valore atteso - Docenti.unina

Università degli Studi di Napoli “Federico II”
Corso di studi CLEA
Anno accademico 2012/13
Rischio e informazione
Ornella Wanda Maietta
[email protected]
Sommario
1. Gli eventi rischiosi
• Lotterie e probabilità
• Il valore atteso
• La varianza
2. La valutazione degli eventi rischiosi
3. Sopportare ed eliminare il rischio
4. Le aste
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Strumenti per descrivere gli eventi rischiosi
Una lotteria è un qualunque evento il cui esito
è incerto.
Esempi:
calcio.
Investimento, Roulette, Partita di
La probabilità di un particolare esito (di una
lotteria) è una misura della possibilità che
questo esito si realizzi.
Esempio: La probabilità viene spesso stimata
considerando la frequenza storica dell’esito.
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Distribuzioni di probabilità
La distribuzione di probabilità di una lotteria
rappresenta tutti i suoi possibili risultati e le
probabilità a essi associate.
Proprietà:
• la probabilità di ogni esito possibile è compresa
tra 0 e 1;
• la somma delle probabilità di tutti i possibili esiti
è uguale a 1.
Le probabilità che riflettono convinzioni
soggettive su eventi rischiosi vengono chiamate
probabilità soggettive.
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Distribuzioni di probabilità
Probabilità
1
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0
C
80
B
100
A
120
Payoff (€)
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Il valore atteso
Il valore atteso è una misura del payoff
medio generato da una lotteria.
EV = Pr(A) • A + Pr(B) • B + Pr(C) • C
Dove: Pr(.) è la probabilità di (.) e A,B, e
C sono i payoff se A, B o C si realizza.
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Il valore atteso
Nel nostro esempio di lotteria il valore atteso è:
EV =(0,30 • 120) + (0,40 • 100) + (0,30 • 80) =
€100
Si noti che il valore atteso non è
necessariamente uno degli esiti della lotteria.
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Distribuzioni di probabilità, rischiosità e varianze
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La varianza
La varianza di una lotteria è la somma dei quadrati degli
scostamenti dei possibili esiti della lotteria, ponderati per
le rispettive probabilità.
Essa è una misura della
rischiosità di una lotteria.
Var = (A - EV)2 • Pr(A) + (B - EV)2 • Pr(B) + (C - EV)2 •
Pr(C)
Definizione: La deviazione standard di una lotteria è la
radice quadrata della varianza. E’ una misura alternativa
della rischiosità.
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La varianza
Per il nostro esempio di lotteria
Lo scostamento al quadrato dell’esito A è:
(120 - 100)2 = 400
Lo scostamento al quadrato dell’esito B è:
(100 - 100)2 = 0
Lo scostamento al quadrato dell’esito C è:
(80 - 100)2 = 400
La varianza è:
(400 x 0,30) + (0 x 0,40) + (400 x 0,30) =
= 120 + 0 + 120 = 240
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Preferenze
Utilità come funzione del reddito annuale
Utilità marginale decrescente
Le preferenze possono essere classificate come segue:
Un individuo che preferisce un evento certo a una lotteria con
uguale valore atteso è avverso al rischio
Un individuo che è indifferente tra qualcosa di certo e una lotteria
con lo stesso valore atteso è neutrale al rischio
Un individuo che preferisce una lotteria a una cosa certa di valore
uguale al valore atteso della lotteria è amante del rischio (o
propenso al rischio)
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La valutazione degli eventi rischiosi
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Funzione di utilità e utilità attesa
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Valore del premio associato al rischio
utilità attesa
profitto sicuro
Funzioni di utilità: neutrale al rischio
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Funzioni di utilità: amante del rischio
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Il calcolo dell’utilità attesa
Si supponga che due agenti stiano considerando di investire
in due tipi di azioni: le azioni di un’impresa che opera su
Internet e quelle di un’impresa di pubblica utilità. I valori
che le azioni possono assumere (e, quindi, il reddito, I) e le
relative probabilità sono:
Impresa Internet
I
Probabilità
€80
0,3
€100
0,4
€120
0,3
Pubblica utilità
I
Probabilità
€80
0,1
€100
0,8
€120
0,1
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Il calcolo dell’utilità attesa
Dei due agenti, uno è neutrale al rischio e ha una
funzione di utilità U(I) = 100I, mentre l’altro è amante del
rischio e ha una funzione di utilità U(I) = 100I2
Quale lotteria (azioni) preferirà l’agente neutrale al
rischio?
Utilità attesa dell’investimento in azioni dell’impresa
Internet:
0,30(8000) + 0,40(10000) + 0,30 (12000) = 10000
Utilità attesa dell’investimento in azioni dell’impresa di
pubblica utilità:
0,10(8000) + 0,80(10000) + 0,10 (12000) = 10000
Dato che i due investimenti hanno la medesima utilità
attesa, l’agente neutrale al rischio è indifferente tra i due.
