modelli di interazione strategica

MODELLI
DI
INTERAZIONE STRATEGICA
di
AGOSTINO LA BELLA
1
SOMMARIO
• INTRODUZIONE
• FONDAMENTI DI TEORIA DEI GIOCHI
–
–
–
–
•
•
•
•
STRATEGIA
PRINCIPALI NOZIONI DI EQUILIBRIO
GIOCHI SEQUENZIALI
GIOCHI RIPETUTI
IL PARADOSSO DI BERTRAND
IL MODELLO DI COURNOT
COLLUSIONE VERSUS GUERRA DEI PREZZI
CONCLUSIONI
2
DEFINIZIONE
• UN INSIEME DI “GIOCATORI”
• UN INSIEME DI REGOLE
• UN INSIEME DI FUNZIONI DI “PAYOFF”
LE REGOLE DEFINISCONO L’INSIEME DI
AZIONI POSSIBILI IN OGNI CIRCOSTANZA
PER OGNI GIOCATORE (STRATEGIE)
IL RISULTATO (PAYOFF) DIPENDE DALLE
STRATEGIE DI TUTTI I GIOCATORI
3
SEMPLICE GIOCO
(IN FORMA NORMALE)
GIOCATORE 2
L
R
T
5; 5
3; 6
B
6; 3
4; 4
4
EQUILIBRIO DI NASH
E
SOLUZIONE “EFFICIENTE”
GIOCATORE 2
L
R
T
5; 5
3; 6
B
6; 3
4; 4
5
I CONCETTI
• STRATEGIA DOMINANTE: STRETTAMENTE
MIGLIORE DI OGNI ALTRA SCELTA,
INDIPENDENTEMENTE DALLE STRATEGIE
DEGLI ALTRI GIOCATORI
• EQUILIBRIO DI NASH: N-PLA DI STRATEGIE
DA CUI NESSUN GIOCATORE HA
CONVENIENZA A DISCOSTARSI
UNILATERALMENTE
• SPESSO NON ESISTONO STRATEGIE
DOMINANTI, MA ESISTE (QUASI) SEMPRE
ALMENO UN EQUILIBRIO DI NASH
6
STRATEGIE DOMINATE
GIOCATORE 2
L
C
R
T
1; 1
2; 0
1; 1
M
0; 0
0; 1
0; 0
B
2; 1
1; 0
2; 2
7
EQUILIBRIO DI NASH
GIOCATORE 2
L
C
R
T
2; 1
2; 2
0; 3
M
1; 1
1; 1
1; 1
B
0; 1
0; 0
2; 2
8
EQUILIBRIO DI NASH
xi: strategia del giocatore i
x-i: vettore delle strategie degli altri giocatori
i(xi, x-i): payoff del giocatore i
STRATEGIA DI RISPOSTA OTTIMA
x‘i: i(x‘i, x-i)  i(x“i , x-i)  x“i  x‘i
EQUILIBRIO DI NASH
xN = (xNi, xN-i): i(xN)  i(x’i , xN-i) i e  x’i  xN
9
IPOTESI
• RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI
• CONVINZIONE SULLA RAZIONALITA’
DELLA CONTROPARTE
• SIMMETRIA DELLE CONVINZIONI
• SCELTE SIMULTANEE
10
EQUILIBRI MULTIPLI
GIOCATORE 2
L
R
T
1; 2
0; 0
B
0; 0
2; 1
11
GIOCHI SEQUENZIALI
FORMA ESTESA
1
a
b
2
c
1ac; 2ac
2
d
1ad; 2ad
c
1bc; 2bc
d
1bd; 2bd
12
ENTRATA-RAPPRESAGLIA
1
e
2
r
1=-10
2=-10
nr
ne
1=0
2=50
1=10
2=20
13
MINACCIA CREDIBILE
2
c
nc
1
ne
e
1=-10
2=-10
nr
1=10
2=-20
ne
e
1=0
2=50
2
r
1
1=0
2=50
2
r
1=-10
2=-10
nr
1=10
2=20
14
SUPERGIOCHI E GIOCHI RIPETUTI
GIOCATORE 2
L
C
R
T
5; 5
3; 6
0; 0
M
6; 3
4; 4
0; 0
B
0; 0
0; 0
1; 1
15
SOLUZIONI DI NASH
GIOCATORE 2
L
C
R
T
5; 5
3; 6
0; 0
M
6; 3
4; 4
0; 0
B
0; 0
0; 0
1; 1
16
MODELLI DI INTERAZIONE STRATEGICA
NELL’ECONOMIA INDUSTRIALE
COURNOT (1838)
VARIAZIONI
CONGETTURALI
APPROCCIO
STRATEGICO
17
COURNOT
• N IMPRESE
• BENE OMOGENEO
• VARIABILE STRATEGICA: QUANTITA’
• FUNZIONI DI COSTO INDIPENDENTI
• STRATEGIE NON-COOPERATIVE
• VARIAZIONI CONGETTURALI NULLE
18
DEFINIZIONI
• Funzione di domanda: p=p(x)
• Produzione totale: x=i xi
• Funzione di costo: ci=ci(xi)
Problema dell’impresa i-ma:
Max

