Tuttavia colui che congiunse le scoperte pitagoriche con il metodo di Platone fu Euclide, IV sec. a.C., che
fondò un sistema di studio della matematica e della geometria in particolare tuttora usati. Il suo più
famoso, gli Elementi, è stato letto studiato e ammirato per più di due millenni, fino alla metà del XIX secolo.
Ancora in pieno Ottocento, lo Sherlock Holmes di Conan Doyle affermava nello Studio in rosso che le sue
conclusioni, raggiunte per via deduttiva, erano “ infallibili come altrettante proposizioni di Euclide”.
Nel VI libro il matematico si sofferma sul rapporto aureo definendolo come “ proporzione estrema e
media”, ovvero,dato un segmento AB e diviso questo in un punto C, il rapporto ( segmento maggiore )/(
segmento minore ) è uguale al rapporto ( intera linea )/( segmento maggiore ):
AC/CB = AB/AC
Il passaggio successivo compiuto da Euclide fu quello di collegare questa proporzione con il pentagono.
In ogni figura piana regolare la somma di tutti gli angoli interni è uguale a 180°x ( n-2 ), dove n è il numero
di lati. In un pentagono n=5, e la somma degli angoli è 540°. Immaginiamo ora di tracciare nel pentagono
due diagonali adiacenti, ricavando tre triangoli isosceli.
Siccome in un triangolo isoscele i due angoli adiacenti alla base hanno la stessa ampiezza, gli angoli alla
angoli del triangolo centrale i valori di 36°, 72° e 72°.
Bisecando uno dei due angoli di 72°, otteniamo un triangolo più piccolo DCB con gli stessi angoli (
36°,72°,72°) del triangolo maggiore ADB.
Con l’ aiuto di un po’ di geometria elementare, si può dimostrare che il punto C divide la linea AB secondo il
rapporto aureo; lo stesso rapporto intercorre anche tra AD e DB. In altre parole, in un pentagono regolare
il rapporto tra la diagonale e il lato è pari a ф. Questo dimostra che la capacità di costruire una linea divisa
secondo il rapporto aureo costituisce nello stesso tempo un semplice sistema per la costruzione di un
pentagono regolare. Era questa la principale ragione dell’ interesse dei greci per il rapporto aureo. Il
triangolo al centro del poligono, con un rapporto del lato con la base pari a ф, è noto come “ triangolo
aureo”, mentre i due triangoli laterali, con un rapporto del lato con la base pari a 1/ф, sono chiamati “
gnomoni aurei”. Una singolare proprietà lega i triangoli e gli gnomoni aurei: entrambi possono essere
scomposti in triangoli più piccoli, che sono a loro volta triangoli e gnomoni aurei.
Il legame del rapporto aureo col pentagono, la simmetria quintupla e i poliedri platonici sono interessanti di
per sé, e furono più che sufficienti a destare la curiosità degli antichi greci. La predilezione dei pitagorici per
pentagono e pentagrammi e alla sua teoria che questi rappresentassero i principi della struttura materiale
del cosmo, spinsero generazioni di matematici a prodigare tempo e fatica ai teoremi riguardanti il rapporto
aureo. Ma esso non avrebbe raggiunto il prestigio e l’ aura quasi mistica da cui infine è stato circondato
senza l’ aiuto di alcune ulteriori proprietà algebriche.
Iniziamo col calcolare il valore di ф. Dato il segmento AB e diviso ( secondo il rapporto aureo ) nel punto C,
definiamo AC = x e BC = 1:
Notiamo come si possa scrivere che
quindi
e
perciò le soluzioni sono:
La soluzione positiva fornisce il valore del rapporto aureo: 1,6180339887…... . Analizziamo ora alcune
proprietà legate a questo risultato.
Si provi ad elevare l’ intero numero al quadrato e successivamente si faccia il reciproco ( ); curioso, vero ?
Il quadrato è 2,6180339887…. mentre il suo reciproco è 0,6180339887…..Le cifre dopo il punto decimale
sono esattamente le stesse!
Paul S. Bruckman, di Concord in California, ha pubblicato nel 1977 una graziosa poesia intitolata Media
costante :
La media aurea non è affatto banale
Tutt’ altra cosa che un comune irrazionale.
Capovolta, pensate un po’,
resta se stessa meno l’ unità;
se poi di uno la aumentate
quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.
