Dispensa sul calcolo delle derivate
Derivate delle funzioni di una variabile.
Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della
matematica ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale.
I problemi di ordine pratico dal quale scaturì tale concetto sono dati dallo studio delle
tangenti ad una curva e dallo studio della velocità.
Problema della tangente.
Quando si parla di tangente ad una circonferenza il problema è abbastanza semplice
dal momento che si intende per tangente in un punto quella retta che tocca la
circonferenza in un suo punto ed è ivi perpendicolare al raggio.
Quando al posto della circonferenza si prende una qualsiasi curva del piano cadono
subito le caratteristiche della tangente ad una circonferenza, infatti la retta non ha più
in comune con la curva un solo punto (potrebbe avere intersecato la curva in uno o
più punti precedenti e/o intersecare in uno o più punti successivi a quello preso in
considerazione), inoltre una curva generica non è una circonferenza e di conseguenza
non ha senso parlare di perpendicolarità al raggio.
Viene data la seguente definizione:
Chiamasi tangente ad una curva piana in un suo punto Po la posizione
limite, se esiste, della retta che congiunge il punto Po con un altro
punto P1 della curva, al tendere di P1 a Po muovendosi sempre sulla
curva.
Ovviamente si può tracciare la tangente se si riesce a scrivere la sua equazione
cartesiana. L’equazione di tale retta sarà del tipo
y-f(x0) =m(x-x0)
dovex0e f(xo) sono le coordinate del punto Poed m è il coefficiente angolare della retta,
ovvero m=tgω dove ω è l’angolo che la tangente forma con il verso positivo dell’asse
delle x.
A cura della prof. P. Paciulli
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Dispensa sul calcolo delle derivate
Sulla curva y=f(x) prendiamo in considerazione il punto P1[xo+h,f(xo+h)], r, la
retta che congiunge Pocon P1 e α l’angolo che la retta forma con il verso
positivo dell’asse delle x.
Per la definizione di tangente che è stata data, la retta t rappresenta la
posizione limite della retta r al tendere di P1 a Po, muovendosi P1 sulla curva
f(x) e perciò si ha:
lim α = ϖ
P0 →P1
da cui, visto che la tg per angoli diversi da 90° +k180 è una funzione continua
lim tgα = tgϖ
P0 →P1
ovvero,l’equivalente:
lim tgα = tgϖ
P0 → P1
Dalla definizione di tangente si ottiene quindi:
tgα =
f ( x0 + h) − f ( x0 )
x0 + h − x0
Per cui,
lim tgα = lim
h→0
h→0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
= tgϖ
h
(1)
quindi il valore di m coincide con la tgω che corrisponde al valore del limite della
formula precedente.
Se il limite esiste ed è finito vuol dire che la tangente alla curva esiste, ed il suo
coefficiente angolare è dato dalla formula (1).
Sulla base delle precedenti considerazioni si può dare la seguente definizione:
Chiamasi derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è
finito, del rapporto incrementale
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
al tendere a zero dell’incremento h della variabile indipendente.
La derivata, in matematica viene indicata indifferentemente con le seguenti notazioni:
f’(x), y’(x), D[f(x)].
A cura della prof. P. Paciulli
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Vale il seguente teorema:
Se una funzione è derivabile in un suo punto x0 è ivi anche continua.
Può non essere vero il viceversa, ovvero se una funzione è continua in un punto può
non essere ivi derivabile.
Derivate di uso più frequente
In base alla definizione, è possibile calcolare, in maniera immediata la derivata di
alcune funzioni fondamentali, da tenere a mente:
y=c
y’= 0
y=x
y’= 1
y = xn
y’= nxn-1
y = xn/m
y' =n/m x n/m-1
y = senx
y' = cosx
y = cosx
y' = -senx
y = logax
y' = (1/x)logae
y = lnx
y' = 1/x
y = ax
y' = axloga
y = ex
y' = ex
y = tgx
y' =1/cos2x oppure y’=1+tg2x
y = cotgx
y' =-1/sen2x oppure y’=-(1+cotg2x)
A cura della prof. P. Paciulli
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PRINCIPALI REGOLE DI DERIVAZIONE
1.
La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della
costante per la derivata della funzione, ovvero:
y = cf ( x)
y = 2 senx
esempio:
y = 2x3
2.
→
y ' = 2 ⋅ D( senx) = 2 cos x
⇒
y ' = 2 ⋅ D( x 3 ) = 2 ⋅ 3 x 3−1 = 6 x 2
⇒
La derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma delle derivate
delle due funzioni, ovvero
y = f ( x) ± g ( x)
y = senx + x
esempio:
3.