(x)
=
p(x)
x
c
(x
)
i
i
i
i
x
i
Condizione del primo ordine:
π i (x)
0
x i
19
 p(x)
p(x) x j  ci (x i )
p(x)  x i 

0
x i
j i x j x i 
 x i

in cui però si deve porre:
(var. congetturali nulle)
x j
x i
0
j  i
Equilibrio di Cournot:

x :
p(x) 
ci (x i ) 
p(x )  x i
  0
x i  x
x i  x


Esempio
2 imprese i, j, con:
p = 6 – (xi + xj)
ci = 1 + xi
cj = 1 + xj
i = 6 – (xi + xj) xi – (1 + xi)
j = 6 – (xi + xj) xj – (1 + xj)
Condizioni del primo ordine:
i/xi = 6 – (xi + xj) – xi – 1= 0
j/xj = 6 – (xi + xj) – xj – 1= 0
Risolvendo si ottengono le curve di reazione
xi 
5- xj
5
x  ;
3
c
i
2
5 - xi
xj 
2
5
x 
3
c
j
π ic  π ic  1,778
Apparente contraddizione con l’ipotesi di variazioni congetturali
nulle (
x j
x i
0
j  i )!
Lo studio della soluzione grafica aiuta a chiarire meglio il
significato
dell’equilibrio di Cournot e delle ipotesi che ne
I
sono
n alla base.
x j
x i
0
j  i
Soluzione cooperativa nel caso simmetrico:
xi = xj = x/2
Max (i + j) = (6-x) x – 2 (1+x/2)
x*i = x*j = 5/4
*i = *j = 2,125
26
Ciascuna impresa ha interesse ad allontanarsi
dalla soluzione cooperativa. Ad esempio, se j
decide di non rispettare le quote di produzione
concordate, portandosi al livello che
corrisponde all’equilibrio di Nash-Cournot
xCi = 5/4
xNj = 5/3
si ha:
i = 1,604
j = 2,472
27
DILEMMA DEL PRIGIONIERO
IMPRESA j
C
N
C
N
2,125; 2,125
1,604; 2,472
2,472; 1,604
1,778; 1,778
28
IL MODELLO DI BERTRAND
•Variabile strategica: prezzo
•Variazioni congetturali nulle (pj/pi = 0)
Esempio
2 imprese
rendimenti costanti
D1(p1, p2)
1(p1, p2) = (p1-c)D1(p1, p2)
D(p1)
p1  p2
0,5 D(p1) p1 = p2
0
p1  p2
30
EQUILIBRIO DI NASH
(p*1, p*2):
1(p*1, p*2)  1(p1, p*2)
 p1
2(p*1, p*2)  1(p*1, p2)
 p2
E’ FACILE VERIFICARE CHE L’UNICO
EQUILIBRIO NON-COOPERATIVO
POSSIBILE E’ DATO DA:
p*1 = p*2 =c
31
Bertand versus Cournot
2 imprese i, j, con:
p = 6 – (xi + xj)
ci = 1 + xi
cj = 1 + xj
Oligopolio (Cournot)
p  8/3
5
5
c
c
xi  ; x j 
3
3
π ic  π ic  1,778
Monopolio
Oligopolio (Bertrand)
p = 7/2
p=1
x*i = x*j = 5/4
x*i = x*j = 5/2
*i = *j = 2,125
*i = *j = 0
Variazioni congetturali à la Bertrand
Quali congetture devono formulare le imprese sulle reazioni
dei concorrenti per comportarsi come se fossero price-taker?
Dalle condizioni del primo ordine per il massimo profitto
della singola impresa si ha:
 p p x 2  c1
π1
  p(x)  x1 

