Presentazione

Presentazione preparata dalla classe IV I
Liceo socio-psico-pedagogico “S. Pertini”
Genova
INDICE DELLA
PRESENTAZIONE
•
•
•
•
•
La funzione esponenziale
Applicazioni del modello esponenziale
I logaritmi
La funzione logaritmica
Applicazioni del modello logaritmico e la
scala logaritmica
La funzione esponenziale
• La funzione esponenziale è una delle più importanti
funzioni in matematica.
• Fissato un numero reale a>0 e a≠1 si chiama funzione
esponenziale di base a la funzione di equazione y=ax, il
cui dominio è R e il codominio è R+ - {0} .
• Se a=1 ,poiché 1x =1, la funzione esponenziale degenera
nella retta parallela all’asse x di equazione y=1.
• Per x=0 si ha y=1 ( a≠0) quindi il grafico della funzione
interseca l’asse y nel punto (0,1)
• Se a≠1 si distinguono due casi: a>1 e 0<a<1
Il grafico della funzione
y=ax
a>1
0<a<1
CASO a>1
y=2x
3E+00
3E+00
2E+00
y
2E+00
1E+00
5E-01
0E+00
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
x
0,5
1
1,5
2
•Dominio R, codominio R+- 0
•Interseca l’asse y in (0,1)
•La funzione è positiva per
cui si trova nel I e III
quadrante.
•La funzione è monotona
crescente
•La funzione è bigettiva e
pertanto invertibile e la sua
inversa è la funzione
logaritmica.
• l’asse x negativo è
l’asintoto della funzione
La funzione y=ax con a>1 al variare di a
35,0
a>1
30,0
y=2x
x
-3
-1
0
1
2
3
4
y=3x
0,125
0,5
1
2
4
8
16
y=4x
0,0
0,3
1,0
3,0
9,0
27,0
81,0
y=2x
25,0
0,02
0,25
1,00
4,00
16,00
64,00
256,00
20,0
y=2^x
y=3^x
15,0
y=4^x
y=3x
10,0
5,0
y=4x
0,0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-5,0
All’aumentare di a la funzione cresce più rapidamente
2,5
3
1
y 
2
CASO 0<a<1
x
2,50
2,00
1,50
y
1
y 
2
x
1,00
0,50
0,00
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
x
1,5
2
2,5
3
•Dominio R, codominio R+- 0
•Interseca l’asse y in (0,1)
•La funzione è positiva per
cui si trova nel I e III
quadrante.
•La funzione è monotona
decrescente
•La funzione è bigettiva e
pertanto invertibile e la sua
inversa è la funzione
logaritmica.
• l’asse x positivo è
l’asintoto della funzione
La funzione y=ax con 0<a<1 al variare di a
7, 00
1
y 
6
x
6, 00
0<a<1
5, 00
x
y=(1/2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y=(1/4)
8
64
4
16
2
4
1
1
0,5
0,25
0,25
0,0625
0,125 0,015625
x
y=(1/6)
216
36
6
1
0,166667
0,027778
0,00463
y
x
1
y 
4
x
y=(1/2)^x
4, 00
y=(1/6)^x
y=(1/4)^x
3, 00
2, 00
1
y 
2
x 1, 00
0, 00
-1, 5
-1
-0, 5
0
0, 5
1
1, 5
2
2, 5
3
x
All’aumentare di a la funzione decresce più rapidamente
CONFRONTO DEI GRAFICI y=ax e y= (1/a)x con a>1
5E+00
4E+00
4E+00
3E+00
y= 2x
3E+00
y=(1/2)x
y=2^x
y=(1/2)^x
2E+00
2E+00
1E+00
5E-01
0E+00
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Il grafico della funzione y=ax con a>1 è simmetrico rispetto a
quello della funzione y=(1/a)x rispetto all’asse y
Assorbimento
Radioattivo
in fisica medica
Tensione del vapore
saturo
Modelli e
Applicazioni della funzione esponenziale
Carica e scarica
di un condensatore
Modello di
Malthus
Decadimento
radioattivo
I logaritmi
•
•
•
•
•
•
•
Come nascono i logaritmi
Definizione di logaritmo
Proprietà dei logaritmi
Cambiamento di base
La funzione logaritmica
Scala logaritmica
Applicazioni del modello logaritmico e della scala
logaritmica
Come nascono i logaritmi
Michael Stilef ha individuato:
LA PROGRESSIONE GEOMETRICA
r0 ,r1 ,r2, r3,,rL,
Che è in corrispondenza biunivoca con
LA PROGRESSIONE ARITMETICA
0, 1, 2, 3, 4, .L,
•Gli elementi della seconda riga
0, 1, 2, 3, 4, .L, ( progressione aritmetica)
sono gli esponenti che si devono attribuire ad una stessa
base per ottenere l’elemento corrispondente della prima
riga.
r0 , r1 , r2, r3,, rL,
( progressione geometrica)
•Il prodotto di due termini della progressione geometrica
fornisce un termine il cui esponente è la somma dei
corrispondenti termini della progressione aritmetica.
