Derivata di una funzione

Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue
applicazioni nel campo matematico e fisico.
Introduzione
In matematica la derivata di una funzione è uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo
infinitesimale. Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato
geometrico: si vedrà che la derivata di una funzione f in un punto x0 è la misura del coefficiente
angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico della funzione nel punto P(x0,f(x0)).
Significato geometrico della derivata
Per capire il significato geometrico della derivata bisogna saper trovare la tangente ad una curva in
un suo punto. A tal fine, fissiamo su di una
curva un punto P e quindi un altro punto P1,
sempre sulla curva, diverso da P e tracciamo
la retta secante PP1. Ora basterà far scivolare
O
P1 sulla curva verso P e quando P1 sarà
P
coincidente con P avremo la retta tangente
alla curva in P. In figura sono state tracciate
delle semirette invece che rette per rendere
più semplice la lettura della figura.
Definizione di retta tangente ad una curva
Si definisce tangente ad una curva in un punto PO la posizione limite della retta secante PPO al
tendere del punto P della corda al punto PO
Definizione di rapporto incrementale
Per poter dare la definizione di derivata di una funzione, é necessario introdurre la nozione di
rapporto incrementale calcolato nel punto xo . Esso è così definito:
y f ( x)  f ( x0 )

x
x  xo
(1)
dove
x  x  x0 è detto incremento della variabile indipendente
y  f ( x)  f ( x0 ) è detto incremento della funzione
1
Poiché x  x  x0 , il rapporto incrementale sarà talvolta utilizzato nella forma:
y f ( x0  x)  f ( x0 )

x
x
(2)
Le espressioni (1) e (2) sono equivalenti, differiscono solo per il fatto di essere espresse attraverso
variabili differenti: la prima è in funzione di x, la seconda è in funzione di x .
Nel seguente paragrafo verrà messa in evidenza una importante peculiarità geometrica del rapporto
incrementale.
Interpretazione geometrica del rapporto incrementale
Sia y  f ( x) una funzione la cui grafica sia
quella rappresentata in figura1 e siano
A( xo ; f ( x0 ))
punti
del
e
suo
B  x0  x; f  x0  x   due
grafico.
Calcolando
il
coefficiente angolare della retta passante per i
punti A e B utilizzando la nota formula:
m
y A  yB
x A  xB
si ottiene:
Figura 1. Rapporto incrementale
m
f ( xo  x)  f ( xo ) y

x
x
Risultato che ci permette di interpretare il rapporto incrementale come il coefficiente angolare della
retta secante il grafico della funzione nei due punti A( xo ; f ( x0 )) e B  x0  x; f  x0  x   .
Derivata di una funzione
Una volta definito il rapporto incrementale e chiarito il suo significato geometrico, Leibniz
risolvette definitivamente ed in modo rigoroso il problema di determinare la retta tangente il
grafico di una funzione in un punto introducendo il concetto di derivata.
Definizione
La derivata di una funzione nel punto xo, indicata con il simbolo f '( xo ) , è definita come il limite, se
esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere dell’incremento x a 0, cioè:
2
f '( xo )  lim
x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
.
x
Nella successiva figura2 è possibile notare come, riducendo l'incremento x ad una quantità
infinitamente piccola ( x  0 ), la secante s tende alla tangente il grafico della funzione nel punto
A, cioè la tangente
t
assume la secante
in A è la posizione limite che
s
quando B   A movendosi
lungo la curva. Pertanto la derivata f '( xo ) assume il
significato di coefficiente angolare della tangente
t
alla
funzione nel punto x0. Dalla formula utilizzata per
calcolare l’equazione di una generica retta, noti il
coefficiente angolare m e le coordinate di un punto P(xo,
yo) della stessa retta:
y - y0  m  x - x0 
Figura 2.
è possibile ricavare l'equazione della retta tangente alla
curva in xo:
y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )
Notazioni
La derivata nel punto x0 viene indicata con uno dei seguenti simboli:

Secondo la notazione di Lagrange

Secondo la notazione di Cauchy

Secondo la notazione di Leibniz:

La prima che compare storicamente:
3
S : retta secante; t : retta tangente
ancora oggi usata in fisica.

