UNIVERSIT`A DI BRESCIA - FACOLT`A DI

1
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 24.03.04
cognome
nome
corso di laurea
matricola

 x + (k − 1)y + 2z = 2k
Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare
x+z =0

(k + 1)x − z = 2k
compatibile.
risposta (punti 5)
risulta
k 6= 1, −2
Interpretando x, y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione del piano α, rappresentato dalla prima equazione, e della retta r, se esiste, rappresentata dalla seconda e terza equazione del
sistema, al variare del parametro reale k.
risposta (punti 5) α ed r esistono entrambi per k 6= −2, per k = −2 r non esiste perchè i piani che la
dovrebbero individuare risultano paralleli (e distinti).
Per k = 1 α ed r sono paralleli e disgiunti; per k 6= 1, −2 α ed r sono incidenti nel punto le cui coordinate
sono l’unica soluzione del sistema.
½
x+z =3
Esercizio 2. In E3 (R), dati la retta r :
, il piano π : 2x−y +z −1 = 0 ed il punto P = (3, 2, 1),
y − 2z = 1
si determinino rappresentazioni cartesiane di:
a. α, il piano per P e parallelo a π; risposta (punti 2)
α : 2x − y + z = 5
b. β, il piano per P e ortogonale ad r; risposta (punti 2)
β : x − 2y − z = −2
½
c. s, la retta per P , ortogonale ad r e parallela a π. risposta (punti 3) s :
2x − y + z = 5
x − 2y − z = −2
Esercizio 3. In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della superficie generata dalla rotazione
della retta r : 2x + z = 2y + z = 0 attorno alla retta a : x − 2 = y + 3 = 0.
risposta (punti 6)
2x2 + 2y 2 − z 2 − 8x + 12y + 2z = 0

1 0 1
Esercizio 4. Si consideri la matrice A = 1 0 2
0 0 1

0
1. In R4 (R) si determinino:
1
a. il sottospazio S delle soluzioni del sistema lineare AX = 0; risposta (punti 2) S = L(((1, 0, −1, 1), (0, 1, 0, 0)))
b. il complemento ortogonale di S; risposta (punti 3)
S ⊥ = {(a − b, 0, a, b) ∈ R4 , a, b ∈ R}
c. un complemento diretto di S (diverso dal complemento ortogonale);
risposta (punti 2)
W = L(((0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)))
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 24.03.04
cognome
nome
corso di laurea
matricola

 x+z =0
Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare
kx − z = 2k

x + (k − 2)y + 2z = k
compatibile.
risposta (punti 5)
risulta
k 6= −1, 2
Interpretando x, y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione del piano α, rappresentato dalla prima equazione, e della retta r, se esiste, rappresentata dalla seconda e terza equazione del
sistema, al variare del parametro reale k.
risposta (punti 5) α ed r esistono per ogni valore di k.
Per k = −1, 2 α ed r sono paralleli e disgiunti; per k 6= −1, 2 α ed r sono incidenti nel punto le cui coordinate
sono l’unica soluzione del sistema.
½
x+z =3
Esercizio 2. In E3 (R), dati la retta r :
, il piano π : 2x+y +z −1 = 0 ed il punto P = (3, 2, 1),
y + 2z = 1
si determinino rappresentazioni cartesiane di:
a. α, il piano per P e parallelo a π; risposta (punti 2)
α : 2x + y + z = 9
b. β, il piano per P e ortogonale ad r; risposta (punti 2)
β : x + 2y − z = 6
½
c. s, la retta per P , ortogonale ad r e parallela a π. risposta (punti 3) s :
2x + y + z = 9
x + 2y − z = 6
Esercizio 3. In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della superficie generata dalla rotazione
della retta r : 2x + z = x + 2y = 0 attorno alla retta a : z − 2 = y + 3 = 0.
risposta (punti 6)
17x2 − 4y 2 − 4z 2 + 20x − 24y + 16z = 0

3

Esercizio 4. Si consideri la matrice A = 1
2
0
−1
1

1 0
2 0. In R4 (R) si determinino:
−1 0
a. il sottospazio S delle soluzioni del sistema lineare AX = 0; risposta (punti 2) S = L(((1, −5, −3, 0), (0, 0, 0, 1)))
b. il complemento ortogonale di S; risposta (punti 3)
S ⊥ = {(5a + 3b, a, b, 0) ∈ R4 , a, b ∈ R}
c. un complemento diretto di S (diverso dal complemento ortogonale);
risposta (punti 2)
W = L(((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)))