8a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2010-2011
Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora
necessario, di formule e grafici.
Def. 1. Equilibrio di Nash.
Situazione nella quale ciascun giocatore adotta la sua miglior strategia stanti le
strategie scelte dagli altri giocatori.
Def. 2. Strategia dominante.
Una strategia che garantisce al giocatore una vincita almeno pari a quella raggiunta con qualsiasi strategia alternativa, per qualunque strategia prescelta dagli altri
giocatori.
Def. 3. Risposta ottima.
Il comportamento più opportuno da adottare per un operatore economico, tenuto
conto di ciò che stanno facendo gli altri.
Def. 4. Dilemma del prigioniero.
Situazione di interazione strategica in cui tutti i giocatori presentano una strategia
dominante che conduce ad un esito peggiore di quello ottenibile attraverso un accordo.
Def. 5. Equilibrio di Cournot.
Equilibrio di Nash in un mercato in cui la strategia di ciascuna impresa consiste
nella scelta del proprio volume di produzione.
Def. 6. Curva (o funzione) di reazione.
E’ una funzione che indica il livello di produzione ottima di un’impresa al variare
della quantità dell’altra impresa.
Def. 7. Oligopolio.
Mercato in cui sono presenti un numero limitato (ma ≥ 2) di venditori.
1
Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la
risposta.
Vero/Falso 1. Nel gioco seguente (Bianco, Carne) è il solo equilibrio di Nash1
A
Bianco
Rosso
B
Carne
3; 3
5; 2
Pesce
2; 5
0; 0
FALSO. Il gioco presenta due equilibri di Nash {Bianco, P esce} e {Rosso, Carne}.
{Bianco, Carne} non è un equilibrio di Nash.
Vero/Falso 2. In un gioco possono esserci equilibri in strategie dominanti che non
sono equilibri di Nash.
FALSO. In corrispondenza di un equilibrio in strategie dominanti ciascun giocatore adotta la sua miglior strategia stanti le scelte dagli altri giocatori; quindi si
tratta di un equilibrio di Nash.
Vero/Falso 3. Considerate un gioco simultaneo nel quale entrambi i giocatori
presentano una strategia dominante. In questo caso l’equilibrio di Nash è sempre
Pareto-efficiente.
FALSO. Il fatto che ciascun giocatore scelga la sua miglior strategia date quelle
dei rivali non implica che l’esito così ottenuto sia Pareto-efficiente (vedi dilemma del
prigioniero).
Vero/Falso 4. Due imprese che competono alla Cournot ed hanno costi marginali
uguali e costanti, in equilibrio, ottengono un profitto nullo.
FALSO. La quantità complessivamente prodotta dai duopolisti è inferiore a quella
di concorrenza perfetta; dunque il prezzo di mercato sarà superiore al costo medio di
produzione (profitti positivi).
Vero/Falso 5. Le imprese Alfa e Beta competono in quantità. I costi medi di
produzione di entrambi i duopolisti sono costanti e pari a 2. La curva di domanda
di mercato è QD = 11 − p. I profitti di ciascuna impresa sono pari a 9 ed il surplus
dei consumatori è 18.
VERO. La quantità prodotta da ciascuna impresa in corrispondenza dell’equilibrio
∗
∗
di Cournot è qAlf
a = qBeta = 3 da cui una quantità complessivamente scambiata pari
∗
∗
∗
a Q = qAlf a + qBeta = 6 ed un prezzo di equilibrio p∗ = 5. I profitti di ciascun
∗
duopolista sono quindi π∗Alf a = π ∗Beta = (p∗ − AC)qAlf
a = 9. Il surplus dei consuma∗
∗
∗
tori è dunque SC = (11 − p ) Q /2 = 18.
Vero/Falso 6. Due imprese che competono alla Cournot e hanno costi marginali
costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità.
1 Il primo payoff si riferisce al giocatore riga (nel nostro caso A), mentre il secondo al giocatore
colonna (nel nostro caso B)
2
FALSO (in generale). In un duopolio alla Cournot l’impresa più efficiente
servirà una quota maggiore di mercato; quindi due imprese che competono in quantità
produrranno lo stesso output se e solo se si caratterizzano per la medesima funzione
di costo (i costi marginali sono uguali).
