Lezione 5
• Equazioni di Maxwell nel vuoto e in presenza
di sorgenti.
• Formulazione covariante delle equazioni di
Maxwell.
Equazioni di Maxwell nel vuoto
Le equazioni di Maxwell scritte in termini dei campi E e B descrivono il campo
elettrico e magnetico nel vuoto o in presenza di sorgenti in modo non
relativisticamente covariante. Nel vuoto, adoperando il sistema di Gauss, le
equazioni assumono la forma seguente:
1) E
0
2) B
0
1 B
3) E
c t
1 E
4) B
c t
Introduciamo il potenziale scalare A0 e il potenziale vettore e A tali che:
E A 0
1 A
c t
B A
(1)
(2)
Essi non sono univocamente determinati dalle relazioni (1) e (2).
In termini di questi due potenziali, la II e la III equazione di Maxwell sono
identicamente verificate, in quanto:
1 B
E
c t
1 A 1
A 0
A
c t
c
t
B
E
1
A 1
A 0
A 0 perchè il rotore di un gradiente è nullo
c
t c t
B A 0 perchè la divergenza di un rotore è nulla
In termini di questi due potenziali, la I e la IV equazione di Maxwell diventano:
E 0
2
1 A
1 A
A 0
A 0
0
c
t
c
t
(3)
E
B
1 E
1
1 A
0
A
A 0
c t
c t
c t
B
E
2
A A
1
1 A
A 0
0
c t
c t
(4)
Il potenziale vettore e il potenziale scalare sono definiti a meno di trasformazioni
dette di gauge, che lasciano invariati i campi elettrico e magnetico E e B:
ψ
t
A' A - ψ
A 0 A '0 A 0
A
dove y è una funzione scalare.
Sfruttiamo il grado di libertà su A0 e A per imporre che sia (gauge di Lorentz):
1 A 0
A 0
c t
A
1 A 0
c t
(5)
E in tal modo le equazioni (3) e (4) diventano equazioni delle onde per A0 e A:
E 0
1 E
B
0
c t
2
1 A
1 2A0
A0
A 0 2
0
2
c t
c t
2
1 A 0 1 2 A
A A
2
c
t
c t 2
2
2
2
1 A 0 1 2 A
1 2 A
1 A 0
2
A 2
0
A
2
2
c
t
c
t
c
t
c
t
Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell
Possiamo ora esprimere le equazioni di Maxwell in una forma relativisticamente
covariante. Il potenziale scalare e il potenziale vettore sono considerabili come
le componenti temporale e spaziale di un unico quadrivettore, così definito:
μ
A (t, r) (A 0 (r), A(t, r))
Introduciamo il concetto di tensore Tmn a due indici: esso è definito come una
matrice i cui elementi si trasformano così, sotto una trasformazione di Lorentz:
T
μν
:
ν
T ' σ T ρσ
μν
μ
ρ
μ, ν 0, 1, 2, 3
N.B. La ripetizione di un indice sottintende una somma su tutti i possibili indici.
Es.
3
A Bμ A μ Bμ A 0 B0 A 1 B1 A 2 B2 A 3 B3
μ
μ 0
ν
σ T
μ
ρ
ρσ
3
3
σ T
ρ 0 σ 0
ν
0
3
μ
ρ
T
ρ 0
μ
ρ
ν
ρ0
ρσ
3
μρ 0 T ρ0 1T ρ1 2 T ρ2 3 T ρ3
ρ 0
3
ν
ν
1 T 2
ν
ρ 0
μ
ρ
ρ1
ν
3
ν
T
ρ 0
μ
ρ
ρ2
ν
ν
3
3
T
ρ 0
μ
ρ
ρ3
Pertanto gli indici che sono ripetuti, cioè sommati, non appaiono nel risultato
finale dell’operazione; tali indici si dicono contratti; quelli non ripetuti compaiono
nel risultato finale e sono detti indici liberi.