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Il calcolo dell’utilità attesa
Quale lotteria (azioni) preferirà l’agente amante
del rischio?
Utilità
attesa
dell’investimento
in
dell’impresa Internet:
0,30(100)(802) + 0,40(100)(1002) + 0,30
(100)(1202) = 1024000
azioni
Utilità
attesa
dell’investimento
in
dell’impresa di pubblica utilità:
0,10(100)(802) + 0,80(100)(1002) + 0,10
(100)(1202) = 1008000
azioni
L’agente amante del rischio preferirà investire in
azioni dell’impresa Internet, in quanto l’utilità
attesa è maggiore.
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La domanda di assicurazione
Lotteria:
€50,000 se non si hanno incidenti (p = 0,95)
€40,000 se si hanno incidenti (1- p = 0,05)
EV = 0,95(€50000)+0,05(€40000) = €49500
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La domanda di assicurazione
Assicurazione:
Copertura = €10,000
Premio = €500
Perchè?
Se non si hanno incidenti, si ottiene 50000 500 = €49500
Se si hanno incidenti, si ottiene 50000 –
500 – 10000 + 10000 = €49500
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La domanda di assicurazione
Se si è avversi al rischio, si preferisce
l’assicurazione.
Una polizza assicurativa equa è una
polizza nella quale il premio è uguale al
valore atteso del pagamento promesso,
cioè:
500 =0,05(10000) +0,95(0)
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Azzardo morale
Perche le polizze assicurative prevedono le franchigie?
L’azzardo morale è un fenomeno
per il quale una parte assicurata
esercita minore cura rispetto a
quanto farebbe in assenza di
copertura assicurativa
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Selezione avversa
La selezione avversa è un
fenomeno per il quale un aumento
del premio assicurativo aumenta la
rischiosità complessiva dell’insieme di
individui che acquistano la polizza
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Il ruolo dell’informazione asimmetrica
La selezione avversa e l’azzardo morale possono riguardare altri
mercati.
La selezione avversa è una forma di opportunismo pre-contrattuale:
il possesso di maggiori informazioni da parte di uno dei due lati
del mercato può spingere la parte meno informata a non
chiudere la transazione anche quando sarebbe vantaggiosa.
Esempi: Mercato delle auto usate, Mercato del lavoro
L’azzardo morale è una forma di opportunismo post-contrattuale:
una volta stipulato il contratto, gli individui hanno minori
incentivi a eseguire certe azioni, il tutto a spese della
controparte. In genere, l’azzardo morale è presente nell’ambito
dei cosiddetti contratti di agenzia, nei quali un agente svolge
azioni su incarico del principale.
Esempio: Mercato del lavoro
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Aste
Asta inglese
I partecipanti dichiarano le proprie offerte fin quando non resta un
giocatore con l’offerta più alta che si aggiudica l’oggetto
Asta in busta chiusa al primo prezzo
Ogni partecipante dichiara un’offerta senza conoscere quella degli
altri. Chi ha fatto l’offerta maggiore si aggiudica il bene e paga un
prezzo uguale alla sua offerta
Asta in busta chiusa al secondo prezzo
Ogni partecipante dichiara un’offerta senza conoscere quella degli
altri. Chi ha fatto l’offerta maggiore si aggiudica il bene e paga un
prezzo uguale alla seconda offerta più alta
Asta olandese discendente
Il venditore annuncia un prezzo che viene poi ridotto finché un
acquirente si dichiara disposto a comprare a quel prezzo
Valori privati e valori comuni
Valori privati
Ogni offerente ha
dell’oggetto in asta
una
valutazione
personale
Valori comuni
Un bene posto all’asta ha lo stesso valore intrinseco
per tutti gli acquirenti ma nessuno di essi lo conoce
perfettamente
Asta in busta chiusa al primo prezzo con valori privati
Asta in busta chiusa al primo prezzo con valori privati
Altre aste con valori privati
Asta inglese
La strategia dominante è continuare a rilanciare pagando
poco più dell’offerente con la seconda valutazione più alta
Asta chiusa al secondo prezzo
La strategia dominante è fare un’offerta pari alla propria
massima diponibilità a pagare
Teorema dell’equilavenza dei redditi
Quando i partecipanti ad un’asta hanno valori privati, una
qualunque tipologia di asta genera, in media, lo stesso
ricavo totale per il venditore
Altre con valori comuni
Maledizione del vincitore
Fenomeno per il quale il vincitore di
un’asta a valori comuni potrebbe aver
dichiarato un’offerta superiore al valore
intrinseco dell’oggetto