Vero/Falso 7. L’equilibrio del modello di Cournot è anche un equilibrio nel senso
di Nash solo quando i costi marginali dei duopolisti sono uguali.
FALSO. L’equilibrio del modello di Cournot è sempre un equilibrio di Nash in
quanto in corrispondenza di tale equilibrio ciascun giocatore adotta la sua miglior
strategia stanti le strategie dei rivali.
Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Nel comune di Paderno Dugnano ci sono due sole pizzerie, la pizzeria
da Salvatore e la pizzeria da Matteo. Per fronteggiare la crisi di vendite i due proprietari stanno pensando di introdurre un servizio di consegna a domicilio. Se una sola
delle due pizzerie introduce il servizio, la pizzeria che lo introduce ottiene un profitto
pari a 10, mentre l’altra pizzeria subisce una perdita pari a -1. Se entrambe introducono il servizio, la perdita per entrambe è pari a -5. Se nessuna delle due pizzerie
introduce il servizio, entrambe ottengono profitti nulli. Supponete che la pizzeria da
Matteo e la pizzeria da Salvatore debbano decidere se introdurre il servizio simultaneamente. (1) Si discutano le strategie a disposizione delle due pizzerie e si rappresenti
il gioco in forma di matrice. (2) Si determinino gli equilibri di Nash di questo gioco
e si discuta il risultato ottenuto. (3) Lo Stato introduce un sussidio in somma fissa
di 5 per incentivare l’introduzione di un servizio di consegna a domicilio. Si disciuta
l’efficacia di tale manovra.
Soluzioni. (1) Ciascuna pizzeria ha a disposizione due strategie: introdurre il
servizio a domicilio (I) o non introdurre il servizio di consegna a domicilio (NI). La
matrice dei payoff in questo caso è
Salvatore
Matteo
i
i
-5; -5
ni -1; 10
ni
10; -1
0; 0
(2) Nessun giocatore dispone di una strategia dominante e gli equilibri di Nash del
gioco sono {I; N I} e {N I; I}. Dunque una sola delle pizzerie introdurrà un servizio
di consegna a domicilio.
(3) A seguito della politica Statale, la matrice dei payoff diventa
Salvatore
Matteo
i
i
-5+5; -5+5
ni -1; 10+5
ni
10+5; -1
0; 0
Dunque la strategia I diventa per entrambi i giocatori una strategia dominante (qualsiasi sia la scelta del rivale, I assicura al giocatore il massimo profitto) ed il solo
equilibrio di Nash del gioco è ora {I; I}. Il sussidio in somma fissa è efficace per
incentivare un servizio di consegna a domicilio.
3
Esercizio 2. Nel paese di Isolandia sono presenti due unici produttori (A e B).
Le imprese possono decidere di cooperare (C) o non cooperare (NC). Tale scelta è
effettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese cooperano,
ciascuna ottiene un profitto pari a 2k. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene
un profitto pari ad 1/2. Se, infine, una sola coopera essa otterrà un profitto pari a k
(mentre l’impresa rivale che non coopera otterrà 1 + k). (1) Si rappresenti il gioco
in forma normale. (2) Si fornisca la definizione di strategia dominante e si individui
per quali valori del parametro k "cooperare" è strategia dominante per entrambi i
giocatori. (3) Sia k=1/3 (in questo caso quindi se le imprese cooperano ciascuna
otterrà un profitto pari a 2k = 2(1/3) = 2/3; se non cooperano ciascuna otterrà
1/2; se una soa coopera essa otterrà k=1/3, mentre la rivale 1+k=4/3). Si individui
l’equilibrio di Nash del gioco e si dica se si tratta di un equilibrio Pareto efficiente.