Nel mondo “ aureo “ sono comuni le belle sorprese, analizziamo le seguenti:
data l’ espressione
un modo elegante per risolverla è quello di considerare “ X” come valore ricercato, per cui
elevando tutto al quadrato si ottiene
Si noti ora che il secondo addendo del membro di destra è uguale al nostro “ X” originario. Perciò
Ma questa è l’ equazione del rapporto aureo! La nostra espressione senza fine è perciò uguale a ф.
Occupiamoci ora di un tipo molto diverso di espressioni senza fine, questa volta basato sulle frazioni invece
che sulle radici quadrate:
Si tratta di un caso particolare di un tipo di entità matematiche note come “ frazioni continue”.
Per risolvere l’espressione si procede in modo analogo al primo esempio per cui
Si noti che siccome la frazione continua è illimitata, il denominatore del membro di destra dell’ equazione è
uguale a “ X” stesso. L’ equazione può essere scritta :
Moltiplicando ambo i membri per “ X”, otteniamo
cioè, ancora una volta, la formula del rapporto aureo!
La poesia Media costante di Paul S. Bruckman non dimentica nemmeno questa proprietà:
Scritta come frazione con continuità,
è uno, uno, uno,…..fino a sazietà;
Così chiara che più chiara alcuna non resta
( non vi comincia a girare un po’ la testa ? )
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……la riconoscete? Non a caso questa sequenza è stata chiamata “ l’ oro
di Fibonacci”, osservate:
1/1
/
1,00000000
3/2
5/3 = 1,66666666
8/5 = 1,60000000
13/8 = 1,62500000
21/13 = 1,61538500
34/ 21 = 1,61904800
55/34 = 1,61764700
89/55 = 1,61818200
144/89 = 1,61797800
233/144 = 1,61804600
377/233 = 1,61802600
610/377 = 1,61803700
987/610 = 1,61803300
Riconoscete l’ ultimo rapporto? Procedendo lungo la successione di Fibonacci, il rapporto tra un termine e il
suo precedente oscilla intorno a un numero al quale si avvicina sempre di più: il rapporto aureo!
Un mondo di spirali
Rivolgiamo ora la nostra attenzione al rettangolo aureo.
Il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a ф. Immaginiamo di “ sottrarre” da questo
rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore ( vedi figura sopra ). IL risultato sarà un piccolo
rettangolo, che è a sua volta un rettangolo aureo. Le dimensioni del rettangolo “ figlio” sono minori di
quelle “ genitore” di un fattore pari a ф. Proseguendo si genera una serie di rettangoli aurei sempre più
piccoli, di dimensioni ridotte, ogni volta, di un fattore uguale a ф. Quello aureo è l’ unico rettangolo che
consente, togliendo un quadrato dalla sua area, di ottenere un rettangolo simile al primo. Tracciando due
diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli, “genitore” e “figlio”, si trova che tutte le
diagonali passano per un punto. Si può dire che una serie geometrica di rettangoli aurei “converga” intorno
a quel punto senza mai raggiungerlo.
Ispirandosi alle proprietà “divine” attribuite al rapporto aureo, il matematico Clifford A. Pickover ha
suggerito di chiamare tale punto “l’ occhio di Dio”
Partendo da questa serie di rettangoli, che si ottengono sottraendo un quadrato a un rettangolo aureo, se
si congiungono i punti in cui questo ”vortice di quadrati” divide i lati secondo il rapporto aureo, si ottiene
una spirale logaritmica.
La spirale logaritmica si può ricavare anche da un triangolo aureo. Partendo da questo triangolo ( un
triangolo isoscele in cui il rapporto di lunghezza tra i lati uguali e la base è pari a ф ) e bisecando un angolo
alla base si ottiene un triangolo aureo più piccolo. Continuando indefinitamente a bisecare gli angoli alla
base si forma un “ vortice” di triangoli sempre più piccoli, e collegando con una curva i vertici dei triangoli si
ottiene una spirale logaritmica.
La spirale logaritmica è anche chiamata “ spirale equiangola “, un nome coniato nel 1638 dal matematico e
filosofo francese Cartesio. L’ aggettivo “ equiangola “ rispecchia una proprietà unica della spirale
logaritmica: tracciando una linea dritta dal polo a un punto qualunque della spirale, questa intercetta la
curva formando sempre lo stesso angolo. Per questa caratteristica così particolare, e poiché si forma all’
interno di un rettangolo e un triangolo aurei, la spirale logaritmica è anche definita come “ SPIRALE
AUREA”.
Incredibilmente sia la natura sia il corpo umano seguono questa curva così particolare e perfetta; il motivo
è oscuro ( o forse come sostenevano gli stoici questo è il migliore dei mondi possibile ….! ).
