Modello di Bertrand ed Efficienza dell`Equilibrio di Nash

Teoria dei Giochi
Dr. Giuseppe Rose
Università degli Studi della Calabria
Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata
a.a 2011/2012
Handout 4
1
L’equilibrio di Bertrand
Nel modello di Bertrand, abbiamo un duopolio esattamente uguale al precedente modello di Cournot (due imprese e stessa curva di domanda), nel quale
però le imprese non scelgono la quantità da immettere sul mercato, ma decidono simultaneamente il prezzo che vogliono …ssare (pi , pj ). Supponiamo, come
nel modello di Cournot, che i beni sono perfettamente sostituti. La curva di
domanda è Q(P ) = a P: A questo punto è importante notare che in questo
caso la funzione di domanda per ogni impresa è discontinua. Lo scenario può
essere infatti descritto nel modo seguente. Se le imprese …ssano lo stesso prezzo,
i consumatori sono indi¤erenti rispetto all’impresa che gli vende il bene quindi
le due imprese si divideranno il mercato:
pi = pj =)
impresa i
impresa j
1=2Q(P )
:
1=2Q(P )
Se invece una delle due imprese …ssa un prezzo inferiore a quello …ssato
dall’altra avremo:
pi > pj =)
impresa i
0
:
impresa j Q(P )
Consideriamo la seguente situazione:
pi = pj > c
dove c, come nel modello di Cournot rappresenta il costo marginale costante.
E’ tale situazione un equilibrio di Nash? No. Infatti una delle due impresse
potrebbe ottenere un payo¤ più alto abbassando leggermente il prezzo e prendendo tutta la domanda Q(P ): Consideriamo adesso la seguente situazione:
pi > pj = c:
1
E’evidente come anche in questo caso non abbiamo un NE perchè all’impresa
i conviene abbassare il prezzo …no a c e prendere metà della domanda. L’unico
equilibrio, che è un equilibrio di Nash è:
pi = pj = c:
Questa situazione è anche nota come paradosso di Bertrand (ovvero, bastano due imprese e abbiamo la concorrenza!). Nell’analisi di tale processo di
interazione ripetuto nel tempo, il paradosso di Bertrand verrà risolto.
Nel modello di Bertrand indicato sopra si sta assumendo che i beni siano
perfetti sostituti. Qualora ci sia imperfetta sostituibilità tra i beni è possibile
vedere che l’equilibrio di Nash nel modello di Bertrand è dato da una soluzione
che prevede un prezzo maggiore del costo marginale. Si consideri la seguente
curva di domanda:
qi (pi ; pj ) = a
pi + bpj
(1)
Dove b > 0 è un parametro che rappresenta la il livello di sostituibilità tra i
beni prodotti dall’impresa i e dall’impresa j: Tale parametro deve essere diverso
da 1 (b 6= 1) perchè in tal caso i beni sarebbero perfettamente sostituti e quindi
la funzione di domanda non è più quella descritta dalla relazione (1) ma sarebbe
la funzione di domanda discontinua descritta sopra.
La massimizzazione del pro…tto dell’impresa i porta a:
max[pi
c](a
pi
pi + bpj )
ovvero:
a + c + bpj
:
2
Mutatis mutandis, per l’impresa j avremo:
Bi (pj ) ) pi =
a + c + bpi
:
2
L’intersezione tra le curve di reazione ci da il seguente prezzo che rappresenta
un equilibrio di Nash:
Bj (pi ) ) pj =
a+c
:
2 b
Da tale espressione si può vedere che è necessario imporre questa ulteriore
condizione sul parametro b:
pi = pj =
0
b < 2:
Si può facilmente veri…care per tali valori di b il prezzo è sempre più alto del
costo marginale. In particolare il prezzo è più piccolo del costo marginale se e
solo se:
2
a+c
<c
2 b
ovvero, se e solo se:
b<1
a=c
|{z}
>1
che è in contrasto con il fatto che b deve essere maggiore di zero.
2
L’e¢ cienza dell’equilibrio di Nash
Nel dilemma del prigioniero, nel modello di Cournot, nel modello di Bertrand,
si può ri‡ettere e veri…care che i risultati dell’interazione strategica che scaturiscono dall’equilibrio di Nash possono essere ine¢ cienti, ovvero sono dei risultati
peggiori di quelli che si raggiungono in presenza di un’unica autorità che decide
le strategie di entrambi gli avversari con lo scopo di massimizzare il benessere
complessivo dei giocatori.