•La divisione di due termini della progressione
geometrica fornisce un termine il cui esponente è la
differenza dei corrispondenti termini della progressione
L’invenzione dei logaritmi
• John Napier: “ Mirifici logarithomorum canonis
desriptio” ( Descrizione della regola meravigliosa
dei logaritmi)(1614) seguita nel 1619 dal libro
“Mirifici logarithomorum canonis constructio” in
cui si desrivono i metodi da lui usati nella
costruzione delle sue tavole.
• Henry Briggs: “ Logarithmorum chilia
prima”(1617) logaritmi dei numeri da 1 a 1000
DEFINIZIONE DI LOGARITMO
Si chiama logaritmo in base a di b l'unica
soluzione dell ‘equazione esponenziale
elementare nel caso determinato
cioè l'esponente x da assegnare alla base a per
ottenere il numero b .
ax =b
a= base dell’esponenziale e del
logaritmo
x= logab
Proprietà dei logaritmi
• loga(b*c)=logab+logac
• loga (b/c)=logab-logac
• logaan=n*logaa
•
1
b

log a b
loga
n
n
• loga(1/n)=-logan
n  N0
Cambiamento di base
logab= logcb/logca
logab= 1/logba
Le basi più comuni
• Base 10
• Base e
• Base 2
La funzione logaritmica
Si chiama funzione logaritmica ogni funzione
del tipo:
y=logax , con a>0 ,a≠1 e x  R 
•La funzione logaritmica è l’inversa della funzione
esponenziale
•Poiché il dominio della funzione è D: XєR+-{0}, il grafico sarà
tutto a destra dell’asse y.
•Poiché per X=1 si ha Y=0 il grafico della funzione interseca
l’asse x nel punto (1,0)
Il grafico della funzione
y=logax
a>1
0<a<1
CASO a>1
 Il dominio è R , il codominio è R+
5,00
y=log2x
 La funzione è monotona
crescente:
4,00
3,00
 x1 , x2  R x1<x2  logax1<logax2
2,00
 Per x>1, la y assume valori
positivi e cresce al crescere
della X
1,00
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-2,00
 Per 0<X<1, la Y assume valori
negativi grandi in valore assoluto
-3,00
 y=0 è l’asintoto della curva
-1,00
 La funzione è bigettiva e quindi
invertibile. La sua inversa è la
funzione esponenziale
La funzione y=logax a>1 al variare di a
5,00
y=log2x
x
y=log2 x
4,00
3,00
y=log3 x
y=log4x
y=log3x
0,3
-1,74
-0,87
-1,10
0,5
-1,00
-0,50
-0,63
0,8
-0,32
-0,16
-0,20
1
0,00
0,00
0,00
2
1,00
0,50
0,63
3
1,58
0,79
1,00
4
2,00
1,00
1,26
5
2,32
1,16
1,46
6
2,58
1,29
1,63
7
2,81
1,40
1,77
8
3,00
1,50
1,89
9
3,17
1,58
2,00
10
3,32
1,66
2,10
2,00
y
y=log4x
1,00
0,00
0
2
4
6
8
10
-1,00
-2,00
12
14
16
18
-3,00
x
all’aumentare della base a la funzione cresce più lentamente
CASO 0<a<1
 Dominio R+ ,codominio R
3,0
 La funzione è monotona
2,0
decrescente
 x1 , x2  R x1<x2↔logax1>logax2
1,0
0,0
y
0
2
4
6
8
10
12
-1,0
14
16
18
 per x >1, la y assume valori
negativi e decresce al crescere
della x
-2,0
y=log1/2x
-3,0
 per 0< X<1, la y assume valori
positivi e crescenti
-4,0
 y=0 è l’asintoto della funzione
-5,0
x
La funzione è bigettiva e quindi
invertibile. La sua inversa è la
funzione esponenziale
La funzione y=logax 0<a<1 al variare di a
3,0
y=log2x
x
2,0
1,0
y=log4x
y=log3x
0,3
-1,74
-0,87
-1,10
0,5
-1,00
-0,50
-0,63
0,8
-0,32
-0,16
-0,20
1
0,00
0,00
0,00
2
1,00
0,50
0,63
3
1,58
0,79
1,00
4
2,00
1,00
1,26
5
2,32
1,16
1,46
6
2,58
1,29
1,63
7
2,81
1,40
1,77
8
3,00
1,50
1,89
0,0
y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-1,0
y=log1/4x
18
-2,0
-3,0
y=log1/3x
-4,0
y=log1/2x
-5,0
x
all’aumentare della base a la funzione decresce più rapidamente
CONFRONTO DEI GRAFICI y= logax e y  log 1 x
con a>0 e a≠1
a
5
4
3
y=logax
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-1
-2
y=log1/ax
-3
-4
-5
si può osservare che i grafici risultano simmetrici rispetto all’asse x positivo
Tipi di scala
• Scala lineare: è quella maggiormente
utilizzata. La parola lineare indica il
fatto che ciascun intervallo di
graduazione è costante.
