1) In uno spazio euclideo E3 di dimensione 3 siano A un punto, r

1) In uno spazio euclideo E 3 di dimensione 3 siano A un punto, r una retta e Π un piano ortogonale ad r.
Allora
A) esiste ed e‘ unica la retta s passante per A, parallela ad r e ortogonale a Π.
B) esiste ed e‘ unica la retta passante per A, ortogonale ad r e parallela a Π.
C) esiste ed e‘ unico il piano passante per A, parallelo ad r e ortogonale a Π.
D) esiste ed e‘ unico il piano passante per A, ortogonale ad r e parallelo a Π.
2) Sia C una fissata circonferenza dello spazio euclideo E 3 .
A) C e‘ contenuta in infiniti piani.
B) C e‘ contenuta in esattamente una sfera.
C) C e‘ contenuta in ogni sfera dello spazio.
D) C e‘ contenuta in esattamente un piano.
3) Quali delle seguenti applicazioni sono norme?
A) f :
R −→
x −
7 →
B) f : R −→
7 →
x −
R
15|x|
R
x2
C) f :
R×R
(x, y)
−→
7−→
R
x+y
D) f :
R×R
(x, y)
−→
R
7−→ 15xy
4) In uno spazio affine A3 , rispetto ad un fissato riferimento affine non omogeneo, si dica quali delle
seguenti
 sono rappresentazioni della retta passante per i punti A ≡ (1, 2, 3) e B ≡ (5, 7, 9).
 x = 1 + 5t

y = 2 + 7t
z = 3 + 9t
B) x−1
= y−2
5 =
š4
x = 45 y − 35
C)
z = 65 y + 53
x−5
D) 8 = y−7
10 =
A)


z−3
6
z−9
12
5) Dati, in uno spazio euclideo E 3 , due piani E 0 ed E 00 , essi sono perpendicolari se e solo se
A) hanno un solo punto come intersezione.
B) tutti i vettori liberi di E 0 sono ortogonali a tutti i vettori liberi di E 00 .
C) tutte le rette contenute in E 0 sono ortogonali a tutte le rette contenute in E 00 .
~ sia ortogonale a tutti i vettori liberi di E 0 ,
D) per ogni coppia (A, B) con A, B ∈ E 3 e tale che AB
00
esiste almeno una coppia (C, D), con C, D ∈ E , equipollente ad (A, B).
6) Siano Ah e An−1 sottospazi affini di uno spazio affine An con 1 < h < n − 1. Ah e‘ parallelo ad An−1
se e solo se
A) per ogni retta di Ah esiste una retta di An−1 parallela ad essa.
B) per ogni retta di An−1 esiste una retta di Ah parallela ad essa.
C) Ah ∩ An−1 = ∅ (come intersezione degli insiemi di punti propri).
D) ogni retta di Ah e‘ parallela ad ogni retta di An−1 .
1
7) Quali dei seguenti sottospazi di A4 (in coordinate affini non omogenee x, y, z, u) sono piani?
A) x − y + 3z = 0.
š
x + 2y − z = 2
B)
 x + z = 0.
x=α−β



 y = 2α − 1
C)
 z = −β + 2



 u = 3.

