenti. Quindi una isometria trasforma: 1)Rette incidenti in rette incidenti; 2)Rette parallele in rette parallele; 3)Un angolo in un angolo ad esso congruente; 4) a segmenti corrispondono segmenti congrueneti. Isometrie Le principali isometrie sono: 1) Simmetria assiale, a; 2) Simmetria centrale O ; 3) Traslazione ; 4) Rotazione ρO.
