Integrali impropri
1.1 Introduzione
Abbiamo introdotto il concetto di integrale considerando funzioni continue (o continue a tratti) in
un intervallo limitato. Questa restrizione viene ora rimossa considerando dapprima funzioni definite
e continue su un intervallo non limitato, in particolare su una semiretta. In seguito introduciamo il
concetto di integrale per funzioni definite su un intervallo limitato, ma non limitate in tale
intervallo.
L’integrale che definiamo, detto improprio o generalizzato, ha numerose e importanti applicazioni
nella matematica: basti per tutte citare il fatto che sia la trasformata di Fourier che quella di Laplace,
strumenti fondamentali per lo studio dei segnali e dei circuiti elettrici, sono definite appunto da
integrali impropri.
1.2 Definizioni e primi esempi
Consideriamo una funzione f(x) definita su una semiretta, che possiamo prendere del tipo [a, +∞)
ed ivi continua a tratti; come abbiamo visto nella scheda precedente per ogni c ∈ [a,+∞) possiamo
calcolare
c
∫ f ( x ) dx
a
Consideriamo ora il
(1.1)
lim
c → +∞
c
∫ f ( x )dx
a
Nel calcolo di questo limite si possono presentare tre possibilità:
• il limite esiste finito e vale l;
• il limite esiste infinito (vale -∞ oppure +∞);
• il limite non esiste.
Nel primo caso diciamo che l’integrale improprio (o integrale generalizzato)
(1.2)
+∞
∫ f ( x ) dx
a
(che si legge "integrale da a a più infinito di f(x)" ) converge e ha il valore l.
Nel secondo caso si dice che l’integrale (1.2) diverge, mentre nell'ultimo caso si dice che
l’integrale è indeterminato (o oscillante).
Il termine spesso usato di comportamento dell’integrale sta ad indicare il fatto che esso è
convergente, divergente oppure indeterminato.
Esempio 1
Consideriamo l’integrale
∫
+∞
dx
x4
1
.
Per verificare l’eventuale convergenza dobbiamo dapprima calcolare
∫
c
1
c
1
1
1
= − 3 = − 3
4
x
3x 1 3 3c
dx
e calcolare il limite di questa quantità per c che tende a +∞, ottenendo
lim
c →+∞
1
3
−
1
3c
3
=
1
3
Poiché il limite esiste finito, l’integrale converge e si ha
∫
+∞
1
dx
x
4
=
1
.
3
Esempio 2
L’integrale
+∞
∫ log xdx
e
è divergente.
Infatti
lim
+∞
∫ log xdx =
c →+∞ e
lim [ x log x − x ]e = lim c (log c − 1) = +∞
c
c →+∞
c →+∞
Esempio 3
L’integrale
+∞
∫ sen xdx
0
è oscillante.
Anche in questo caso possiamo calcolare l’integrale tra 0 e c e poi calcolare il limite per c→+ ∝ :
lim
c →+∞
c
∫ sen xdx = lim [ − cos x ]
c → +∞
0
c
0
= lim 1 − cos c .
c → +∞
Il limite non esiste, per cui diciamo che l’integrale è indeterminato.
Esempio 4
Questo esempio è molto importante nella pratica perché introduce una famiglia di funzioni che
possiamo utilizzare come “campione” con cui confrontare una funzione assegnata per studiare la
convergenza dell'integrale improprio corrispondente: si tratta delle funzioni
f α( x ) =
dove α è un parametro reale positivo.
Consideriamo il caso α =1; abbiamo
1
xα
∫
c
1
dx
= [ log x ]1c = log c
x
e quindi l’integrale diverge. Se invece α ≠ 1 abbiamo
∫
c
1
c
x 1− α
c 1 −α
1
=
=
−
α
x
1 − α 1 1 − α 1 − α
dx
Se α >1 la quantità c1-α tende a zero per c→+∝ ; se invece α <1 essa tende all’infinito quando
c→+∝. Possiamo quindi concludere enunciando il seguente risultato:
l’integrale
∫
+∞
1
dx
xα
converge se α >1, diverge se α≤ 1.