→
⇒
y ' = f ' ( x) ± g ' ( x )
y ' = D( senx) + D( x) = cos x + 1
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima
funzione per la seconda funzione non derivata aumentata del prodotto della prima
funzione non derivata per la derivata della seconda funzione, ovvero:
y = f ( x) ⋅ g ( x)
esempio:
4.
y ' = cf ' ( x)
y ' = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x)
→
y = senx ⋅ cos x ⇒ y ' = D( senx) ⋅ cos x + senxD(cos x) = cos 2 x − sen 2 x
La derivata del quoziente di due funzioni è data dal quoziente tra :
il prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione non
derivata diminuita del prodotto della prima funzione non derivata per la derivata
della seconda funzione,
il quadrato della seconda funzione, ovvero:
y=
f ( x)
g ( x)
→
y' =
f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
[g ( x)]2
esempio:
y=
5.
senx
cos x
⇒ y' =
D( senx) ⋅ cos x − senxD(cos x ) cos 2 x + sen 2 x
1
=
=
= 1 + tg 2 x
2
2
2
cos x
cos x
cos x
La derivata di una funzione composta y=f(g(x)) dove y=f(z) e z=g(x) è data dal
prodotto della derivata della funzione f(z) rispetto a z per la derivata della funzione g(x)
rispetto alla variabile x; ovvero
y = f [g ( x ) ]
→
y ' = f ' [g ( x)]g ' ( x)
esempio: Una funzione composta è una funzione che non ha come argomento la semplice variabile x
ma un’altra funzione. Ad esempio y=senx ha come variabile indipendente la x la funzione y=sen(x2+1)
ha come variabile la funzione z= x2+1
Quindi applicando a quest’ultima la regola di derivazione si ottiene
y = sen(x 2 + 1)
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→
y ' = cos(x 2 + 1) ⋅ 2 x
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[ (
)]
y = log sen x 2 + 1
→
y' =
1
cos x 2 + 1 ⋅ 2 x = cot g x 2 + 1 ⋅ 2 x
2
sen x + 1
(
) (
)
(
)
6. la derivata della potenza di una funzione y=[f(x)]n è uguale alla moltiplicazione tra l’esponente, la
funzione con esponente diminuito di uno e la derivata prima della funzione. In formule
y = [ f (x )]
n
→
y ' = n[ f ( x )]
n −1
⋅ f ' ( x)
esempio:
1
y = x 2 + senx = (x 2 + senx )2
⇒ y' =
1
−1
1 2
(2 x + cos x)
(
x + senx )2 (2 x + cos x) =
2
2 x 2 + senx
Esercizi:
3.
y = 2x3 − x 2
16
y = 4 x 3 − 5 + 3( x 2 − 2 x) − senx
5x
4
y=x −x
4.
y = x3 + 8
5.
y=
6.
y = ( x 2 + 7 x − 5)( x 3 + 3 x − 6)
y = e x ( 4e x + 2)
1.
2.
7.
x+
3
1
−6 +8
x
x3
y = e x senx − e x cos x
2
9. y = senx( x + 7 x + 4)
10. y = senx( senx + 3)
8.
x +1
x
x 6 − 6x
12. y =
x −1
( x 2 − 6)
13. y =
( x 3 + 1)
11. y =
14. y =
x 2 + 2 x + 25
( x + 1) 2
15. y =
x 2 − 6x + 9
x 2 − 25
1 1
+ log(5 + 2 x)
x3 2
17. y = log(x + 1)
16.
y=
y = ln(8 x − x 2 )
2
4
19. y = ln(4 x + 3 x )
2
20. y = ln( x − 4 x + 5)
18.
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TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI
Teorema di Rolle
Sia f(x) continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b) e
sia inoltre f(a)=f(b). Sotto queste condizioni esiste almeno un punto c interno
all’intervallo [a,b] nel quale la derivata prima si annulla e cioè f’(c) = 0.
Vediamo il significato geometrico:
Il caso limite è dato dalla f(x) coincidente con una retta parallela all’asse x in cui la
funzione è costante e quindi in tutti i suoi punti la derivata prima è nulla.
Teorema di Lagrange o del valor medio
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile nei punti interni
di questo intervallo; esiste allora almeno un punto c interno ad [a,b] nel quale risulti:
nel quale cioè la derivata prima sia uguale al rapporto incrementale della funzione f(x)
nell’intervallo [a,b].
Se la funzione f(x) è derivabile
nell’intervallo [a,b], vuol dire che
la funzione è dotata di derivata
prima
in
tutti
i
punti
dell’intervallo e quindi è dotata di
tangente
in
tutti
i
punti
dell’intervallo esclusi gli estremi,
allora esiste almeno un punto c in
cui la tangente è parallela alla
corda che unisce gli estremi
dell’intervallo.
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Regola di de L’Hopital e le sue applicazioni
Siano f(x) e g(x) due funzioni continue, nulle nel punto x’ e derivabili in x’; sia inoltre
g’(x’) non nulla in x’. Allora se esiste finito o infinito il
Esiste anche il
E si ha
Il differenziale ed il suo significato geometrico
Se y=f(x) è una funzione derivabile in un punto x, chiamiamo differenziale della f(x)
relativo al punto x ed all’incremento ∆x il prodotto della derivata f’(x) per l’incremento
∆x.