• Scala logaritmica: la scala logaritmica
si differenzia dalla scala lineare per il
fatto che la proporzionalità tra le due
grandezze non è costante ma ha un
andamento logaritmico.
Confronto tra scala lineare e
logaritmica:
Scala lineare
Scala logaritmica
Y
X
Y
X
1
1
1
10
2
2
2
100
3
3
3
1000
...
...
...
...
n
n
n
10n
Costruzione della scala logaritmica
1)
2)
3)
4)
Si segna 1 nell’estremo sinistro di un segmento
Si segna 100 nell’estremo destro del segmento
Si prende il punto medio tra 1 e 100 e lo si chiama 10
Si prende il punto medio tra 1 e 10 e lo si chiama
√10=3,162
1
log 10 100  log 10 100
2
log 10 100
1
log 10 10  log 10 10
2
1
10  3,162
√100=10
100
• Si prende il punto medio tra 10 e 100 e lo si chiama
10√10=31,62
• Si procede prendendo il punto medio tra 1 e √10 e
così via
1
log 10 100  log 10 100
2
log 10 1
1
1
log 10 10  log 10
2
√10=3,162 √100=10
log 10 100
100
La costruzione fatta corrisponde all’applicazione delle proprietà
dei logaritmi: log(ab)=loga+logb
I LOGARITMI FACILITANO
I CALCOLI
I logaritmi furono utilizzati originariamente
per la semplificazione dei calcoli e trovano
ancora impiego e applicazione in diverse
discipline come la biologia, l’ astronomia,
le scienze della terra e le operazioni finanziarie
APPLICAZIONI DEI LOGARITMI E DELLA SCALA LOGARITMICA
Nel suono
Nella chimica
Nella finanza
Applicazione
della scala
logaritmica
Nei terremoti
Nell’astronomia
FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE
Una funzione è monotòna crescente in un intervallo (a,b) se:
 x1 , x2  (a, b) se x1  x2  f(x 1 )  f ( x2 )
6,0
5,0
y
4,0
3,0
y=2^x
2,0
1,0
0,0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
x
1,5
2
2,5
3
FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE
Una funzione è monotòna decrescente in un intervallo (a,b) se:
 x1 , x2  (a, b) se x1  x2  f(x 1 )  f ( x2 )
2,50
2,00
y
1,50
1,00
0,50
0,00
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
x
1,5
2
2,5
3
La funzione
• Dati due insiemi A e B, si dice funzione da
A in B ogni relazione che ad ogni elemento
si A fa corrispondere uno ed un solo
elemento di B.
A
B
a
x
b
c
y
LE FUNZIONI POSSONO ESSERE
INIETTIVE
SURIETTIVE
BIGETTIVE
Funzione iniettiva
• Una funzione si dice iniettiva se ogni
elemento di B ha al massimo una
controimmagine in A;cioè se due elementi
diversi appartenenti ad A hanno immagini
diverse in B.
A
B
a
x
b
y
.z
•Nella rappresentazione cartesiana di una funzione reale di
variabile reale iniettiva,ogni retta parallela all’asse x interseca il
grafico della funzione al massimo in punto.
y
f(a)
f(a)=f(b)=f(c)
O
a
Funzione iniettiva
x
a
b
Funzione non iniettiva
c
La funzione suriettiva
• Una funzione si dice suriettiva se ogni
elemento di B ha almeno una
controimmagine in A.