Secondo la notazione di Newton:
Applicazioni della derivata nel campo della matematica e della fisica
Teorema della crescenza-decrescenza
Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b).

Se
, allora la funzione è strettamente crescente in (a,b)

Se
, allora la funzione è strettamente decrescente in (a,b)
Il teorema non è invertibile, cioè una funzione strettamente crescente non ha necessariamente
derivata ovunque positiva. Ad esempio, f(x) = x3 è strettamente crescente, ma ha derivata nulla
nell'origine (dove c'è un punto di flesso).
Massimi e minimi di una funzione
Siccome la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione, e'
intuitivo che quando la derivata vale zero,
la tangente e' parallela all'asse x. La
funzione presenta quindi un massimo od
un minimo.
Nella figura di seguito riportata è visibile
il segno della derivata riportata sopra il
grafico ed uno schema delle conseguenze.
Massimo: f’(x1)=0 e f’(x)>0 per x<x1 ; f’(x)<0 per x>x1
4
Minimo: f’(x1)=0 e f’(x)<0 per x<x1 ; f’(x)>0 per x>x1
5
Tabella delle principali derivate utilizzate nelle scuole medie superiori
6
Funzione
Derivata
y = costante
y' = 0
y=x
y' = 1
y = xn
y' = n xn-1
y=
y' =
x
1
2 x
y = senx
y' = cosx
y = cosx
y' = - senx
y' = 1/cos2x
y = tangx
oppure
y' = 1 + tang2x
y = cotgx
y' = -1/sen2x
y = ex
y' = ex
y = ax
y' = ax log a
y = log x
y' = 1/x
y = loga x
y' = 1/(xloga) = (logae)/ x
y' =
y = arcsen x
1
(1  x 2 )
y' = -
y = arccosx
1
(1  x 2 )
y = arctang x
y' = 1/(1 + x2)
y = arcctgx
y' = - 1/(1 + x2)
Teoremi sul calcolo delle derivate
7
Teorema dell’addizione/sottrazione:
D  f ( x)  g ( x)  D[ f ( x)]  D  g ( x)
Teorema della moltiplicazione:
D[ f ( x)  g ( x)]  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
Dal quale segue il teorema del prodotto di una costante per una funzione:
D[k  f ( x)]  k  f ' ( x)
Teorema del quoziente:
 f ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
D

[ g ( x)]2
 g ( x) 
Equazione della tangente e della normale a una curva.
Data una curva di equazione y = f (x), come abbiamo visto l’ equazione della tangente ad una curva
y = f(x) nel punto P0 (x0 ,y0) è y-y0=f’(x0) (x-x0).
Si chiama normale alla curva nel punto P0, la retta perpendicolare alla tangente alla curva in P0.
L’ equazione della normale alla curva y = f(x) in un punto P0 (x0 ,y0),in cui risulti f’(x0)≠ 0 è
dunque :
y  y0  
1
 x  x0 
f '( x0 )
Il moto rettilineo
Lo spazio percorso da un punto mobile che si muove di moto rettilineo è espresso , in funzione del
tempo t, dall’equazione :
s = s (t).
Per definizione, la velocità media di un punto mobile è espressa dalla formula
vm 
s
t
pertanto la velocità istantanea di un punto mobile , a un da dato istante , è uguale alla derivata
rispetto al tempo dello spazio percorso :
v (t) = s '(t )  lim
t 0
8
s
t
Supponiamo che all’istante t la velocità del punto sia uguale a v.
Se il moto non è uniforme, nell’intervallo di tempo Δt, misurato a partire dall’istante t, la velocità
varierà e subirà un incremento Δv. Pertanto l’accelerazione media sarà
am 
v
.
t
Per calcolare l’accelerazione istantanea basterà calcolare:
v
t  0 t
a  lim am  lim
t 0
in altri termini, l’accelerazione all’istante t è uguale alla derivata della velocità rispetto al tempo:
a  v '(t ) 
9
dv
dt