I.T.C.G. Mosè Bianchi
Mauro Bosisio
Classe A2 Geometri
Anno scolastico 2000\2001
Il secondo criterio di
congruenza dei triangoli
Questo criterio , come gli altri due, è utile per
dimostrare la congruenza di due o più
triangoli, conoscendone solo alcuni dati
Il secondo criterio dice :
• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti
due angoli e il lato tra essi compreso, essi sono
congruenti
Osserviamo:
Cominciamo prendendo
un angolo A di
ampiezza qualsiasi
A
Consideriamo ora un punto B su uno dei lati
dell’angolo
A
B
Ora “costruiamo” un’ altro angolo di vertice B e
lato BA come in figura
C
A
B
Come si può vedere, con questi tre elementi abbiamo
costruito un triangolo e uno solo
A
B
Non è stato necessario conoscere la lunghezza degli
altri suoi elementi (il lato BC, il lato AC e l’angolo
C).
C
A
B
Se osserviamo
attentamente, ci
rendiamo conto che
queste due informazioni
sono superflue, infatti il
punto d’incontro delle
semirette BC e AC è
unico.
Abbiamo così osservato come, utilizzando questi
tre dati solamente, si possa costruire un triangolo e
uno solo…
.. e quindi il perché della congruenza di due triangoli
se hanno tra loro congruenti questi elementi.
Ora dimostriamo il teorema:
C
A
B
C’
A’
B’
Per la
dimostrazione di
questo teorema
useremo il
metodo per
assurdo
Ipotesi: AB A’B’
C
CAB C’A’B’
ABC A’B’C’
A
B
Tesi: ABC A’B’C’
C’
A’
B’
C
Ora poniamo per assurdo che i
due triangoli non siano
congruenti e supponiamo che i
lati AC e A’C’ siano diversi
C”
A
B
(nel nostro caso porremo
C’
A’
AC > A’C’)
B’
Prendiamo su AC un punto C”
tale che AC” A’C’
Ora uniamo C” con B
Consideriamo i triangoli
C
C”
ABC” e A’B’C’
B
A
C’
A A’ (per ipotesi)
AC” A’C’ (per costruzione)
AB A’B’ (per ipotesi)
A’
B’
I due triangoli considerati sono
quindi congruenti per il primo
criterio di congruenza dei
triangoli
Risulta:
ABC A’B’C’
ma ABC”<ABC perché C” è interno ad ABC
Per cui A’B’C’<ABC
C
C”
A
B
Ma in questo modo si verrebbe a negare
l’ipotesi, secondo cui ABC A’B’C’
Poichè non possiamo negare l’ ipotesi
che è necessariamente vera, resta
dimostrato il teorema
Ora applichiamo quello che si è appena detto:
Osserviamo un triangolo qualsiasi :
Poniamo l’ attenzione
rispettivamente sul
lato AB, l’ angolo A e
l’ angolo B
A
C
B
Ora osserviamo quest’ altro triangolo avente alcuni
dati uguali al primo :
Il lato FG è congruente
al lato AB del triangolo
precedente
E
F
G
L’angolo F è congruente
all’ angolo A del
triangolo precedente
E per finire l’angolo G
è congruente
all’angolo B del
triangolo precedente
A F
B G
AB FG
A
G
B
F
I due triangoli hanno abbastanza dati comuni
per essere, come abbiamo visto, tra loro
congruenti per il secondo criterio di
congruenza dei triangoli.
Utilizzando il secondo criterio di
congruenza dei triangoli abbiamo
dimostrato la congruenza di queste
due figure
Fine
