NUMERO AUREO E CONSERVAZIONE DELLA PARTE
DECIMALE
INTRODUZIONE
Il seguente articolo descrive la natura di alcune proprietà legate al numero aureo.
DESCRIZIONE
Tra i numeri più famosi della matematica c’è il numero aureo (1+√5)/2 = 1,6180339… il quale
possiede numerose proprietà tra cui:
il quadrato e il reciproco conservano la stessa parte decimale.
Proprietà 1: 1,6180339…2 = 2,6180339…
Proprietà 2: 1 / 1,6180339… = 0,6180339…
In realtà, la prima proprietà è giustificata dal fatto che il numero aureo appartiene ad una serie di cui
ogni termine ne privilegia:
Sn = (1+√4n+1)/2 ∀n∈N
Stesso discorso per la seconda proprietà, giustificata dal fatto che il numero aureo appartiene alla
serie:
Sn = (± n ±√n2+4)/2 ∀n∈N
DIMOSTRAZIONE
prima proprietà
Elevando al quadrato il termine (1+√4n+1)/2 otteniamo (1+√4n+1)/2 + n, essendo n un numero
naturale, si evince facilmente che entrambi i termini possiedono la stessa parte decimale.
[(1+√4n+1)/2]2 = (1 + 4n + 1 + 2√4n+1) / 4 = (2+2√4n+1 + 4n)/4 = (1+√4n+1)/2 + n.
[(1+√4n+1)/2]2 = (1+√4n+1)/2 + n
La prima serie nasce dall’impostazione della seguente relazione:
[√x ] 2 = √x + n ∀n∈N
Osserviamo i passaggi per ottenere la serie:
1) x – √x – n = 0
2) posto √x = y ∀y ≥ 0
3) y2 – y – n = 0 ∪ y ≥ 0
4) y = (1±√4n+1)/2 ∪ y ≥ 0
5) y = (1+√4n+1)/2
y = (1+√4n+1)/2
seconda proprietà
Per semplificare questa parte, descriverò solamente il caso di (n+√n2+4)/2. I restanti tre possono
essere verificati analogamente.
Razionalizzando il reciproco, 2/(n+√n2+4) otteniamo 2(n-√n2+4)/(n2 - n2 - 4) quindi (-n+√n2+4)/2
essendo n un numero naturale, si evince facilmente che i numeri (n+√n2+4)/2 e (-n+√n2+4)/2
possiedono la stessa parte decimale.
2/(n+√n2+4) = (-n+√n2+4)/2
La seconda serie nasce dall’impostazione della seguente relazione:
1 / √x = ±√x + n ∀n∈N
Osserviamo i passaggi per ottenere la serie:
1) 1/√x ± √x – n = 0
2) posto ±√x = y
3) 1/±y ± y – n = 0
4) y2 ± ny – 1 = 0
5) y = (± n ±√n2+4)/2
y = (± n ±√n2+4)/2
NOTE
In entrambe le serie il termine per n = 1 corrisponde al numero aureo.
ESEMPI
La tabella seguente riporta gli esempi per i primi 10 numeri naturali:
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1a Serie
1,61803399
2,00000000
2,30277564
2,56155281
2,79128785
3,00000000
3,19258240
3,37228132
3,54138127
3,70156212
quadrato
N
2,61803399 1
4,00000000 2
5,30277564 3
6,56155281 4
7,79128785 5
9,00000000 6
10,19258240 7
11,37228132 8
12,54138127 9
13,70156212 10
2a Serie
1,618033989
2,414213562
3,302775638
4,236067977
5,192582404
6,16227766
7,140054945
8,123105626
9,109772229
10,09901951
reciproco
0,618033989
0,414213562
0,302775638
0,236067977
0,192582404
0,16227766
0,140054945
0,123105626
0,109772229
0,099019514
Eugenio Amitrano