Osservazione
Nell’esempio precedente abbiamo considerato l’integrale con primo estremo di integrazione uguale
a 1; notiamo che il comportamento dell’integrale (la sua convergenza o divergenza) non cambia se
calcoliamo l’integrale a partire da un qualsiasi valore, purché strettamente positivo. Infatti possiamo
notare che, scegliendo b> 0, abbiamo che per ogni c> 0 e per una generica funzione integranda f(x)
∫
c
b
f ( x ) dx =
∫
1
b
f ( x ) dx +
c
∫ f ( x )dx .
1
Poiché la quantità
1
∫ f ( x )dx
b
è costante il comportamento dell’integrale dipende solamente dal secondo termine nella somma.
Questo ragionamento non si può applicare per l’integrale
+∞
dx
0
xα
∫
In questo caso la funzione non è limitata in un intorno destro di zero, per cui non ha senso calcolare
l'integrale con primo estremo lo zero. Vedremo più avanti come trattare questo caso.
1.3 Integrale improprio di funzioni non negative
Se risulta f(x) ≥ 0 per ogni x∈[a,+ ∞), l’integrale improprio ha una proprietà molto importante.
Teorema 1
Sia f(x) una funzione non negativa in [a, +∞); allora l’integrale improprio
∫
+∞
a
f ( x )dx
converge oppure diverge +∞.
Per valutare la convergenza di un integrale di una funzione non negativa si utilizzano alcuni criteri,
che si basano tutti sul seguente criterio.
Teorema 2[Criterio del confronto]
Siano f(x) e g(x) due funzioni non negative in [a,+∞) e sia per ogni x ∈ [a,+∞)
f(x) ≤ g(x)
allora
1. se converge l’integrale improprio di g converge anche quello di f;
2. se diverge l’integrale improprio di f diverge anche l’integrale di g.
Esempio 1
L’integrale
∫
+∞
e
log x
x
dx diverge.
Possiamo confrontare la funzione integranda f(x) con la funzione g(x)=1/ x; poiché
log x
x
≥
1
x
e poiché l’integrale di g(x) è divergente, anche l’integrale di f(x) diverge.
Esempio 2
L’integrale
∫
+∞
3π
2 + sen x
x2
dx converge.
Osserviamo che la funzione integranda è positiva in quanto
2 + sen x ≥ 1
Possiamo maggiorare la funzione integranda con una funzione il cui integrale converge; infatti
2 + sen x
x
2
≤
3
x2
Per il criterio del confronto, l’integrale proposto converge.
Il seguente criterio, detto del confronto asintotico, discende da quello del confronto e da semplici
proprietà del limite ed è spesso di uso più facile rispetto al criterio del confronto, in quanto richiede
solo il calcolo del limite del quoziente tra le funzioni (osserviamo che tale limite, se esiste, è sempre
una quantità maggiore o uguale a zero) invece che lo studio della relazione esistente tra le due
funzioni.
Teorema 3 [Criterio del confronto asintotico]
Sia f(x) una funzione non negativa e sia g(x)>0. Se esiste il limite
lim
x → +∞
f ( x)
g(x)
=l
allora:
1. se l ∈ℜ ed è diverso da zero allora l'integrale di f(x) e l’integrale di g(x) hanno lo stesso
comportamento;
2. se l=0 e se l’integrale di g(x) converge allora anche l’integrale di f(x) converge;
3. se l= +∞ e se l’integrale di g(x) diverge, allora anche l’integrale di f(x) diverge.
Esempio 3
L’integrale
∫
dx
+∞
10
x −5x + 6
2
è convergente.