Soluzioni. (1) Le due imprese hanno a disposizione le medesime strategie: C
(cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in forma di matrice
è
Impresa b
C
NC
Impresa a C
2k; 2k
k; 1+k
NC 1+k; k
1/2; 1/2
(2) Una strategia è dominante se garantisce al giocatore un payoff almeno pari a
quello raggiunto con qualsiasi strategia alternativa, per qualunque strategia prescelta
dagli altri giocatori. Nel nostro caso C è una strategia dominante per l’impresa A
se il profitto che la stessa ottiene scegliendo C è superiore a quello che otterrebbe
scegliendo NC, qualsiasi sia la scelta della rivale. Analiticamente è necessario che
2k > 1 + k e k > 1/2 ovvero se k > 1.
(3) Sostituendo per k=1/3, otteniamo la seguente matrice dei payoff
Impresa a
C
NC
Impresa b
C
2/3; 2/3
4/3; 1/3
NC
1/3; 4/3
1/2; 1/2
L’equilibrio di Nash del gioco è (NC; NC) cui sono associati payoff (1/2; 1/2). Si
tratta di un esito che non è Pareto-efficiente in quanto se le due imprese si accordassero e decidessero di cooperare potrebbero ottenere entrambe dei profitti maggiori.
Tale equilibrio cooperativo non è però sostenibile in un gioco one-shot (ovvero in un
gioco che non viene ripetuto).
Esercizio 3. Topolino e Pippo questa volta hanno deciso di fare una gita in barca
a remi sul lago dove si affacciano i parchi dei Collegi. Le rive del lago sono piacevoli,
ma remare costa fatica e distrae dal godimento del paesaggio. Le preferenze dei
due sono uguali e sono fatte così: se entrambi remano il benessere proprio è 10; se
solo l’altro rema il benessere proprio è 15; se solo uno rema il suo benessere è 5; se
nessuno dei due rema il benessere di uno è 7 (perché si vede sempre lo stesso posto).
(1) Si definisca cosa è un gioco, e cosa è un equilibrio di Nash. (2) Si rappresenti la
situazione descritta in forma di matrice e se ne individui l’equilibrio di Nash; si dica
di che tipo di gioco si tratta. (3) Supponendo ora che Topolino e Pippo vadano a
fare gite in barca tutti i giorni, e che ciascuno giochi la strategia “colpo su colpo”, vi
attendete che l’esito sia lo stesso? Discutete.
4
Soluzioni. (1) Un gioco è una situazione, o meglio la rappresentazione di una
situazione, di cosiddetta interazione strategica: i risultati di ciascuno dipendono anche dalle scelte degli altri, tutti ne sono consapevoli e tutti tengono conto delle possibili
scelte altrui per decidere cosa fare: ciascuno cerca di ottenere il miglior payoff per sé
cercando di prevedere le mosse degli altri. Un equilibrio di Nash è una combinazione
di strategie (una per ciascun giocatore) tale che nessuno possa far di meglio dato ciò
che fanno gli altri. In altri termini, in un equilibrio di Nash nessuno si deve “pentire”
di ciò che ha scelto.
(2) Ecco la rappresentazione in forma di matrice:
Pippo
Rema
Non rema
Topolino
Rema
10; 10
15; 5
Non rema
5; 15
7; 7
Questo gioco è chiaramente un “dilemma del prigioniero”: ciascuno ha una strategia dominante, che è quella di non remare. L’equilibrio si Nash è (non rema; non
rema) e tale esito non è chiaramente ottimo: se entrambi remassero entrambi avrebbero un payoff maggiore ( 10 > 7) ma questo non costituisce un equilibrio di Nash.
(3) Questa nuova situazione è un “gioco ripetuto”. In un gioco ripetuto l’interazione
fra i due si ripete un numero infinito (oppure imprecisato) di volte. In tal caso il payoff non è solo quello del primo periodo, ma è quello di tutto l’orizzonte temporale su
cui si estende il gioco: in altri termini, anche i payoff futuri contano. La strategia
“colpo su colpo” prevede che alla prima data si giochi la mossa di “cooperazione”,
in questo caso “remare”, e poi ad ogni data successiva si scelga la propria strategia
in base al comportamento del rivale nel periodo precedente. Se entrambi adottano
questa strategia, allora i due continueranno a cooperare (remare) a tutte le date. Il
risultato diventa più probabile se (a) l’interazione dura a lungo, se (b) la risposta
‘minacciosa’, di non remare se l’altro non ha remato, viene data in fretta, e (c) se il
futuro conta molto per i partecipanti (il tasso a cui si sconta il futuro è basso).