Prendiamo il dilemma del prigioniero come esempio di partenza. Successivamente cercheremo di fare delle considerazioni generali e, alla …ne, alla luce di
tali considerazioni, torneremo sul modello di Cournot. Consideriamo il dilemma
del prigioniero.
Il dilemma del prigioniero
Individuo 1
confessa
non confessa
Individuo 2
confessa non confessa
-6, -6
0, -10
-10, 0
-1, -1
Come è evidente, il risultato che si raggiunge in tale gioco applicando il
concetto di NE è che entrambi i giocatori restano in galera 6 anni ciascuno, ma
tale risultato è, per entrambi i giocatori, peggiore di quello che si raggiungerebbe
se i due non confessassero (un anno di galera ciascuno). In realtà tale situazione
non è un equilibrio. Infatti da tale posizione ciascun individuo trova e¢ ciente
(dal suo punto di vista!) confessare e passare a zero anni di galera "facendo
pagare" dieci anni di galera all’altro giocatore.
L’equilibrio …nale è non e¢ ciente per entrambi i giocatori. Noi (dall’esterno)
vediamo un equilibrio migliore per entrambi imponendo ad entrambi di non
confessare. Noi siamo sicuri che tale equilibrio è il migliore, perchè prendiamo in
considerazione i payo¤s di entrambi i giocatori che nel nostro caso rappresentano
l’intera collettività coinvolta nel processo di interazione.
Si noti che nel gioco seguente abbiamo due equilibri di Nash, uno dei quali
è sicuramente non e¢ ciente. In tale situazione è necessario solo coordinare le
strategie dei due giocatori e l’equilibrio di Nash più e¢ ciente si raggiunge.
3
Giocatore 2
A2
B2
1000, 1000
0, 0
0, 0
50, 50
A1
B1
Giocatore 1
Nel caso del dilemma del prigioniero non esiste nessun tipo di coordinamento
tra i due che può indurre il risultato e¢ ciente.
Cerchiamo di generalizzare l’idea.
Dato un gioco G = (si ; i )ni=1 assumiamo che:
si 2 R e
i
è di¤erenziabile in si
RAT e common beliefs.
Se s = (si ; s i ) è un equilibrio di Nash, allora si deve essere la soluzione
al seguente problema di massimizzazione:
max
si
i (si ; s i ):
Questo vuol dire che nell’equilibrio di Nash devono essere valide entrambe
le seguenti relazioni:
@ i( )
j(si ;s
@si
@ i( )
j(si ;s
@s i
i)
i)
=
0
=
0:
(2)
Immaginiamo adesso di considerare la somma dei payo¤s ( ) dei giocatori
coinvolti nel gioco, ovvero immaginiamo di considerare la società nel suo complesso:
=
n
X
i i (si ; s i )
i=1
dove i > 0 è un peso generico che attribuiamo al payo¤ dell’i esimo giocatore (se = 1 per ogni giocatore stiamo semplicemente sommando i payo¤s
supponendo che ogni giocatore è importante allo stesso modo. Questo potrebbe
sembrare ovvio, ma dal corso di Politica Economica I avete appreso che così non
è.). Con un piccolo abuso di notazione, consideriamo i due giocatori i e i e il
seguente payo¤ complessivo:
=
i i (si ; s i )
+
i
i (si ; s i ):
(3)
Se noi volessimo calcolare le strategie si ed s i che massimizzano il payo¤
della società dobbiamo derivare rispetto ad si ed s i l’espressione (3) e trovare
le seguenti condizioni del primo ordine:
4
@
@si
@
@s i
ovvero, facendo le due derivate:
(
@ i
i @si
@ i
i @s i
=
0
=
0
@
i
i @si
@
i
i @s i
+
+
=0
= 0:
Dividendo entrambi i lati della prima espressione per i ed entrambi i lati
della seconda espressione per
i possiamo riscrivere le condizioni che garantiscono l’ottimo sociale nel modo seguente:
(
@ i
i @
i
@si +
@si = 0
i
@
@ i
i
+ @s ii = 0:
i @s i
Guardando le due espressioni che abbiamo ricavato, e confrontandole con
le espressioni che individuano un equilibrio di Nash (2) possiamo vedere che la
di¤erenza tra queste è data dalla presenza di due termini:
@ i
i @si
i @ i
:
i @s i
i
Se poniamo entrambi i pesi ( i e
i ) pari ad uno per semplicità, possiamo
@
@ i
i
vedere che le espressioni @si ed @s i altro non sono che l’e¤etto della strategia
del giocatore i sul payo¤ del giocatore i e viceversa. In altre parole, quando
si individua l’ottimo sociale, l’e¤etto della strategia di un giocatore sui payo¤s
degli altri giocatori è rilevante. Tale e¤etto è totalmente non considerato dal
singolo giocatore che individua la sua strategia ottimale senza calcolare l’e¤etto
che questa ha sui payo¤s degli altri giocatori. Se una azione si ha un e¤etto
sul payo¤ del giocatore i questa è un’esternalità, ovvero l’azione si genera un
costo in capo al giocatore i: L’ottimo sociale è e¢ ciente perchè le esternalità vengono internalizzate. L’interazione strategica, invece, può portare a dei
risultati ine¢ cienti proprio per la presenza di estrernalità.