x1
 x1 x 2 x1  x1
da cui :
x 2
 -1
x1
c1
p0
x1
Bertrand versus Cournot
• Se capacità e livello di output possono essere
variate “facilmente”, allora le imprese
scelgono prima il livello del prezzo (Bertrand).
• Se capacità e livello di output possono essere
variate solo nel lungo periodo, allora le
imprese scelgono prima il livello di output
(Cournot).
35
COLLUSIONE
• INDICA ACCORDI TRA IMPRESE RIVOLTI
AD AUMENTARNE IL POTERE DI MERCATO
• PUO’ ESSERE ESPLICITA, SEGRETA,
TACITA
• PUO’ RIGUARDARE:
–
–
–
–
–
IL VOLUME DELL’OFFERTA
I PREZZI
IL MARKETING
LA QUALITA’
LA RIPARTIZIONE DELLA DOMANDA
36
PUNTI DI INTERESSE
• CONDIZIONI CHE RENDONO
CONVENIENTI ACCORDI COLLUSIVI
• STABILITA’
• FATTORI CHE FACILITANO LA
COLLUSIONE
• MISURE ANTICOLLUSIONE
37
LA CONVENIENZA
• IPOTESI:
–
–
–
–
DUOPOLIO CON PRODOTTO OMOGENEO
COSTI MARGINALI COSTANTI
LE IMPRESE DECIDONO LE QUANTITA’
GIOCO RIPETUTO
• SOLUZIONI:
– SUCCESSIONE DI EQUILIBRI DI COURNOT
– “TRIGGER STRATEGIES” (SOTTO SPECIFICHE
CONDIZIONI STRUTTURALI)
38
TRIGGER STRATEGY
• CIASCUNA IMPRESA MANTIENE LA
STRATEGIA COLLUSIVA FINCHE’ LA
RIVALE FA ALTRETTANTO
• NEL MOMENTO IN CUI UN’IMPRESA
OSSERVA UNO SCOSTAMENTO NELLA
STRATEGIA DELLA RIVALE, FISSA E
MANTIENE LA PRODUZIONE AL LIVELLO
NON-COOPERATIVO (COURNOT)
40
Strategia dell’impresa i:
x it  x *i
t0
x it  x *i
se x jτ  x *j
x it  x
altrimenti
c
i
τ  0, 1, 2,......, (t - 1)
Strategia dell’impresa j: simmetrica
Profitti collusivi:

*
π
* t
i
π
α


i i
1 - αi
t 0
1
con α i 
coefficien te di attualizza zione
1  ri
Profitti opportunistici (xit= xic)

t -1
k 0
π α  π α  k  t 1 π α 
* k
i i
'
i
t
i

c
i
k
i
t 1
1 - α it *
α

π i  π i' α it  i π ic
1 - αi
1 - αi
L’accordo collusivo è quindi stabile se:
t 1
*
1 - α it *
α
π
' t
c
i
πi  πiαi 
πi  i
1 - αi
1 - αi
1 - αi
ovvero :
π -π
αi 
π -π
'
i
'
i
*
i
c
i
i
π -π
π -π

π -π
π -π
'
i
'
i
*
i
c
i
'
j
'
j
*
j
c
j
EQUILIBRIO DI NASH PERFETTO
SE IL GIOCO E’ RIPETUTO UN NUMERO
INFINITO DI VOLTE E SOTTO SPECIFICHE
CONDIZIONI SUL FATTORE DI SCONTO E’
POSSIBILE INDIVIDUARE TRIGGER
STRATEGIES CHE GENERANO UN
EQUILIBRIO DI NASH PARETO-EFFICIENTE
(EQUILIBRIO DI NASH PERFETTO).
43
Variazioni congetturali collusive
Condizioni per la soluzione non-cooperativa:
 p(x)
p(x) x j  ci (x i )
p(x)  x i 

 0 i
x i
j i x j x i 
 x i

Condizioni per la soluzione collusiva:
p(x) ci (x i )
p(x)  (x i  x j )
 0 i
x i
x i
Le soluzioni coincidono se:
x j
x i

xj
xi
CONCLUSIONI
• POTENTE LINGUAGGIO FORMALE
• APPROCCIO UNIFICANTE
• PROFONDA COMPRENSIONE DEI
MECCANISMI DI DECISIONE STRATEGICA
• VASTITA’ DEL CAMPO DI APPLICAZIONE
• ASSOCIA RIGORE E SEMPLICITA’
45