Esercizio 4. Le imprese Alfa e Beta producono il medesimo bene, e possono praticare solo due livelli di prezzo, alto o basso. Se entrambe praticano il prezzo basso,
ottengono un profitto pari a 2; se una pratica il prezzo alto e l’altra il prezzo basso,
chi pratica il prezzo alto ottiene un profitto pari a zero e chi pratica il prezzo basso ottiene un profitto pari a 10; se entrambe praticano il prezzo alto, ottengono un profitto
pari a 6. (1) Rappresentate la situazione tramite la “matrice del gioco”, mettendo in
alto l’impresa Beta. Definite la nozione di equilibrio di Nash. Individuate l’equilibrio
di Nash di questo gioco, dicendo di che tipo di gioco si tratta, e il senso di questa
terminologia. (2) Supponete che le due imprese possano sottoscrivere un accordo
vincolante tale per cui, se un’impresa pratica il prezzo basso e l’altra il prezzo alto, la
prima deve poi pagare la somma x alla seconda. Dite quanto deve valere x affinché la
situazione in cui entrambe praticano il prezzo alto sia equilibrio di Nash del gioco (3).
Tornate al caso del punto (1), in cui le due imprese non possono praticare un accordo
vincolante; supponete però che l’interazione tra le due imprese si ripeta tutti i giorni,
e che ciascuna adotti la strategia “colpo su colpo”. Vi aspettate che il risultato sia
lo stesso? Discutete
5
Soluzioni. (1) La rappresentazione del gioco in forma normale è la seguente2
Alfa
Beta
Alto
6; 6
10; 0
Alto
Basso
Basso
0; 10
2; 2
L’equilibrio di Nash di un gioco è una combinazione di scelte dei due giocatori
tali che nessuno si debba pentire di ciò che ha scelto, osservando ciò che l’altro ha
scelto. In questo gioco l’equilibrio di Nash è la situazione in cui entrambe le imprese
praticano il prezzo basso, perché così facendo nessuna ha motivo di pentirsi: dato ciò
che fa l’altra, nessuna può ottenere un profitto maggiore modificando unilateralmente
la propria scelta (il suo profitto passerebbe da 2 a 0). Lo stesso non si può dire per
ognuna delle altre combinazioni; quindi quello individuato prima è l’unico equilibrio
di Nash del gioco.
Questo gioco è un “dilemma del prigioniero”: si tratta di un dilemma in quanto
entrambe le imprese capiscono che potrebbero stare meglio se potessero accordarsi per
praticare il prezzo alto (avrebbero infatti un profitto di 6 anziché di 2). Tale accordo,
però, non sarebbe sostenibile per via degli incentivi a deviare unilateralmente.
(2) L’accordo modifica la matrice del gioco nel modo seguente:
Alfa
Alto
Basso
Beta
Alto
6; 6
10-x; x
Basso
x; 10-x
2; 2
Per far sì che la scelta di praticare entrambe il prezzo alto sia un equilibrio
di Nash, occorre che il profitto che ciascuna può ottenere deviando unilateralmente
dall’accordo sia inferiore a quello che ottiene rispettando l’accordo. Occorre cioè:
6 > 10 − x e x > 2
ovvero x > 4.
(3) Questa nuova situazione è un “gioco ripetuto”. In un gioco ripetuto l’interazione
fra le due imprese si ripete un numero infinito (oppure imprecisato) di volte. In tal
caso il profitto rilevante non è solo quello del primo periodo, ma è quello di tutto
l’orizzonte temporale su cui si estende il gioco: in altri termini, anche i profitti futuri contano. La strategia “colpo su colpo” prevede che alla prima data si giochi la
mossa di “cooperazione”, in questo caso la strategia “Alto”, e poi ad ogni data successiva si scelga di cooperare o non-cooperare sulla base del comportamento dell’impresa
rivale alla data precedente. Se entrambe adottano questa strategia, allora le due imprese continueranno a “cooperare” (colludere, praticare il prezzo alto) a tutte le date.