B
A
a
x
b
c
y
Nella rappresentazione cartesiana di una funzione suriettiva
ogni retta parallela all’asse x deve intersecare il grafico in
almeno un punto.
y
O
Funzione suriettiva
y
x
O
Funzione non suriettiva
x
La funzione bigettiva
• Una funzione f:A->B si dice bigettiva o
biunivoca se è iniettiva e suriettiva.
A
a
b
B
x
y
z
c
La funzione invertibile
• Se una funzione f:A
B risulta essere
bigettiva,allora è invertibile e avrà come funzione
inversa inversa f -1:B A
• Nel piano cartesiano f e f -1 hanno rappresentazioni
grafiche coincidenti ma se si scambia la x con la y
in f -1 i grafici di y=f(x) e
y=f -1(x) risultano simmetrici rispetto alla bisettrice
del primo e terzo quadrante
GRAFICO DI UNA FUNZIONE E DELLA SUA INVERSA
y=x
y=x
y=f(x)
y=f(x)
y=f -1(x)
EQUAZIONE ESPONENZIALE
L'equazione esponenziale più semplice (elementare)
è del tipo :
ax  b
con a  0 e b  0 ; x è l' incognita dell' equazione
Essa può essere impossibile, indeterminata o determinata :
impossibile se :
b  0, oppure b  1 e a  1 ;
esempio : 2 x  3 oppure 1 x  5 ;
determinata se
a  0, a  1, b  0 ;
esempio : 3 x  5 .
•Indeterminata se
a  1, b  1 ;
esempio : 1 x  1 ;
Determinare la soluzione dell’equazione elementare
significa trovare le intersezioni tra la funzione y=ax e y=b
Se consideriamo per esempio a>1
y=b>0
y=b<0
•Se b>0 si ha un’intersezione e quindi una soluzione reale
•Se b=0 oppure b<0 non si hanno intersezioni e quindi nessuna
soluzione reale
Applicazione nel suono
L’apparato uditivo umano è sensibile alla
variazione di pressione atmosferica e la
traduce in variazione di segnali elettrochimici. Questo legame è logaritmico e si
misura con la scala del decibel.
Il decibel è un’unità di misura di tipo
logaritmico che esprime il rapporto fra due
livelli di cui uno, quello al denominatore, è
preso come riferimento
dBX = 10•log(X/X0)
dove X0 è il valore di riferimento
fissato.
I LOGARITMI E LA FINANZA
In finanza l’ ultimo ritrovato per scovare gli evasori
è collegato con i logaritmi ed è opera
del matematico Mark Nigrini(1992). Egli utilizzò la
legge scoperta dal matematico SIMON
NEWCOMB(1881) e poi formalizzata dal fisico
Benford(1938).
1

Probabilità (che la prima cifra del numero sia d)= log 10 1  
d

d indica una delle cifre da 1 a 9 .
Gli evasori producono delle dichiarazioni dei redditi
che analizzate evidenziano notevoli deviazioni dalla
legge di Benford.
Quindi per sapere se l’evasore ha compilato
onestamente la dichiarazione dei redditi basta
controllare la frequenza delle varie cifre utilizzate per
scrivere i numeri.
Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra
Applicazione nella finanza
Nelle scale logaritmiche ad uguali variazioni percentuali del prezzo
corrisponde un medesimo movimento sull’asse y del grafico
indipendentemente dalla variazione del prezzo in valore assoluto mentre
nelle scale aritmetiche non sono apprezzabili le variazioni del prezzo in
quanto sono messe in evidenza solo le variazioni assolute
Scala logaritmica
Scala aritmetica
Applicazione nei terremoti
• Intensità: misura la grandezza dei
terremoti attraverso gli effetti
• Magnitudo: esprime la grandezza di un
terremoto attraverso la misura
dell’ampiezza massima della traccia
registrata dal sismografo.
Il sismografo
• Strumento utilizzato per registrare i
fenomeni sismici
• È costituito da una serie di elementi che
consentono la rappresentazione grafica
dell’andamento del segnale sismometrico
nel tempo.
• Esistono due scale: Mercalli e Richter
Per calcolare la magnitudo occorre conoscere l’altezza del picco più alto
registrato da un sismografo e la distanza esistente tra il sismografo e
l’epicentro del terremoto.
