5. Le strette di mano
Attività 1: le strette di mano
Un gruppo di 20 ex-compagni di classe si ritrova al
ristorante dopo 25 anni dall’esame di maturità.
Alberto e Bettina sono i primi ad arrivare e si
salutano con una calorosa stretta di mano. Arriva
Carlo che stringe la mano ad entrambi e Daria a tutti
e tre. L’ultimo ad arrivare, come ai tempi della
scuola, è Willy. Se ognuno di loro stringe la mano a ciascun amico, quante saranno in totale le
strette di mano?
1. Fai la prova con alcuni tuoi compagni e
riporta i dati nella tabella accanto.
N° ragazzi
n
numero di strette
di mano totali
M (n)
Comincia con un compagno (siete in due)
Ora siete in tre a darvi la mano……
Siete in quattro……
……e così via.
2
1
3
4
5
6
…
2. Riesci a vedere una strategia risolutiva? Prova a spiegarla:
3. Osserva bene le due colonne della tabella e prova a fare una congettura: se passi da un
numero n di compagni al successivo ( n + 1 ), di quanto aumenta il numero delle strette di mano
totali?..........................
Prova a dedurre da ciò una formula generale che ti dica come ricavare ricorsivamente il
numero di strette di mano totali:
M (n + 1) = ..........
4. Cerca ora di ricavare una formula che ti dia il numero di strette di mano M (20) che si
scambiano i 20 amici, ragionando così:
Uno dei 20 amici va via prima degli altri e saluta tutti. Quante mani deve stringere?..........
Poco dopo, se ne va un altro, dopo aver salutato i rimanenti. Quante strette di mano?.......
Il terzo amico che se ne va, stringerà……. mani.
Gli amici continuano ad andarsene uno alla volta…..
Sommando le strette di mano date ad ogni passo, si ottiene il totale delle strette di mano tra 20
amici che è:...………………………………………………………………………………………………
Allora una formula per calcolare il numero di strette di mano M (n) che si scambiano n
persone è:…………………………………………………………………………………………………
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Attività 2: le diagonali di un poligono
Affrontiamo ora un altro problema, che forse avrai già incontrato alle scuole medie: quante
diagonali ci sono in un poligono convesso? Completa la seguente tabella, disegnando tutte le
diagonali dei seguenti poligoni e calcola:
N° lati del
poligono
Poligono
n
N° diagonali
d
Che legame vedi tra questo problema ed il precedente?
Utilizzando la formula che risolve il problema delle strette di mano, prova a scrivere la formula che
esprime il numero di diagonali d di un poligono convesso in funzione del numero di lati n del
poligono:
23
PER IL DOCENTE
Le strette di mano
Classe consigliata: 1^ o 2^
Strumenti: nessuno
PREREQUISITI
•
•
Formula per la somma dei primi n numeri naturali (vedi la scheda “Gauss e i numeri
triangolari”)
Elementi di calcolo letterale
OBIETTIVO DELL’ATTIVITA’
•
•
•
•
Esplicitare una strategia risolutiva del problema delle strette di mano
Esprimere e verificare una congettura
Riconoscere una situazione ricorsiva (vedi la scheda “La torre di Hanoi”)
Trovare il numero di diagonali di un poligono convesso
CONCETTI SOGGIACENTI (eventualmente sviluppabili)
Attività 1: le strette di mano
1. Fai la prova con alcuni tuoi compagni e
riporta i dati nella tabella accanto.
N° compagni
n
numero di strette
di mano totali
M (n)
Comincia con un compagno (siete in due)
Ora siete in tre a darvi la mano
Siete in quattro……
……E così via.
2
3
4
5
6
…
20
1
3
6
10
15
190
2. Una strategia risolutiva può essere la seguente:
Ogni numero di strette di mano totali è la somma dei due numeri della riga precedente:
N° compagni
n
numero di strette
di mano totali
M (n)
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
2+1=3
3+3=6
4+6=10
5+10=15
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Spieghiamo: supponiamo di avere n compagni e servono M (n) strette di mano. Se si aggiunge
un compagno ( n + 1 compagni in tutto), le strette di mano necessarie sono tutte le precedenti
M (n) , più le strette di mano del nuovo compagno con gli n compagni già presenti, cioè M (n) + n
3. Se si passa da un numero n di compagni al successivo ( n + 1 ), il numero delle strette di mano
totali aumenta di n .
Quindi una formula generale che dica come ricavare ricorsivamente il numero di strette di
mano totali è:
M (2) = 1
M (n + 1) = M (n) + n
Se gli studenti non hanno ancora affrontato il concetto della ricorsione, lo si può introdurre ora,
eventualmente consultando anche la scheda “La torre di Hanoi”, in cui viene presentato questo
argomento.
4. La formula che dà il numero di strette di mano M (n) che si scambiano n persone è:
M (n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) , cioè è pari alla somma dei primi n − 1 numeri naturali, quindi:
M ( n) =
(n − 1) ⋅ n
2
(visto che la somma dei primi n numeri è
n ⋅ (n + 1)
)
2
Si può ragionare così:
Uno dei 20 amici va via prima degli altri e saluta tutti. Quante mani deve stringere? 19
Successivamente, se ne va un altro, dopo aver salutato i rimanenti. Quante strette di mano? 18
Il terzo amico che se ne va, stringerà 17 mani.
Gli amici continuano ad andarsene uno alla volta…..
Sommando le strette di mano date ad ogni passo, si ottiene il totale delle strette che è:
M (20) = 19 + 18 + 17 + ... + 2 + 1
Allora una formula per calcolare il numero di strette di mano M(n) che si scambiano n persone è:
M (n) = (n − 1) + (n − 2) + ... + 2 + 1
Attività 2: le diagonali di un poligono
Analizzando il problema delle diagonali, lo studente dovrebbe individuare la seguente analogia: i
vertici del poligono possono rappresentare le persone che si stringono la mano; le strette di mano
totali sono rappresentate dalla somma tra il numero delle diagonali d ed il numero dei lati n del
poligono. Allora
(n − 1) ⋅ n
n 2 − n − 2n n ⋅ (n − 3)
(n − 1) ⋅ n
= d + n . Perciò d =
−n =
=
2
2
2
2
25