L’esito, dunque, è molto diverso da quello del gioco giocato una sola volta. Questo
risultato diventa più probabile se (a) l’interazione dura a lungo, se (b) la risposta
‘minacciosa’, di fare il prezzo basso se l’altro ha fatto il prezzo basso, viene data in
fretta, e (c) se il futuro conta molto per i partecipanti (il tasso a cui si sconta il futuro
è basso).
2 Il primo payoff si riferisce al giocatore riga (nel nostro caso Alfa), mentre il secondo al giocatore
colonna (nel nostro caso Beta)
6
Esercizio 5. Considerate il mercato delle acque minerali nel quale la funzione di
domanda inversa sia p = 250 − Q. Supponete che nel mercato operino solo due
imprese, la Acque-A e la Bevi-B, ciascuna delle quali ha una curva di costo pari
a C(qi )=100qi con i=A,B (quindi Q=qA + qB ). (1) Supponete che le due imprese
interagiscono strategicamente secondo il modello di oligopolio di Cournot. Ricavate
e fornite una rappresentazione grafica delle curve di reazione delle due imprese. (2)
Trovate la produzione di equilibrio, i profitti di ciascuna impresa ed il surplus dei
consumatori. (3) Se le due imprese decidessero di colludere formando un cartello,
quanto sceglieranno di produrre? Qual è il surplus dei consumatori e quali sono i
profitti di ciascuna impresa in questo caso? Confrontate i valori qui ottenuti con
quelli al punto (2).
Soluzioni. (1) La funzione di reazione delle due imprese è ottenuta come
M RA = M CA e M RB = M CB
dove
M RA =
dT RA
dqA
= 250 − 2qA − qB
M RB =
dT RB
dqB
= 250 − 2qB − qA
M CA =
dT CA
dqA
= 100 e M CB =
dT CB
dqB
= 100
Sostituendo in
M RA = M CA → 250 − 2qA − qB = 100
, da cui segue la funzione di reazione dell’impresa A: q A = 75 — (1/2) q B . La
funzione di reazione del secondo duopolista è ottenuta in maniera analoga, ed è pari
a q B = 75 — (1/2) q A . Graficamente
qB
Funzione di reazione
impresa A
150
Bisettrice
Equilibrio di Cournot
75
-2
-0.5
Funzione di reazione
impresa B
75
150
qA
(2) L’equilibrio di Cournot-Nash è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni
di reazione
½
M RA = M CA
M RB = M CB
∗
∗
da cui, dopo qualche passaggio, otteniamo qA
= 50 = qB
, con una quantità totale
∗
∗
prodotta pari a Q = 100 ed un prezzo di equilibrio p = 150. Il profitto di ciascuno
dei duopolisti è
π ∗A = π ∗B = T R − T C = 150 × 50 − 100 × 50 = 2500
7
ed il surplus dei consumatori è
SC = (250 − p∗ ) × Q∗ × (1/2) = 5000
(3) Se le imprese si uniscono in un cartello, stabiliscono il livello di produzione
che massimizza i profitti congiunti. I profitti totali sono
π (qA + qB ) = π (qA ) + π (qB ) = pqA − 100qA + pqB − 100qB
sostituendo dalla funzione di domanda inversa otteniamo
π (qA + qB ) = (250 − qA − qB )qA − 100qA + (250 − qA − qB )qB − 100qB
La quantità ottimale in caso di cartello prodotta dall’impresa A sarà quindi
dπ(qA +qB )
dqA
= 0 → 250 − 2qA − qB − 100 − qB = 0 → qA = 75 − qB
e analogamente la quantità ottima per l’impresa B in questo caso sarà
dπ(qA +qB )
dqB
= 0 → 250 − qA − 2qB − 100 − qB = 0 → qB = 75 − qA
da cui, per sostituzione
∗∗
qA
=
75
2
∗∗
e qB
=
75
2
La produzione complessiva in questo caso è Q ∗∗ = 75 ed il prezzo di equilibrio è
p ∗∗ = 175. Ciascun duopolista otterrà un profitto di
∗∗
π ∗∗
A = π B = 175 ×
75
2
− 100 ×
75
2
=
752
2
ed il surplus dei consumatori sarà
SC ∗∗ = (250 − 175) 75
2 =
752
2
Confrontando l’esito collusivo con quello non collusivo si evidenzia una riduzione
della quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta con conseguente aumento del prezzo praticato. I profitti aumentano mentre il surplus dei consumatori
si riduce. Dato che l’aumento dei profitti è inferiore alla contrazione del surplus dei
consumatori il benessere complessivo si contrae per effetto del cartello.