Il differenziale viene indicato con i simboli:
df(x) o dy
Si ha dunque
1)
df(x)=f’(x)∆x.
Consideriamo ora il differenziale della funzione f(x)=x allora df(x)=dx=1Dx=Dx quindi
dx=Dx e cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all’incremento della
variabile indipendente e quindi la 1) diventa
df(x)=f’(x)dx
ovvero
FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI
Mediante lo studio del segno della derivata si può determinare se la funzione è
crescente o decrescente.
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Ricordiamo che presi i punti a e b, con a<b, nell’intervallo di definizione di una
funzione f(x), tale funzione è crescente in (a,b) se si ha f(a)<f(b), è decrescente
se f(a) > f(b) .
Consideriamo quindi una funzione crescente nell’intervallo (a,b) e sia x un punto di
tale intervallo
Gli angoli che le tangenti nei punti P e Q formano con l’asse delle x sono acuti e per
tali rette quindi il coefficiente angolare è positivo. Dal momento che la derivata
prima di una curva, calcolata nel punto rappresenta proprio il coefficiente
angolare della retta tangente si evince che la derivata prima in tali punti sarà
positiva.
Quindi si può affermare che se la derivata prima è positiva nell’intervallo allora la
funzione è crescente.
Analogamente, se la funzione è decrescente in un intervallo (a,b) l’angolo che la
tangente alla curva forma con l’asse delle x è ottuso e quindi il suo coefficiente
angolare sarà negativo. Quindi si può affermare che se la derivata prima nei punti
dell’intervallo (a,b) è negativa la funzione è decrescente nell’intervallo (a,b).
Riassumendo
Se per
a<x<b
f’(x)>0
allora f(x) è crescente su (a,b)
Se per
a<x<b
f’(x)<0
allora f(x) è decrescente su (a,b).
Lo studio del segno porta facilmente alla determinazione dei punti di massimo e
minimo di una funzione.
Si dice che una funzione assume un massimo relativo in un punto x1 se preso un
intorno del punto x1 tutti i valori assunti dalla funzione in tale intervallo sono inferiori
al valore assunto nel punto x1.
Analogamente si dice che una funzione assume un minimo relativo in un punto x1
se preso un intorno del punto x1 tutti i valori assunti dalla funzione in tale intervallo
sono maggiori del valore assunto nel punto x1.
Se una funzione ha più punti di massimo relativo si può determinare il massimo
assoluto della funzione considerando tra questi quello di valore più grande e
verificando che negli estremi del dominio di esistenza della funzione la funzione stessa
non assuma valori maggiori. (Il discorso è analogo per i punti di minimo assoluto).
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Vale il seguente teorema:
Se x0 è un punto di massimo o minimo relativo di una funzione f(x) definita in un
intervallo (a,b) e se in tale punto la funzione è derivabile allora si ha
f’(x0)=0
Infatti la tangente alla curva in un punto di massimo o minimo è parallela all’asse
delle x ed ha coefficiente angolare = 0.
Considerando che la derivata seconda di una funzione è la derivata della derivata
prima si può affermare che:
se in x0 la derivata prima è uguale a zero:
•
se f’’(x0 ) > 0 allora in x0 la funzione ha un punto di minimo;
•
se f’’(x0 ) < 0 allora in x0 la funzione ha un punto di massimo;
•
se f’’(x0 ) = 0 allora in x0 la funzione ha un punto di flesso.
In generale tuttavia dallo studio del segno della derivata prima si evince che :
Punto di minimo:
Si è in presenza di un punto di
minimo per una funzione
y=f(x), qualora nel punto la
derivata prima sia nulla e si
verifichi la condizione che per
x<x0 allora f'(x)<0 e per x>x0
allora f'(x)>0, ovvero:
Punto di massimo:
Si è in presenza di un punto di
massimo per una funzione y=f(x),
qualora nel punto la derivata
prima sia nulla e si verifichi la
condizione che per x<x0 allora
f'(x)>0 e per x>x0 allora f'(x)<0,
ovvero:
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Punto di flesso crescente:
Si è in presenza di un punto di
flesso crescente per una funzione
y=f(x), qualora nel punto la
derivata prima sia nulla e si
verifichi la condizione che per x<x0
allora f'(x)>0 e per x>x0
allora
f'(x)>0, ovvero:
Punto di flesso decrescente:
Si è in presenza di un punto di flesso
decrescente
per
una
funzione
y=f(x),
qualora
nel
punto
la
derivata prima sia nulla e si verifichi
la condizione che per x<x0 allora
f'(x)<0 e per x>x0 allora f'(x)<0,
ovvero:
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