2ndweek_lezione5

Lezione 5
• Equazioni di Maxwell nel vuoto e in presenza
di sorgenti.
• Formulazione covariante delle equazioni di
Maxwell.
Equazioni di Maxwell nel vuoto
Le equazioni di Maxwell scritte in termini dei campi E e B descrivono il campo
elettrico e magnetico nel vuoto o in presenza di sorgenti in modo non
relativisticamente covariante. Nel vuoto, adoperando il sistema di Gauss, le
equazioni assumono la forma seguente:
1)   E
0
2)   B
0
1 B
3)   E  
c t
1 E
4)   B 
c t
Introduciamo il potenziale scalare A0 e il potenziale vettore e A tali che:
E  A 0 
1 A
c t
B  A
(1)
(2)
Essi non sono univocamente determinati dalle relazioni (1) e (2).
In termini di questi due potenziali, la II e la III equazione di Maxwell sono
identicamente verificate, in quanto:
1 B
E
c t





1  A  1 

    A 0 

A 

 c t 
c

t

B
E
1
A 1 
    A 0   

  A  0 perchè il rotore di un gradiente è nullo
c
t c t


  B      A  0 perchè la divergenza di un rotore è nulla
In termini di questi due potenziali, la I e la IV equazione di Maxwell diventano:
E  0



2
1  A 
1  A
     A 0 
  A 0 
0


c

t
c

t

(3)
E
B


1 E
1  
1  A 
0  


A 
A 0 

c t
c t 
c t 
B

E


2
  A  A 
1  
1  A 
A 0 
0
c t 
c t 
(4)
Il potenziale vettore e il potenziale scalare sono definiti a meno di trasformazioni
dette di gauge, che lasciano invariati i campi elettrico e magnetico E e B:

ψ
t

 A'  A - ψ
A 0  A '0  A 0 
A
dove y è una funzione scalare.
Sfruttiamo il grado di libertà su A0 e A per imporre che sia (gauge di Lorentz):
1 A 0
 A  0
c t
 A  
1 A 0
c t
(5)
E in tal modo le equazioni (3) e (4) diventano equazioni delle onde per A0 e A:
E  0
1 E
B
0
c t


2
1  A
1  2A0
   A0 
  A 0  2
0
2
c t
c t
2



1 A 0 1  2 A
 A  A  
 2

c
t
c t 2
2
2
2
1 A 0 1  2 A
1 2 A
 1 A 0 
  
 2
  A  2
0
 A 
2
2
c

t
c

t
c

t
c

t


Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
Possiamo ora esprimere le equazioni di Maxwell in una forma relativisticamente
covariante. Il potenziale scalare e il potenziale vettore sono considerabili come
le componenti temporale e spaziale di un unico quadrivettore, così definito:



μ
A (t, r)  (A 0 (r), A(t, r))
Introduciamo il concetto di tensore Tmn a due indici: esso è definito come una
matrice i cui elementi si trasformano così, sotto una trasformazione di Lorentz:
T
μν
:
ν
T '    σ T ρσ
μν
μ
ρ
μ, ν  0, 1, 2, 3
N.B. La ripetizione di un indice sottintende una somma su tutti i possibili indici.
Es.
3
A Bμ   A μ Bμ  A 0 B0  A 1 B1  A 2 B2  A 3 B3
μ
μ 0
ν
 σ T
μ
ρ
ρσ
3
3
    σ T
ρ 0 σ 0
ν
 0
3
μ
ρ
 T
ρ 0
μ
ρ
ν
ρ0
ρσ

3

  μρ  0 T ρ0   1T ρ1   2 T ρ2   3 T ρ3 
ρ 0
3
ν
ν
 1   T   2
ν
ρ 0
μ
ρ
ρ1
ν
3
ν
 T
ρ 0
μ
ρ
ρ2
ν
ν
 3
3
 T
ρ 0
μ
ρ
ρ3
Pertanto gli indici che sono ripetuti, cioè sommati, non appaiono nel risultato
finale dell’operazione; tali indici si dicono contratti; quelli non ripetuti compaiono
nel risultato finale e sono detti indici liberi.
Definiamo il tensore del campo e.m. Fmn :
F μν   μ A ν   ν A μ
In componenti ciò significa:
μ  0, ν  0
(6)
F 00   0 A 0   0 A 0  0
identicame nte nullo
1  i

