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Didasfera - Ambiente didattico digitale
Calcolare o pensare?
Mappa dell'Unità
Piccolo popolo – Parliamo dell’algebra.
-Che non è propriamente una cosa filosofica...
-Chi lo sa... quali sono i confini della filosofia? Io credo che essi abbraccino tutto il pensiero.
-Cioè, il filosofo è un tuttologo?
-Probabilmente è uno attrezzato a riflettere su tutto. L’ha detto Ermetis: un filosofo non deve essere anche un medico,
ma deve saper valutare se un medico ragiona correttamente.
-Io ho sempre creduto che i filosofi fossero degli insegnanti di storia della filosofia.
-Conoscere la storia della filosofia non è la stessa cosa che essere filosofi.
discutetene
Ermetis – Guardate che non è diverso da quanto dicevo prima: riflettere su qualcosa non è la stessa cosa che “farla”. Io
posso riflettere sul suicidio senza arrivare a suicidarmi.
Piccolo popolo – Ma noi non siamo competenti a riflettere sull’algebra... parlo per me, naturalmente.
Ermetis – Vedremo. Provate a rispondere a questa domanda: che differenza c’è tra “(se) 3-2=1 (allora) 3=2+1” e “(se)
A-B=C (allora) A=B+C”?
Piccolo popolo – Hai sostituito le lettere ai numeri.
Ermetis – Con quale conseguenza?
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Piccolo popolo – Che le lettere valgono per qualsiasi numero... l’avevamo già detto.
-Ma a cosa serve?
-Ancora ‘sta ossessione che la matematica debba servire a qualcosa!
-Non voglio dire: che “cosa ci faccio”, ma “che bisogno c’è di farlo”!?
-È evidente: qui è in gioco una proprietà dei numeri. Se voglio verificare quella proprietà per tutti i numeri, non finirò mai,
dovrò ripetere il calcolo infinite volte. Non saprò cioè, senza provare, se quella proprietà vale anche per “20.416,
90,853.000”. Le lettere, invece, esprimono una proprietà generale.
-In effetti, per “20.416, 90,853.000” non vale.
-Che cosa c’è di sbagliato?
-Che bisognerebbe scrivere: “20.416, 90 e x”, ovvero: “(se) 20.416-90 = X (allora) 20.416=90+x”.
-Quindi ancora una lettera...
-Non ci capisco più niente.
Ermetis – Il problema è: che cosa state facendo in questo momento: delle operazioni, o una riflessione sulle
operazioni?
Piccolo popolo – Stiamo cercando una formula...
-Non si chiamano così. Stiamo cercando di enunciare un teorema.
-Ah...
-Mi sembra che stiamo facendo della teoria.
-Una teoria sulla matematica... o di matematica?
Ermetis – Un teorema matematico, indubbiamente, ma che ci costringe a riflettere sulla matematica. E questa è filosofia.
Piccolo popolo – Ma non si chiama “logica”?
-La logica è una branca della filosofia. Non l’hai ancora capito!?
-Ancora oggi? Non avevamo detto che la logica aristotelica non funziona?
Ermetis – Non esiste solo la logica aristotelica. Questa disciplina ha fatto passi da gigante, ed è un mondo tutto
particolare, pieno di sorprese e anche di contraddizioni. Senza la logica non esisterebbero i computer.
Piccolo popolo - Lasciamo stare... che cosa c’entra tutto questo con gli Arabi?
Ermetis – Torniamo all’algebra. Che cos’è, in fondo, se non un modo per ragionare sui numeri? Lo scopo dell’algebra è
capire come si può risolvere un’equazione, non risolverla.
Piccolo popolo – Ma manipolare lettere non è come manipolare numeri.
Ermetis – Dipende... in tutti e due i casi, noi stiamo calcolando.
Piccolo popolo - ???
Ermetis – Seguitemi. La parola “calcolo” deriva dal latino “calculus”, che vuole “pietruzza”...
Piccolo popolo – Come i calcoli renali! In effetti, sono delle pietruzze...
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©
Gregor Reisch: Madame Arithmatica, 1508
Ermetis – Precisamente. Ma perché “calcolo” è stato associato alla matematica? Perché nell’antichità greco-romana, le
operazioni matematiche venivano fatte con l’abaco, che era una tavoletta sulla quale scorrevano delle pietruzze che
“stavano al posto” dei numeri. Ora, una certa disposizione di quei “calcoli” (nel senso di pietruzze) dava un certo
numero; cambiando la disposizione secondo un certo criterio, che chiameremo operazionale, venivano fuori altri numeri,
ovvero i risultati delle operazioni (che si riducevano alle quattro operazione aritmetiche). In fondo il calcolo è questo: un
modo di combinare tra di loro i numeri, o le pietruzze. Ma per farlo, occorrono delle regole, cioè: non posso spostare le
pietruzze (i numeri) a casaccio.