Il denominatore della funzione integranda f(x) si annulla in x= 2 e in x= 3; nella semiretta [10,+∞)
f(x) è quindi una funzione continua e positiva.
Possiamo confrontare f(x) con la funzione g(x)=
1
x2
; si ha
1
x2
x − 5x + 6
= lim 2
= 1.
1
x → +∞ x − 5 x + 6
x2
2
lim
x → +∞
Poiché l’integrale di g(x) (Teorema del paragrafo 1.2) è convergente, possiamo applicare la prima
parte dell’enunciato del criterio del confronto asintotico e concludere che l’integrale proposto è
convergente.
Esempio 4
L’integrale
∫
+∞
1
dx
x + 2x
è divergente.
Il denominatore della funzione integranda ha lo stesso ordine di grandezza di x (sappiamo che il
termine x è un infinito di ordine inferiore e quindi può essere trascurato nella determinazione
dell'ordine di grandezza); viene quindi spontaneo confrontare la funzione integranda con g(x)=1/x.
1
lim
x → +∞
x + 2x
= lim
1
x → +∞
x
x + 2x
=
1
2
.
x
Tenendo conto della prima parte dell’enunciato del criterio del confronto asintotico e del Teorema
del paragrafo 1.2, possiamo concludere che l'integrale è divergente.
Osservazione
L’utilizzo del criterio del confronto asintotico e della famiglia di funzioni di confronto
1
xα
non
sempre permette di concludere se un integrale è convergente o meno. Un esempio di importanza
1
g1 ( x ) =
x log x
o, più in generale, della famiglia di funzioni
gβ ( x ) =
(
1
x log x
)
β
Poiché la funzione logaritmo ha un ordine di infinito inferiore a ogni potenza di x con esponente
positivo si ha
log x < x ε
(per x → +∞)
per ogni ε > 0. Se consideriamo i reciproci abbiamo quindi che, sempre per x sempre
sufficientemente grande
1
log x
1
>
xε
,
da cui si ottiene che
1
x
>
1
x log x
>
1
x 1+ ε
.
Questa doppia disuguaglianza non ci permette di ottenere né la convergenza né la divergenza
g1 (x). Per fare questo ricorriamo al calcolo diretto, osservando che una primitiva
della funzione integranda è la funzione log log x :
c
1
a
x log x
∫
dx = [log log x ]a = log log c − log log a
c
L’integrale di g1 (x) è quindi divergente. Il lettore è invitato a studiare il caso β ≠1 e a verificare che
vale il seguente teorema.
Teorema 4
L’integrale
∫
+∞
a
dx
x ( log x )
β
converge se e solo se β >1.
1.4 Convergenza assoluta
Le considerazioni del paragrafo precedente possono essere adattate facilmente al caso di funzioni
sempre non positive (l’integrale improprio in questo caso converge o diverge a -∞) e anche a
funzioni che cambiano segno un numero finito di volte.
Supponiamo che la funzione f(x) nella semiretta [a,+∞) cambi di segno solamente nei punti a1 , a2 ,
..., ak; possiamo allora scrivere
∫
+∞
f ( x )dx =
a
∫
ak
a
f ( x )dx +
∫
+∞
ak
f ( x ) dx
Il primo integrale è un integrale ordinario; il secondo è un integrale improprio di una funzione di
segno costante, che ricade in quello che abbiamo detto.
Restano escluse da queste considerazioni le funzioni che presentano infiniti cambiamenti di segno
nella semiretta [a,+∞), come, ad esempio la funzione
g( x ) =
sen x
x
In questi casi è utile introdurre il concetto di convergenza assoluta.
Definizione
Diciamo che l’integrale improprio
∫
+∞
a
f ( x )dx
converge assolutamente se converge l’integrale
∫
+∞
a
f ( x ) dx .
Il concetto di convergenza e quello di convergenza assoluta sono tra di loro collegati; infatti vale il
seguente teorema.