Possiamo adesso ritornare sul modello di Cournot per cercare di individuare
tali esternalità ed avere una visione più chiara di cosa succede nel processo
di concorrenza tra le due imprese. Si noti innanzi tutto che nell’equilibrio di
Cournot il pro…tto di entrambe le imprese è pari alla di¤erenza tra il prezzo
ed il costo medio unitario c per la quantità venduta da ciascuna impresa. Il
prezzo è funzione della quantità complessiva immessa nel mercato ovvero Q =
qi + qj . Noi sappiamo che se ci fosse una sola impresa (il caso del monopolista)
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questa produrrebbe una quantità pari a Qm = a 2 c : Il pro…tto che ottiene il
monopolista è il massimo pro…tto ottenibile. Se la quantità immessa sul mercato
dal monopolista fosse più grande di Qm i pro…tti diminuirebbero. Partendo
da questa considerazione, cosa possiamo dire sui pro…tti delle due imprese? la
prima cosa che possiamo vedere è che la quantità complessiva messa sul mercato
è più grande di quella di monopolio. Infatti:
qi
= qj =
a
c
3
Q = qi + qj = 2=3(a
c) >
a
c
2
:
Di conseguenza se la quantità complessiva prodotta dalle due imprese fosse
minore, i pro…tti complessivi sarebbero più alti e le due imprese dividerebbero
tali pro…tti facendo ognuna pro…tti maggiori di quelli che realizzano in equilibrio. Quindi, il risultato che noi troviamo è che in equilibrio le due imprese non
stanno massimizzando i loro pro…tti, ovvero l’equilibrio è ine¢ ciente per le due
imprese. L’esternalità che genera tale situazione socialmente ine¢ ciente (socialmente ine¢ ciente, dove la nostra società è composta solo dai nostri giocatori
ovvero solo dalle imprese) è direttamente individuabile dal processo di massimizzazione di una delle due imprese che si attua nell’applicazione dell’equilibrio di
Nash. Quando la funzione di domanda è data da P (Q) = a Q, il pro…tto
dell’impresa i è dato da:
i (qi ; qj )
= (P (Q)
c)qi :
La condizione del primo ordine è data da:
@ i( )
=0
@qi
ovvero:
@P ( )
qi + P (Q)
@q
| {zi }
c=0
(4)
<0
La condizione (4) ci permette di individuare l’esternalità. Infatti, se guardiamo
l’e¤etto negativo sul prezzo che ha la quantità aggiuntiva che l’impresa i de()
cide di immettere sul mercato ( @P
< 0) possiamo vedere che questo ef@qi
fetto moltiplica solo la quantità qi e non tutta la quantità Q: Questo perchè
l’impresa i non ha nessun interesse a tenere in considerazione l’e¤etto negativo sul prezzo derivante dall’immissione di una quantità aggiuntiva rispetto
alle vendite dell’impresa j (qj ). Se consideriamo invece il monopolista, che può
essere visto come una unica impresa che detiene le due società j e i abbiamo la
seguente funzione di pro…tto e relativa condizione del primo ordine:
(qi + qj ) = (P (Q)
6
c)(qi + qj )
@P ( )
(qi + qj ) + P (Q)
@q
| {zi }
c=0
(5)
<0
Dalla relazione (5) si può vedere perchè il monopolista raggiunge un risultato più e¢ ciente rispetto a quello delle due imprese che competono sulla quantità. Il monopolista, infatti, sta valutando l’e¤etto negativo sul prezzo derivante
()
dall’immissione di una unità aggiuntiva di prodotto ( @P
@qi ) su tutta la quantità realizzata (qi + qj ). Il monopolista fa pro…tti maggiori della somma dei
pro…tti delle due imprese che competono in un modello di Cournot. E’importante sottolineare ancora una volta che non stiamo considerando il benessere dei
consumatori, per noi esistono solo le imprese e un monopolio, per le imprese,
porta ad un risultato più e¢ ciente di quello che si raggiunge in un modello di
concorrenza à la Cournot.
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