Per essere più precisi, occorrerà che ritorniamo un momento ai concetti di assioma e teorema.
In matematica, la parola teorema ha due significati. Nel caso a) è un teorema un enunciato nel linguaggio comune (in
greco o portoghese) che dimostro con l’applicazione del metodo deduttivo. Per esempio:
In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati
costruiti sui due cateti.
La dimostrazione può anche essere argomentata con parole, come avete potuto verificare nei dialoghi di Platone.
E poi abbiamo il caso b), quello cioè in cui un teorema è “semplicemente” (ma tanto semplice non è) una serie di simboli
messi in fila uno dopo l’altro (i logici la chiamano stringa), come nell’esempio precedente, sulla proprietà transitiva dei
numeri. Volete un altro esempio?:
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Questo è un full nel gioco del Poker. Ma è anche un teorema di un particolare sistema di segni, quello delle carte da
Poker.
Che differenza c’è tra il caso a) e il caso b)? a) lo dobbiamo dimostrare, b) è sufficiente produrlo, come fa una
calcolatrice. Non penserete mica che la calcolatrice sia in grado di “dimostrare” qualche cosa!? Essa semplicemente
combina dei simboli, che siano numeri o lettere.
Ora, non tutte le combinazioni di un particolare sistema di simboli sono “giuste” (i logici dicono: sono vere). Alcune lo
sono, altre no. Ma in base a che cosa lo decido? In base agli assiomi e alle regole. Ma gli assiomi di un sistema di
simboli di tipo formale, cioè non legato al linguaggio comune, non sono a loro volta degli enunciati formati da parole, ma
sempre e solo delle stringhe di simboli, che io decido di assumere come assiomi. Nel gioco del Poker, gli assiomi sono
sicuramente quelli del valore delle carte (l’asso vale più di tutte le altre, i cuori più dei fiori, e così via). Poi ci sono le
regole: si gioca con 5 carte in mano, si possono scartare fino a 4 carte per volta, vince chi ha il punteggio più alto (in
relazione al valore attribuito alle carte). Combinando gli assiomi con le regole, io produco i teoremi del gioco: poker (4
carte uguali più una), il full (3 carte uguali + 2 carte uguali), il tris (3 carte uguali + 2), e così via. In pratica, come
facevano gli antichi greci, io calcolo la mia mano di Poker muovendo delle carte per ottenere certe combinazioni e non
altre. Se non fosse così, non potreste giocare a Poker o addirittura a scacchi col vostro computer. Il quale non pensa,
ma calcola.
Piccolo popolo – Non bisogna essere intelligenti, per calcolare?!
-Le scimmie sanno risolvere certi semplici test d’ intelligenza...
-Questo caso mai significa che anche le scimmie sono intelligenti.
-Fino a un certo punto.
-Allora, se ragioni così, il computer è super intelligente.
-No... il computer è solo più veloce di qualunque essere vivente. Ma non credo che sia “intelligente”.
-Perché allora si parla di intelligenza artificiale?
-Perché è solo una simulazione della nostra intelligenza.
-Già, ma che cos’è l’intelligenza?
discutetene
È facile
Sai che quando provi a risolvere un problema algebrico o quando giochi a poker, stai facendo il filosofo?
Provo a spiegare.
Quando leggi un problema e devi stabilire quale sarà l’incognita, quale sarà il numero da associarle… Stai riflettendo
sull’algebra. Pensi a come ordinare lettere e numeri, al significato che devono assumere…
Ma su cosa basi i tuoi pensieri? Sui teoremi che hai studiato.
I teoremi sono combinazioni di assiomi e regole. Gli assiomi sono enunciati non dimostrabili. Le regole servono per
dare un ordine. Facciamo un esempio:
Nel poker il valore delle carte è un assioma,
il numero di giocatori è una regola,
il full (5 carte di cui tre uguali e altre due accoppiate) è un teorema.
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Questo teorema è frutto di un calcolo. Perciò quando giochi a carte calcoli.
nota di copyright: immagine di pubblico dominio Continuate voi la discussione. Che cos’è un filosofo? È solo qualcuno
che sa qualcosa? E che cosa sa, un filosofo? Continuate voi la discussione…
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Maurizio Châtel
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Erica Pellizzoni
Editore: BBN
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