Definiamo il tensore del campo e.m. Fmn :
F μν μ A ν ν A μ
In componenti ciò significa:
μ 0, ν 0
(6)
F 00 0 A 0 0 A 0 0
identicame nte nullo
1 i
μ 0, ν i (i 1,2,3) F 0i 0 A i i A 0
A i A0
c t
x
1
0
per i 1 F 01
Ax
A Ex
c t
x
1
0
per i 2 F 02
Ay
A Ey
c t
y
1
per i 3 F 03
A z A 0 Ez
c t
z
i 1 0
A
A F10 E x F 20 E y
i
x
c t
μ i, ν j F ij i A j j A i i A j j A i ( A ) ij ε ijk B k
x
x
μ i, ν 0
F i0 i A 0 0 A i
F 30 E z
Analogamente per il tensore con gli indici in basso:
Fμν μ A ν ν A μ
F00 0 A 0 0 A 0 0
identicame nte nullo
1
1
Ai i A0
A x, y, z i A 0 E x, y, z
c t
x
c t
x
F02 E y
F03 E z
F0i 0 A i i A 0
F01 E x
Fi0 i A 0 0 A i
Fi0 - E x
1
1
A
A
A
A x, y, z
0
i
0
x i
c t
x i
c t
F02 - E y
F03 - E z
i 1, 2, 3
0
Ex
μν
F
Ey
E
z
0
Ex
Fμν
Ey
E
z
Ex
Ey
0
Bz
By
Bz
0
Bx
Ex
Ey
0
Bz
By
Bz
0
Bx
Ez
By
Bx
0
Ez
By
Bx
0
La I e la IV equazione di Maxwell possono essere riassunte in forma
relativisticamente covariante nel modo seguente:
μ Fμν 0
(7)
Infatti la (7) in componenti significa:
ν0
μ Fμ 0 0
0 F 00 1 F10 2 F 20 3 F 30 0
Ex
Ey
Ez 0
x
y
z
E 0
I eq. Maxwell senza sorgenti
ν i (i 1,2,3) μ F μ i 0
0 F 0i 1 F1i 2 F 2i 3 F 3i 0
1 0i 1i 2i
F
F
F 3 F 3i 0
c t
x
y
z
Es.
ν 1
F 01 - E x
F11 0
F 21 - ε 213 B z Bz
1
c
1
c
-
F 31 - ε 312 B y - B y
Ex
Bz
By 0
t
y
z
Ex B x 0
IV eq. Maxwell
t
(component e x)
Definiamo ora Fmn , il tensore duale del campo :
F μν
εμ ν α β
1 μναβ αβ
ε
F
2
0 se due indici sono uguali
ε μ ν α β 1 per permutazio ni pari o dispari dei quattro indici 0,1,2,3
0
Bx
μν
F
B
y
B
z
Bx
By
0
Ez
Ey
Ez
0
Ex
Bz
Ey
Ex
0
La II e la III eq. di Maxwell possono essere ricavate dall’eq.:
μF 0
μν
Formulazione covariante delle equazioni di
Maxwell in presenza di sorgenti
In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell si trasformano cosi:
1 B
c t
1) E 4πρ
3) E
2) B 0
4π
1 E
4) B
j
c
c t
Definiamo la quadricorrente jm
jμ (x) (cρ, j)
In tal modo le equazioni di Maxwell assumono la forma relativisticamente
covariante (N.B. si dice covariante un’equazione la cui dipendenza dalle
variabili non cambia per effetto delle trasformazioni di Lorentz) :
μF
μν
4π ν
j
c
FORMULAZIONE TENSORIALE DELL’ EQUAZIONE DI CONTINUITÀ
In termini della quadricorrente, l’equazione di continuità dell’elettromagnetismo:
ρ
j 0
t
può essere così riespressa:
μ jμ 0
Anche la condizione che definisce il gauge di Lorentz:
1 A 0
A 0
c t
può essere così riformulata:
μ Aμ 0
