Condensatori - Macroarea di Scienze

Capacità elettrica
Condensatori
Condensatori
Il condensatore è il sistema più semplice per avere un
campo elettrico costante e poter immagazzinare energia
elettrostatica.
Consideriamo due piani metallici separati da un isolante.
La relazione che lega le grandezze coinvolte in un
condensatore è
q = CV  C = q/V
[1F = C/V]
1farad = coulomb/ volt
ovvero la carica q e il potenziale V sono proporzionali, e
la proporzionalità è la capacità C del condensatore.
Il processo di carica termina quando i morsetti della
batteria e i piani del condensatore sono uguali
Simbolo del condensatore
Energia di un condensatore
+
_
Per caricare condensatore piano dovremo fornire delle cariche ai due
piatti.
Man mano che i piatti si caricano le nuove cariche dovranno vincere
sempre più forza repulsiva dovuta alla presenza delle cariche
precedenti.
Il Lavoro necessario a vincere la forza repulsiva è fornito dalla energia chimica di
una batteria e si immagazzinerà nel condensatore sotto forma di energia
potenziale elettrica U.
In un certo istante sia q’ la carica accumulata dal condensatore ed il suo
potenziale sarà V’ = q’/C. L’incremento di una successiva quantità di carica dq’
richiederà un lavoro dL = V’dq’ = (1/C)q’dq’
1 q
q2 1
w   dw   q' dq' 
 CV 2
C 0
2C 2
Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenziale fra le piastre del
condensatore U = ½ CV2
Calcolo della capacità elettrica
• Supponiamo di conoscere la carica q addensata sulle facce di un condensatore
• Calcoliamo il campo E tramite il teorema di Gauss
• Calcoliamo il potenziale utilizzando
• Quindi si calcola C dalla
Vf –Vi = - ∫E . ds
C = q/V
+q
Per il teorema di Gauss
-q
Per il calcolo del potenziale
C = 0 A/d
La capacità dipende solo da fattori geometrici:
Dalla costante dielettrica 0 = 8,85 pF/m
Dalla superficie A
Dalla distanza fra i piani d
 
q   0  E  dA   0 EA
f 

V f  Vi    E  ds
i

V   Eds

d
V  E  ds
0
V  Ed
Densità di energia
In un condensatore piano senza effetti ai bordi, il campo
elettrico è uniforme in tutti i punti fra interni al condensatore.
La densità di energia U sarà il rapporto fra l’energia
potenziale ed il volume fra le armature del condensatore.
U
CV 2
u

Ad 2 Ad
2
1 V 
1
u  0   0E2
2 d 
2
In qualunque punto dello spazio dove ci sia un campo
elettrico E la sua densità di energia è data da
U = ½ 0E2
Capacità equivalenti
A seconda di come più condensatori vengono collegati
insieme si può ottenere una capacità equivalente.
Più condensatori sono collegati in parallelo quando
ciascun condensatore è soggetto alla stessa differenza di
potenziale. La carica totale è la somma delle cariche di
ciascun condensatore
Cequ 
q
n
 1 Ci
V
Più condensatori sono collegati in serie quando condividono la
stessa carica. Il potenziale applicato si suddivide a seconda del
valore della capacità di ciascun condensatore. La capacità
equivalente è dato da:
1
n 1
 1
Cequ
Ci
Dielettrici (1)
A seconda di quale isolante è interposto fra le armature la capacità di un
condensatore cambia valore.
La presenza di un dielettrico comporta l’esistenza di una tensione massima
sopportabile. Quando si supera quel valore, la tensione disruptiva, si avrà una
scarica elettrica che buca il dielettrico.
Sappiamo che C = 0A/d . Faraday dimostrò che
c’è una sensibile differenza fra la capacità di un
condensatore in vuoto e dello stesso
condensatore con un dielettrico C = rC0
In presenza di un dielettrico la costante 0 va
sostituita con il prodotto 0r .
La presenza di un dielettrico aumenta la quantità
di carica di un fattore r
Se si ha un condensatore senza dielettrico e
successivamente si inserisce un dielettrico r
allora il potenziale si riduce di r
Dielettrici (2)
Se in una regione c’è un dielettrico, tutte le formule in cui
compare 0 devono essere modificate inserendo 0r
1
q
1
E
 E0
2
4r  0 r
r
E

 r 0
con  
1 q
4 r 2
Si vede che al crescere di r il campo elettrico interno al
condensatore si attenua
Se si mantiene la tensione applicata ai capi del condesatore il
dielettrico ha l’effetto di aumentare la carica delle piastre.
Se un condensatore carico è collegato con un elettrometro
l’effetto del dielettrico è diminuire il potenziale tra i piatti
Effetti molecolari nei
dielettrici
• Dielettrici con dipolo permanente: in questo caso le
molecole polari tendono ad allinearsi con il campo, ma
l’agitazione termica inibisce questo processo ed il campo che
si oppone è minore del campo del condensatore. Se si
aumenta il campo l’allineamento aumenta.
• Se il dielettrico è inizialmente neutro la presenza del campo
sposta il baricentro delle cariche positive da quello delle
cariche negative. Si crea un campo elettrico opposto a quello
delle piastre è la somma vettoriale è il campo risultante.
• Entrambi i dielettrici considerati riducono il campo e
aumentano la capacità poichè la carica rimane costante
C = q/V
Teorema Gauss nei dielettrici
Se il condensatore non ha dielettrico il teorema di
Gauss ci dice che il campo elettrico è dato da:
 
 0  E  dA   0 E0 A  q

E0 = q/0A
Inserendo il dielettrico ed utilizzando la stessa
superficie Gaussiana avremo che la carica racchiusa
è data da q – q’ e quindi:
 
 0  E  dA   0 E0 A  q  q'
E
Il dielettrico agisce inibendo il
campo è quindi
q  q' 
E
q
r
E0
r

q  q'
0 A
q
 r 0 A
q'  q(1 
1
r
)