μ  0, ν  i (i  1,2,3) F 0i   0 A i   i A 0 
A  i A0 
c t
x
1 
 0
per i  1 F 01 
Ax 
A   Ex
c t
x
1 
 0
per i  2 F 02 
Ay 
A   Ey
c t
y
1 

per i  3 F 03 
A z  A 0   Ez
c t
z
 i 1  0
A 
A  F10  E x F 20  E y
i
x
c t


μ  i, ν  j F ij   i A j   j A i   i A j  j A i  (   A ) ij  ε ijk B k
x
x
μ  i, ν  0
F i0   i A 0   0 A i  
F 30  E z
Analogamente per il tensore con gli indici in basso:
Fμν   μ A ν   ν A μ
F00   0 A 0   0 A 0  0
identicame nte nullo
1 

1 

Ai  i A0  
A x, y, z  i A 0  E x, y, z
c t
x
c t
x
F02  E y
F03  E z
F0i   0 A i   i A 0 
 F01  E x
Fi0   i A 0   0 A i 
 Fi0  - E x

1 

1 
A

A

A

A x, y, z
0
i
0
x i
c t
x i
c t
F02  - E y
F03  - E z
i  1, 2, 3
 0

 Ex
μν
F 
Ey

E
 z
 0

  Ex
Fμν  
 Ey

 E
z

 Ex
 Ey
0
Bz
 By
 Bz
0
Bx
Ex
Ey
0
 Bz
By
Bz
0
 Bx
 Ez 

By 
 Bx 

0 
Ez 

 By 
Bx 

0 
La I e la IV equazione di Maxwell possono essere riassunte in forma
relativisticamente covariante nel modo seguente:
 μ Fμν  0
(7)
Infatti la (7) in componenti significa:
ν0
 μ Fμ 0  0 


 0 F 00   1 F10   2 F 20   3 F 30  0



Ex 
Ey 
Ez  0
x
y
z
 
E  0
I eq. Maxwell senza sorgenti
ν  i (i  1,2,3)  μ F μ i  0 
 0 F 0i   1 F1i   2 F 2i   3 F 3i  0
1  0i  1i  2i 
F 
F 
F   3 F 3i  0
c t
x
y
z

Es.
ν 1
 F 01  - E x
F11  0
F 21  - ε 213 B z  Bz
1
c
1
 c
 -
F 31  - ε 312 B y  - B y



Ex 
Bz 
By  0
t
y
z
 

Ex    B x  0
IV eq. Maxwell
t
(component e x)


Definiamo ora Fmn , il tensore duale del campo :
F μν 
εμ ν α β
1 μναβ αβ
ε
F
2
 0 se due indici sono uguali
ε μ ν α β   1 per permutazio ni pari o dispari dei quattro indici 0,1,2,3
 0

 Bx
μν
F 
B
 y
B
 z
 Bx
 By
0
 Ez
Ey
Ez
0
 Ex
 Bz 

 Ey 
Ex 

0 
La II e la III eq. di Maxwell possono essere ricavate dall’eq.:
 μF  0
μν
Formulazione covariante delle equazioni di
Maxwell in presenza di sorgenti
In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell si trasformano cosi:
1 B
c t
1)   E  4πρ
3)   E  
2)   B  0
4π
1 E
4)   B 
j
c
c t
Definiamo la quadricorrente jm
jμ (x)  (cρ, j)
In tal modo le equazioni di Maxwell assumono la forma relativisticamente
covariante (N.B. si dice covariante un’equazione la cui dipendenza dalle
variabili non cambia per effetto delle trasformazioni di Lorentz) :
μF
μν
4π ν

j
c
FORMULAZIONE TENSORIALE DELL’ EQUAZIONE DI CONTINUITÀ
In termini della quadricorrente, l’equazione di continuità dell’elettromagnetismo:

ρ
  j  0
t
può essere così riespressa:
 μ jμ 0
Anche la condizione che definisce il gauge di Lorentz:
1 A 0
 A  0
c t
può essere così riformulata:
 μ Aμ 0