Teorema
Se l’integrale improprio
∫
+∞
a
f ( x )dx è assolutamente convergente allora è anche convergente e si ha
+∞
+∞
a
a
∫ f ( x )dx ≤ ∫
f ( x ) dx .
Dimostrazione
A partire dalla funzione f(x) definiamo le funzioni f +(x) (detta parte positiva di f) e f -(x) (detta parte
negativa di f ) come:
1
se f ( x) ≥ 0
se f ( x) < 0
f (x )
f + ( x) =
0
− f (x )
f − (x ) =
0
e
se f ( x ) < 0
se f ( x ) ≥ 0
Da questa definizione si ricava immediatamente che:
0 ≤ f + ( x ) ≤ | f ( x ) |,
f (x ) = f + (x ) − f − (x )
0 ≤ f − ( x) ≤ | f ( x ) |
| f ( x) |= f + ( x) + f − ( x)
Grazie alle prime due relazioni, applicando il criterio del confronto per gli integrali impropri si ha
che gli integrali
∫
f + (x )dx e
+∞
a
∫
f − ( x )dx sono convergenti e quindi lo è anche (per la terza
+∞
a
relazione):
∫
+∞
a
f + (x )dx - ∫
+∞
a
f − ( x )dx = ∫ ( f + ( x) − f − ( x)) dx =
+∞
a
∫
+∞
a
f ( x )dx .
Dimostriamo ora la disuguaglianza; per ogni c>a fissato si ha (per le proprietà dell’ integrale
definito) che
∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x ) dx
c
c
a
a
Passando al limite per c → +∞ si ha la tesi.
Esempio 1
L’integrale
∫
+∞
2π
sen x
x2
dx è convergente.
Trattandosi di una funzione che cambia segno infinite volte, studiamo l’eventuale convergenza
assoluta dell’integrale; all’integrale
∫
+∞
2π
sen x
x
2
dx =
∫
+∞
sen x
π
x2
2
dx
possiamo applicare i criteri noti per gli integrali di funzioni non negativa, in particolare il criterio
del confronto. Otteniamo:
|sen x |
x
2
1
≤
x2
da cui si può concludere che l’integrale dato è assolutamente convergente e quindi convergente.
Osservazione
Si può dimostrare che l'integrale improprio
∫
+∞
a
sen x
x
dx
(dove a> 0) è convergente ma non
assolutamente convergente: in questo caso si parla di integrale semplicemente convergente.
2
1.5 Integrali impropri di funzioni non limitate
Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e non limitata in tale intervallo. Per
fissare le idee supponiamo che f(x) sia definita in [a,b), continua in ogni intervallo [a, b -ε) e che sia
lim f ( x ) = +∞
x →b−
Calcoliamo l’integrale
∫
b−ε
a
f ( x )dx
e poi valutiamo
lim+
ε→ 0
∫
b−ε
a
f ( x )dx
Questo limite può esistere finito, esistere ed essere infinito, oppure non esistere. Nel primo caso
definiamo l'integrale improprio tra a e b di f(x)
b
∫ f ( x )dx
a
come il valore di tale limite; se il limite è infinito, diciamo che l’integrale diverge, se il limite non
esiste diciamo che l’integrale è oscillante o indeterminato. Analogamente si può definire l’integrale
per una funzione definita in (a,b] e non limitata in un intorno di a.
Per questo secondo tipo di integrale, possiamo ripetere le considerazioni fatte nel caso precedente:
in particolare l’integrale di una funzione non negativa è sempre convergente o divergente.
Il criterio del confronto e quello del confronto asintotico possono essere riformulati in maniera
analoga a quella già vista; anche il concetto di convergenza assoluta e il Teorema del paragrafo 1.4
si ripetono senza modifiche.
Bisogna invece riconsiderare il problema delle funzioni “campione” per lo studio della
convergenza: scegliamo ancora le funzioni
fα ( x ) =
1
xα
e studiamo la convergenza dell’integrale improprio tra 0 e 1.