 x−y =2
D)
y=3


z = 1.
8) In uno spazio euclideo E 3 , siano r ed s due rette parallele. La distanza fra r ed s e‘ uguale a:
A) la distanza fra i due punti di intersezione di r ed s con un qualunque piano ortogonale ad r.
B) la distanza fra un punto qualunque di r ed un qualunque piano passante per s e parallelo ad r.
C) la lunghezza di un qualunque segmento avente gli estremi su r e su s, ortogonale ad entrambe le
rette.
D) la distanza di un qualunque punto di r dalla retta s.
9) In uno spazio vettoriale euclideo (V, h, i), designando con kuk la norma euclidea di u ∈ V , si ha ∀u, v ∈ V
A)
B)
C)
D)
|hu, vi| ≥ ku + vk.
hu, vi ≤ kuk + kvk.
|hu, vi| ≥ kuk · kvk.
hu, vi ≤ kuk · kvk.
10) Quali dei seguenti insiemi sono basi ortonormali dello spazio vettoriale euclideo standard 3–dimensionale
su R?
A) {(1,
o
n 0, 0), (0, 0, −1), (0, 1, 0)}.
B)
(1, 0, 0), (0,
√
√
√
√
2
2
2
2
2 , 2 ), (0, − 2 , 2 )
.
C) {(0, 0, 0), (0, 0, −1), (0, 1, 0)}.
D) {(1, 0, 0), (0, 2, 2), (0, −2, 2)}.
11) Date, in uno spazio euclideo di dimensione 4, due rette distinte r ed s, si ha che
A) esiste almeno un iperpiano contenente r ed s.
B) se r ed s sono incidenti, allora esistono infiniti iperpiani contenenti r ed s.
C) esiste almeno un iperpiano ortogonale ad r ed s.
D) se r ed s sono parallele, allora esiste esattamente un iperpiano che le contiene.
~ = P~S, allora
12) Siano A, E, P, S punti di un piano affine. Se AE
~
~
A) AP = ES.
~ = EP
~ .
B) AS
+
C) E A P = S.
D) E +
AS = P.
13) Due basi B = (e1 , e2 ), B0 = (f1 , f2 ) di R2 sono concordi (hanno la stessa orientazione) se e solo se
A) la matrice del cambiamento di base da B a B 0 ha determinante positivo.
B) la matrice del cambiamento di base da B 0 a B ha determinante positivo.
C) per i = 1, 2, ei e‘ parallelo ad fi .
D) esiste λ ∈ R − {0} tale che per i = 1, 2, ei = λfi .
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14) In uno spazio euclideo E 3 si consideri la usuale “distanza” definita sull’ insieme S di tutte le rette;
A) essa e‘ una vera e propria distanza, che definisce su tale insieme una struttura di spazio metrico.
B) per essa non vale la prima proprieta‘ degli spazi metrici: d(r, s) = 0 ⇔ r = s.
C) per essa non vale la proprieta‘ simmetrica: ∀r, s ∈ S, d(r, s) = d(s, r).
D) per essa non vale la disuguaglianza triangolare: ∀r, s, t ∈ S, d(r, s) ≤ d(r, t) + d(t, s).
15) Dati tre piani in uno spazio affine di dimensione 3 su R, una possibile loro intersezione e‘ l’ insieme
A) costituito da un punto proprio.
B) costituito da un punto proprio e uno improprio.
C) vuoto.
D) costituito dai punti di una retta propria.
~ AD
~
~ AC,
16) Dati in uno spazio euclideo E 5 i punti A, B, C, D, il determinante di Gram di AB,
A) e‘ sempre nullo.
B) e‘ nullo se e solo se A, B, C, D sono complanari.
C) e‘ 36 volte il quadrato del volume del simplesso di vertici A, B, C, D.
D) non esiste per incompatibilita‘ con la dimensione dello spazio.
17) In uno spazio affine di dimensione 3 siano date, rispetto ad un riferimento affine, le equazioni di tre
piani. Se, per il sistema da esse formato, il rango della matrice incompleta e‘ 2 e quello della completa
e‘ 3, allora
A) i tre piani sono paralleli.
B) hanno un punto improprio (e nient’ altro) in comune.
C) sono paralleli ad una stessa retta.
D) non hanno né punti propri né punti impropri in comune.
18) In uno spazio vettoriale euclideo sia X = (v1 , . . . , vn ) una n–pla linearmente indipendente. Sia Y =
(u1 , . . . un ) la n–pla ottenuta applicando ad X il procedimento di ortogonalizzazione di Gram–Schmidt.
A) Se X e‘ ortogonale, allora Y = X .
B) Se per ogni i = 1, . . . , n kvi k = 1, allora Y = X .
C) Se X e‘ ortogonale, allora X ∩ Y = ∅.
D) Se per ogni i = 1, . . . , n kvi k = 1, allora X ∩ Y = ∅.
19) Sia (V, h, i) uno spazio vettoriale euclideo. Si dica quali delle seguenti funzioni d : V × V → R sono
distanze.
A) d(u, v) = hu, vi.
p
B) d(u, v) = |hu, vi|.
p
C) d(u, v) = 2 hu − v, u − vi.
D) d(u, v) = −4hu − v, u − vi.
20) Due rette distinte di uno spazio euclideo E 3 sono sghembe se e solo se
A) sono ortogonali ma non perpendicolari.
B) il sistema formato dalle loro equazioni cartesiane (rispetto ad un riferimento cartesiano) non ammette soluzioni.
C) non hanno punti (propri) in comune, ma hanno tutti i vettori liberi in comune.
D) il sistema formato dalle loro equazioni cartesiane (rispetto ad un riferimento cartesiano) ha la
matrice completa di rango 4.
3
21) In
š uno spazio euclideo E , rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale, sia r la retta di equazioni
x = 2z
. Allora r e‘
y=5
A) ortogonale al piano xy (cioe‘ quello di equazione z = 0).
B) parallela al piano xz (cioe‘ quello di equazione y = 0).
C) parallela al piano yz (cioe‘ quello di equazione x = 0).
D) parallela al piano xy (cioe‘ quello di equazione z = 0).
3
22) In uno spazio affine, rispetto ad un riferimento affine sono dati i punti A ≡ (1, 2, 3), B ≡ (3, 4, 5). Se C
e‘ il punto medio fra A e B, allora
A) C ≡ (2, 3, 4).
B) C ≡ (5, 6, 7).
C) C ≡ (4, 6, 8).
D) C ≡ (−1, 0, 1).
23) In uno spazio euclideo E 3 , rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale, sia Π il piano di equazione
x + 2y − 18 = 0. Allora Π e‘
A) parallelo al piano xz (cioe‘ quello di equazione y = 0).
B) parallelo all’ asse coordinato delle y.
C) ortogonale al piano xz (cioe‘ quello di equazione y = 0).
D) ortogonale all’ asse coordinato delle y.
24) In
 uno spazio euclideo di dimensione 3, rispetto ad un riferimento cartesiano, sia r la retta di equazioni