Esercizio 6. Nel mercato italiano delle ciambelle sono presenti due grandi imprese
- Krapfen (K) e Doughnut (D) - che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre. Supponete che i duopolisti si caratterizzano per una simmetrica
struttura di costo totale di produzione: TCK (qK ) = 50qK e TCD (qD ) = 50qD dove
qK indica la quantità di ciambelle prodotta da Krapfen mentre qD quella prodotta
da Doughnut. La domanda (inversa) di mercato è P = 110 — 2Q, dove Q= qK +
qD . (1) Calcolate e rappresentate graficamente (specificando pendenza ed intercette)
l’espressione delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate l’equilibrio sul
mercato delle ciambelle specificando quantità totale offerta dai duopolisti, prezzo di
vendita, profitti, e surplus dei consumatori. (3) Supponete che il Governo introduca
una tassa su ogni unità prodotta e venduta da Krapfen. Doughnut è esente dalla
tassa. Discutete graficamente gli effetti di tale politica sulle funzioni di reazione dei
duopolisti e sulla quota di mercato da ciascuno servita.
8
Soluzioni. (1) La funzione di reazione delle due imprese è ottenuta come
M RK = M CK e M RD = M CD
dove
M RK =
dT RK
dqK
= 110 − 4qK − 2qD
M RD =
dT RD
dqD
= 110 − 4qD − 2qK
M CK =
dT CK
dqK
= 50 e M CD =
dT CD
dqD
= 50
Sostituendo in
M RK = M CK → 110 − 4qK − 2qD = 50
, da cui segue la funzione di reazione di Krapfen: q K = 15 — (1/2) q D . La funzione
di reazione del secondo duopolista è valutata in maniera simmetrica, e si ottiene q D
= 15 — (1/2) q K . Graficamente
qk
Funzione di reazione
impresa D
30
Bisettrice
Equilibrio di Cournot
15
-2
-0.5
Funzione di reazione
impresa K
15
30
qD
(2) L’equilibrio di Cournot-Nash è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione
½
M RK = M CK
M RD = M CD
∗
∗
da cui, dopo qualche passaggio, otteniamo qK
= 10 = qD
, con una quantità totale
prodotta pari a Q∗ = 20 ed un prezzo di equilibrio P ∗ = 70. Il profitto di ciascuno
dei duopolisti è
π∗K = π∗D = T R − T C = 70 × 10 − 50 × 10 = 200
ed il surplus dei consumatori è
SC = (110 − P ∗ ) × Q∗ × (1/2) = 400
(questo si può capire bene usando il grafico dove appare il triangolo del surplus dei
consumatori). Graficamente l’equilibrio sul mercato ed il surplus dei consumatori
risultano
9
P
110
Surplus dei consumatori
70
Equilibrio di Cournot
-2
20
55
Q
(3) La tassa comporterebbe un aumento del costo marginale della Krapfen (in
misura pari alla tassa stessa). La funzione di reazione della Krapfen si sposta verso
l’interno mentre quella della concorrente rimane invariata. La tassa rende Doughnut relativamente più efficiente della rivale. Il nuovo equilibrio si caratterizza per
un livello di produzione asimmetrica con una quota di mercato maggiore servita
dall’impresa più efficiente (la Doughnut). Graficamente
qk
30
Funzione di reazione
impresa D
Nuova funzione di reazione
impresa K
Vecchio eq. di Cournot
15
Nuovo eq. di Cournot
Vecchia funzione di reazione
impresa K
15
30
10
qD