Teorema
L’integrale
1
dx
0
xα
π
sen x
∫
converge per α <1, diverge per α ≥ 1.
Esempio 1
L’integrale
∫
0
x2
dx è divergente.
3
Per dimostrarlo utilizziamo il criterio del confronto asintotico; poiché abbiamo una forma
indeterminata 0/0 nell’origine e poiché, come è noto,
lim
sen x
x
x→ 0
=1
è spontaneo confrontare la funzione considerata con la funzione g(x)=1/x. Otteniamo
sen x
lim
x→ 0
x2
1
x sen x
= lim
x2
x →0
= 1.
x
da cui si ha il risultato.
1.6 Altri esempi
Vediamo ora alcuni esempi di integrali impropri caratterizzati dal fatto che le difficoltà “si
sovrappongono”, come nel caso di integrali definiti sull’intera retta, integrali di funzioni definite su
una semiretta e non limitate in un punto e così via.
L’idea con cui si affrontano questi casi è molto semplice; si spezza l’integrale in tanti integrali in
cui “si ha un solo problema”: intervallo illimitato e funzione limitata oppure intervallo limitato e
funzione non limitata.
L’integrale di partenza è convergente se tutti gli integrali così ottenuti convergono (e in questo caso
il suo valore si pone uguale alla somma di questi), è divergente se, ad esempio, uno di essi diverge e
gli altri convergono oppure se tutti divergono (con lo stesso segno).
Resta escluso solamente il caso di somma di integrali che divergono all’infinito con segno opposto:
in questo caso non possiamo trarre conclusioni e diciamo che l’integrale è indeterminato.
Invece di svolgere una trattazione generale, ci limitiamo a fare qualche esempio.
Esempio 1
Studiare la convergenza dell’integrale improprio
∫
+∞
−∞
x2e
− x
dx .
Si tratta di un integrale esteso all’intera retta. Possiamo spezzarlo in due integrali estesi a semirette,
scegliendo un qualunque punto a e considerando separatamente
∫
a
x2e
− x
dx
−∞
e
∫
+∞
a
x2e
− x
dx .
Conviene scegliere a= 0; in questo modo possiamo togliere il valore assoluto e osservare che poiché
la funzione integranda è pari, si ha
∫
0
x 2 e x dx =
−∞
∫
+∞
0
x 2 e − x dx
Possiamo calcolare direttamente l’integrale; integrando due volte per parti si ha
4
∫
c
0
[(
) ]
= 2 − (c 2 + 2 c + 2 )e − c
c
x 2 e − x dx = − x 2 + 2 x + 2 e − x
0
Passando al limite per c →+∞ si ha che l’integrale converge e ha il valore 2; l’integrale proposto è
quindi convergente e vale 4.
Esempio 2
Studiare al variare del parametro reale positivo α la convergenza dell’integrale
+∞
dx
0
xα
∫
.
L’integrale deve essere calcolate su un intervallo non limitato e la funzione
limitata in un intorno destro dell’origine. Spezziamo l’integrale, scegliendo a> 0, nella somma di
∫
a
0
dx
x
α
+∞
+∫
a
dx
xα
Ricordando il Teorema del paragrafo 1.2 e il Teorema del paragrafo 1.5, abbiamo che se α< 1 il
primo integrale converge e il secondo diverge, se α =1 divergono entrambi a +∞, mentre se α >1
diverge il primo e converge il secondo. In tutti i casi l’integrale proposto è quindi divergente.
Esempio 3
Studiare la convergenza di
1
dx
−1
x
∫
.
Spezziamo l’integrale nella somma di due integrali “del secondo tipo”
0
dx
−1
x
∫
1
dx
0
x
+∫
Questi integrali sono entrambi divergenti: il primo a -∞ , il secondo a +∞; l’integrale di partenza è
quindi indeterminato.
5