 x = 3t
y = t Allora r e‘


z = 1.
A) parallela al piano xy.
B) ortogonale al piano xy.
C) parallela all’ asse z.
D) ortogonale all’ asse z.
25) Sia S una sfera di raggio 1. Sia X l’ insieme di tutte le circonferenze giacenti su S. Allora
A) Dati un elemento C1 di X e un punto P ∈ S − C1 , per P non passa alcun elemento di X disgiunto
da C1 .
B) Dati un elemento C1 di X e un punto P ∈ S − C1 , per P passa almeno un elemento di X disgiunto
da C1 .
C) Dati due punti NON diametralmente opposti di S, per essi passano infiniti elementi di X .
D) Dati due punti NON diametralmente opposti di S, per essi passa esattamente un elemento di X .
26) In un piano affine, rispetto ad un riferimento affine, si consideri il sottospazio di equazione 2x−5y+4 = 0.
Quali delle seguenti sono componenti di un suo vettore libero?
A) (2, −5, 4).
B) (2, −5).
C) (5, 2).
D) (0, 0, 1).
27) In uno spazio euclideo, rispetto ad un riferimento cartesiano, sia Π il piano di equazione 2x − 3z = 1.
Π e‘
A) ortogonale all’asse x.
B) ortogonale all’asse y.
C) ortogonale al piano xz.
D) ortogonale al piano yz.
28) In uno spazio euclideo E 3 , rispetto ad un riferimento cartesiano, l’ equazione 2x − 5y = 0 rappresenta
A) una retta passante per l’ origine.
B) un piano parallelo al piano xy.
C) un piano passante per l’ asse z.
D) un piano ortogonale al piano xy.
4

 x = 2v

29) In uno spazio affine A3 , rispetto ad un riferimento affine, il sottospazio di equazioni
y = v e‘


z=5
A) un piano parallelo al piano coordinato xy.
B) una retta parallela al piano coordinato xy.
C) una retta parallela all’asse coordinato y.
D) un piano parallelo all’asse coordinato y.
30) In uno spazio euclideo di dimensione 3, rispetto ad un riferimento cartesiano, il sistema
resenta
A) una retta parallela ai piani coordinati xy ed xz.
B) una retta che forma con ogni asse coordinato un angolo il cui coseno e‘
C) un piano parallelo all’asse coordinato z.
D) un piano parallelo al piano coordinato xy.
5
√
3
3 .
š
x=y
rappx=z