STATISTICA
(Esercitazioni a cura di Giovanna Caramia)
Statistica Descrittiva
Esercitazione 3. Indici di variabilità
Esercizio 1
Si considerino i seguenti valori di altezza (in centimetri) misurati su un gruppo di 9 soggetti:
Soggetti
Altezza
1
2
3
4
180
173
165
156
5
6
7
8
167
177
178
168
9
174
Con riferimento al carattere altezza, che indichiamo con X, si calcolino:
a) il campo di variazione o range, lo scostamento semplice medio (dalla media aritmetica), la
varianza con formula diretta e indiretta.
b) La varianza di Y = 1 + 0,9 ⋅ X.
Esercizio 2
Consideriamo la distribuzione in classi del peso di 100 prodotti da forno preparati e confezionati in
tre stabilimenti di una certa ditta. Il peso è espresso in grammi.
Peso
ni
(100 - 120]
(120 - 150]
22
30
(150 - 250]
(250 - 500]
36
12
100
Totale
a) Calcolare la varianza con formula diretta e indiretta;
b) calcolare gli indici di asimmetria e curtosi.
Esercizio 3
Si considerino le seguenti due distribuzioni per classi di età dei maschi occupati, con diploma di
scuola media superiore e con diploma di laurea:
Età
Media superiore
Laurea
(15 - 20]
25
212
(20 - 25] (25 - 30] (30 - 40]
(40 - 50]
34
64
211
602
486
792
1741
1267
(50 - 60]
(60 - 65]
(65 - 70]
808
245
115
592
92
42
1 STATISTICA
(Esercitazioni a cura di Giovanna Caramia)
Si dica quale distribuzione presenta la maggiore variabilità.
Esercizio 4
Si consideri la tabella seguente che riporta gli ettari (X) di superficie adibiti alla coltivazione di
piante da frutto nel 2005 in Veneto:
Pianta
Ettari
Melo
Pero
Pesco
7214
4574
2438
Albicocco
Kiwi
460
3185
a) si calcoli la varianza del carattere X (ettari), sia con la formula diretta che con la formula
indiretta;
b) calcolare lo scarto quadratico medio di Y = 500 + 1,3 ⋅ X.
Esercizio 5
Per 10 clienti di un supermercato si conosce il numero di prodotti acquistati nell’ultimo mese:
xi
89
120
150
40
180
25
240
34
13
76
Si determini la differenza interquartile e l’indice di asimmetria α2.
Esercizio 6
Si consideri la seguente tabella che riporta l’età del gruppo di persone presenti in una certa sala
cinematografica allo spettacolo delle ore 18 un venerdì pomeriggio:
Classi di età
ni
(12 - 15]
(15 - 20]
(20 - 25] (25 - 30] 0
4
6
7
(30 - 35] (35 - 40] (40 - 50]
5
0
0
a) Calcolare lo scostamento semplice medio.
b) Valutare simmetria e curtosi della distribuzione.
Esercizio 7
Si consideri la seguente tabella che riporta le frequenze relative del carattere Statura di un gruppo di
partecipanti ad una gara podistica, ripartiti secondo il sesso.
a) Si confronti la variabilità delle due distribuzioni.
b) In riferimento alla distribuzione dei maschi, calcolare il campo di variazione e la differenza
interquartile.
2 STATISTICA
(Esercitazioni a cura di Giovanna Caramia)
Sesso
Classi di statura
fM
fF
(150 - 160]
(160 - 165]
(165 - 170] 0,008
0,036
0,127
0,03
0,1
0,242
(170 - 180] (180 - 185]
(185 - 190] (190 - 200]
0,55
0,187
0,071
0,021
0,518
0,086
0,02
0,004
Esercizio 8
La seguente tabella riporta la distribuzione in classi di 115 prodotti dolciari da forno classificati
secondo il peso (in grammi). Viene inoltre riportato, per ogni classe, il peso medio (in grammi).