Il procedimento per il calcolo della magnitudo locale è il seguente:
1. si misura la distanza sino all’epicentro usando l’intervallo di tempo tra le
onde P ed S ( S-P=25sec)
2. si misura la massima ampiezza della traccia d’onda sul sismogramma
( 10 mm.)
3. si traccia una linea retta che congiungente i punti appropriati sulla scala
delle distanze ( a sinistra) e delle ampiezze per ottenere la magnitudo
ML= 5,0
Nella definizione data da Richter, la magnitudo ML di qualsiasi
terremoto è data dal logaritmo della massima ampiezza della traccia
con cui un sismografo a torsione di Wood-Anderson calibrato in
maniera “standard” (cioè con amplificazione 2.800 volte, periodo
proprio 0,8 secondi, costante di smorzamento 0,8) registrerebbe
l’evento se questo si fosse verificato a una distanza epicentrale di 100
km.
Per i terremoti a 100 km di distanza, la formula è dunque:
ML= log10 A
ML = magnitudo Richter( o magnitudo locale)
A =altezza massima della sinusoide sul sismogramma da 0 fino al
picco, in mm.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UN TERREMOTO
legge logaritmica con scala aritmetica
legge logaritmica con scala logaritmica
y = 0,4343Ln(x) + 3E-15
6
Valore della scala Richter
6
Valore della scala
Richter
5
4
3
2
1
0
0,0E+00
5
4
3
2
1
0
5,0E+04
1,0E+05
1,5E+05
ampiezza della traccia del sismografo
1
10
100
1000
10000
100000
ampiezza della traccia del sismografo
Osserviamo che nella scala logaritmica la relazione tra il valore della
scala Richter e l’ampiezza della traccia del sismografo è di tipo
lineare.
I LOGARITMI E L’ ASTRONOMIA

I logaritmi in astronomia
vengono utilizzati nella
definizione di magnitudine di
una stella.
 Per misurare la luminosità delle
stelle si utilizza la scala delle
magnitudini.
 Le stelle più luminose hanno
magnitudini più piccole
Se vogliamo conoscere l'esatto rapporto di luminosità tra una magnitudine e la
successiva, dobbiamo dividere 100 in 5 parti tra loro in proporzione
geometrica in modo che rimanga costante il rapporto tra una parte e quella
immediatamente precedente.
Questo equivale a calcolare la:
Prendiamo questo numero come base dei logaritmi, che chiameremo logaritmi
stellari e scriviamo la progressione:
1, 2,512; 6,310; 15,849; ......
Che sono le successive potenze di 2,512
I numeri naturali che vengono utilizzati per la magnitudo non sono altro che i
logaritmi (cioè gli esponenti) a cui bisogna elevare la base 2,512…
LEGGE DI FECHNER
La legge psicofisica di Fechner(1801-1887) e Weber(1795-1878) stabilisce che
l’intensità di una sensazione avvertita coscientemente è proporzionale al logaritmo
dell’intensità dello stimolo che la produce, quindi è meno intensa di esso.
Gli organi di senso sono in grado di ridurre l’intensità degli stimoli secondo il loro
logaritmo mentre l’intensità dello stimolo cresce in progressione geometrica, quella
della sensazione cresce solo in progressione aritmetica.
La legge di Fechner e Weber, applicata al caso delle stelle, assume la forma
seguente:
m = k · log10 J
dove m (magnitudine) è l'immagine di una stella che si forma nel nostro occhio e
rappresenta quindi la sensazione, mentre J è la quantità di energia luminosa che
incide sul recettore, cioè è lo stimolo; k è una costante di proporzionalità
La formula di Pogson (1829-1891)
m1 - m2 = k · Log (J1/J2)
m1 - m2 è la differenza di magnitudine di due stelle le cui intensità
luminose sono rispettivamente J1 e J2
Questa formula ci consente:
• qualora siano noti i valori delle intensità luminose di due stelle qualsiasi,
di definire il valore di k.
•attraverso la misura esatta dei flussi luminosi delle singole stelle,
consente di andare al di là delle sei classi di grandezza considerate dagli
antichi e definire anche magnitudini di valori non interi
•di attribuire alle stelle più brillanti, che gli antichi classificavano
indiscriminatamente di 1ª grandezza, magnitudini prossime a zero e
anche negative.
Applicazione nella chimica
È possibile esprimere la basicità o l’acidità di una
sostanza mediante la scala del pH, che consente di
trasformare numeri molto piccoli in numeri che
vanno da 0 a 14.