Peso
ni
µi
σ 2i
(0 – 200]
(200 – 800]
(800 – 1200]
32
46
24
126
578
945
14,3
10,5
11,4
(1200 – 3000]
13
115
1784
22,5
a) Utilizzando le medie di classe, determinare il peso medio dei 115 prodotti.
b) Assumendo che la varianza del peso nelle quattro classi sia pari alla varianza riportata nella
quarta colonna della tabella, determinare la varianza dei 115 prodotti.
Esercizio 9
Si consideri la seguente distribuzione della Popolazione residente nelle Marche per classi di età
(Compendio Statistico Italiano, 1998):
Classi di età
ni
(0 - 1]
(1 - 5]
11941
47077
(5 - 10] (10 - 15] (15 - 25] (25 - 45] 62862
65171
169866
421981
(45 - 65]
(65 - 100]
369483
302498
Si calcolino gli indici di simmetria e di curtosi. Si commentino i risultati ottenuti.
Esercizio 10
Sia X un carattere che assume valori (5, 6, 7, 8), con frequenza (10, 20, 30, 40) nel gruppo A, (80,
60, 40, 20) nel gruppo B e (100, 100, 50, 50) nel gruppo C.
a) Si calcolino media, varianza e scarto quadratico medio in ogni gruppo;
b) calcolare media e varianza unendo i 3 gruppi;
c) esprimere i risultati in b) in funzione della media e della varianza dei singoli gruppi.
3 STATISTICA
(Esercitazioni a cura di Giovanna Caramia)
Esercizio 11
Si consideri la seguente distribuzione disaggregata relativa al prezzo (in euro) di una determinata
barretta di cioccolato in 6 diversi esercizi commerciali:
1,29
0,99
1,59
1,49
1,09
Si consideri inoltre la seguente distribuzione disaggregata relativa al prezzo (in euro) di una
determinata confezione di cioccolatini negli stessi 6 esercizi commerciali:
11,99 9,99
15,99 13,99 12,99
a) Per entrambe le distribuzioni si calcolino la media, la varianza ed il coefficiente di variazione.
b) Considerando la prima distribuzione disaggregata
x1 = 1,29
x2 = 0,99
x3 = 1,59
x4 = 1,49
x5 = 1,09
ed indicando con µx la sua media aritmetica e con σ2x la sua varianza, si consideri la distribuzione
disaggregata y1, y2, …, y5 ottenuta applicando la particolare trasformazione lineare
(standardizzazione)
x − µx
,
i = 1, …, 5.
yi = i
σx
Si verifichi che la media aritmetica e la varianza della distribuzione disaggregata y1, y2, …, y5 sono
rispettivamente pari a zero e a uno.
Esercizio 12
Si consideri il seguente estratto della tavole 2.1 del “Compendio Statistico Italiano 1998” (Istat):
Regioni
Morti
Popolazione
Umbria
Toscana
9133
41286
831714
3527303
Sicilia 47086
Sardegna 13707
5108067
1661429
Considerando le Regioni come unità statistiche, si calcolino le differenze medie semplici senza e
con ripetizione del numero di abitanti.
Esercizio 1 di riepilogo
Si consideri la seguente distribuzione dei 150 studenti iscritti al primo anno del corso di laurea in
Statistica di un dato ateneo secondo il numero di esami sostenuti:
Numero di esami
ni
1
2
3 58
42
12
4 38
a) Si ricavi e si disegni la funzione di ripartizione del numero di esami sostenuti.
b) Si calcoli la varianza con formula diretta e indiretta.
4 STATISTICA
(Esercitazioni a cura di Giovanna Caramia)
Esercizio 2 di riepilogo
Data la seguente distribuzione di frequenze
x
ni
(0 – 10]
20
(10 – 20] 150
(20 – 30] 385
(30 – 40] 180
(40 – 50] (50 – 60] a)
b)
c)
d)
50
15
Dare la definizione di media aritmetica e calcolarla;
calcolare moda, mediana e 3° quartile;
calcolare range e varianza;
valutare l’asimmetria della distribuzione.
5