Oggi il pH viene definito come il logaritmo negativo,
in base 10, della concentrazione molare degli ioni
idrogeno.
pH=-log[H+]
TENSIONE DEL VAPORE SATURO
Se un liquido è contenuto in un ambiente limitato ,il numero di
molecole che evaporano non può aumentare indefinitamente
Quando il volume che sovrasta il liquido non può più contenere
altre molecole in fase aeriforme (vapore +liquido)il vapore è saturo
e la pressione esercitata dalle molecole gassose assume il suo
valore massimo( tensione del vapore saturo)
La pressione del vapore saturo di un liquido aumenta al crescere
della temperatura
Carica e scarica di un condensatore
C= condensatore di capacità C
R= resistore di resistenza R
G= generatore di tensione
T = tasto che apre o chiude il
circuito
A circuito chiuso, il condensatore viene caricato.
a
b
c
a) La carica elettrica q, accumulata al variare del tempo sulle armature
del condensatore, da un valore nullo tende al valore CV. Il suo
andamento è descritto dalla seguente equazione:
b) L'intensità i della corrente elettrica, durante il processo di carica, partendo
dal valore iniziale V/R, tende ad annullarsi.
Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:
c) La differenza di potenziale che si instaura tra le armature del condensatore al
variare del tempo, da un valore nullo tende al valore V (differenza di potenziale
ai capi del generatore).
La crescita è descritta dalla seguente equazione:
Scarica del condensatore
A circuito aperto, il condensatore si scarica.
a
b
c
a) La carica elettrica q, accumulata al variare del tempo sulle armature del condensatore, dal valore
 iniziale CV tende al valore nullo. Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:
b) L'intensità i della corrente elettrica, partendo dal valore iniziale V/R, tende ad annullarsi.
Il suo andamento è descritto dalla seguente equazione:
c) La differenza di potenziale che si instaura tra le armature del condensatore al variare del tempo, da
un
 valore V (differenza di potenziale ai capi del generatore) tende al valore nullo. La decrescita è descritta
 dalla seguente equazione:
Il decadimento radioattivo
•
Un nucleo radioattivo può trovarsi in uno stato tale da
rendere possibile sia l'emissione di particelle dotate di
energia cinetica, sia di radiazioni elettromagnetiche.
Si dice allora che il nucleo ha subito un decadimento
radioattivo che tende a portarlo in uno stato più stabile,
cioè caratterizzato da minore energia.
• Sebbene in un dato intervallo di tempo si disintegri una
ben definita frazione di nuclei, non è dato sapere quali essi
siano, anche se ogni nucleo radioattivo ha una data
probabilità di disintegrarsi e questa probabilità non cambia
nel tempo.
• Così come si può valutare quanti nuclei di una data specie
decadranno in un certo tempo, possiamo anche valutare
quanto tempo deve trascorrere perché la quantità di nuclei
presenti ad un dato istante si dimezzi.
Tale tempo è detto tempo di dimezzamento T.
La funzione esponenziale nella fisica medica
I raggi x sono radiazioni elettromagnetiche invisibili
all’occhioumano:sono fortemente energetiche a frequenza molto
alta.
Tutte le onde elettromagnetiche,nell’attraversare uno stato di
materia,vengono in parte assorbite,in parte trasmesse secondo la
legge
l=loe -x
 = coefficiente di attenuazione o di assorbimento.
l= intensità raggio trasmesso , lo=intensità raggio incidente
x= spessore della materia attraversata
La legge di Malthus
• Malthus sostiene che la popolazione (umana)
cresce secondo una progressione geometrica (per
esempio 2, 4, 8, 16, ...), mentre le risorse
necessarie per la sua alimentazione crescono
secondo una progressione aritmetica (per esempio
3, 6, 9, 12, ...). Non importa quali siano i numeri
di partenza: prima o poi la popolazione supera le
risorse e la crescita non può continuare. Questa è
nota come "legge di Malthus" (in economia, non
in biologia).
Secondo il modello di Malthus vale la seguente legge:
N(t)=Cexp(kt)
• k è costante rispetto al tempo e dipende dalla specie che stiamo
osservando .
• k= tasso di nascita - tasso di morte.
k>0 N è crescente
•
k
k<0 N è decrescente
•C è il valore di N al tempo t=0 ed è costante rispetto al tempo per
una determinata specie di individui.
MODELLO MALTHUSIANO