Tema di Matematica
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
PROBLEMA 1
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione y =
f(x), dove è:
a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y<0.
b) Trovare l’equazione della parabola passante per l’origine O degli assi e avente l’asse di simmetria parallelo
all’asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa -1 (N.B.: si dice che una
curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono
perpendicolari).
c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa -1 ha in comune con k altri punti oltre a quello
di tangenza.
d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x.
e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla
funzione f(x) assegnata, relativamente all’intervallo
.
PROBLEMA 2
Si considerino le lunghezze seguenti:
[1]
,
,
dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.
,
a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non
degenere.
b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o
minima.
c) Verificato che per
le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione
geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo.
d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca
per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a:
calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due
piani DBC e ABC.
QUESTIONARIO
1. Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia
spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il
trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a
disposizione sono insufficienti.
2. Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali
e
e volumi
Calcolare il valore del rapporto
3. Considerati i numeri reali a, b, c, d - comunque scelti - se a>b e c>d allora:
A)
a+d
>
B)
a-d
>
C)
ad
>
e
. Si sa che
.
b+c;
b-c;
bc;
D)
Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.
1. Si consideri la seguente proposizione: “La media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è
maggiore della loro media geometrica”. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.
2. Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:
sia un’identità.
3. Si consideri la funzione:
Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo
.
4. Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f(x) tale che:
f(x) =
5. La funzione reale di variabile reale
, con x > 0.
è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1,3] e derivabile
nell’intervallo aperto (1,3). Si sa che
e inoltre
in maniera esauriente perché risulta
.
per ogni x dell’intervallo (1,3). Spiegare
6. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che
soddisfano alla seguente equazione:
Tale luogo è costituito da:
A)
un
B)
due
C)
infiniti
D) nessun punto.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
punto;
punti;
punti;
1. La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che:
=a,
dove a, b sono numeri reali.
=b,
Determinare, se esistono, i valori a, b per cui risulta:
= ln 2 e
= ln 4 .
Soluzione Problema 1
a) Dominio D R 3 2 . La funzione f (x) è positiva in P 3 2 , e negativa in
N ,3 2 .
b) La parabola richiesta è del tipo y ax 2 bx c e deve verificare le seguenti
condizioni: y (0) 0 , poiché passa per l’origine; y (1) 3 , poiché la parabola interseca
1
la curva data nel punto di ascissa x 1e f (1) 3 ; y ' (1)
, poiché nel
f ' (1)
punto di ascissa –1 la parabola deve avere retta tangente ortogonale alla retta
tangente alla curva k. La funzione è derivabile nel suo dominio e la sua derivata è:
x( x 3 6 x 4)
, f ' (1) 11 . Le tre condizioni conducono al sistema
f ' ( x)
( x 3 2) 2
c 0
34 2 67
x.
a b 3 che, risolto, fornisce l’equazione della parabola: y x
11
11
b 2a 1
11
c) L’equazione della retta tangente in 1,3 alla curva k è y 11x 8 che intersecata
con la funzione dà luogo alla seguente equazione: 11x 4 8 x 3 x 2 22 x 18 0 . Ci si
aspetta una radice doppia in x 1, poiché ivi la curva k è tangente alla retta.
Dividendo il polinomio di quarto grado per il trinomio x 2 2 x 1 si ottiene il trinomio
11x 2 14 x 18 che uguagliato a zero non ha soluzioni reali. Quindi la curva k non ha
ulteriori punti comuni con la retta.
d) I punti con retta tangente parallela all’asse delle x si ottengono ponendo la derivata
prima uguale a zero, quindi per
x 0 x 3 6 x 4 0 . L’equazione di terzo grado richiede un confronto grafico fra
y x 3 e y 6 x 4 :
y
I punti richiesti sono:
x 0 x , con 0 2 / 3
0
2/3
x
e) Per l’enunciato del teorema di Lagrange si fa riferimento ai testi. La funzione non
verifica le ipotesi del teorema poiché non è definita nel punto x 3 2 [ 2 ,0] e,
quindi, non è applicabile il teorema.
PROBLEMA 2
a) Affinché tre grandezze possano essere i lati di un triangolo euclideo non degenere, la
somma di due di esse deve essere maggiore della terza; quindi si ottiene un sistema di
tre disequazioni per le tre coppie di grandezze possibili:
a 2 x a x 2a x
a x 2a x a 2 x
2a x a 2 x a x
a
2
b) Dalla
formula
di
Erone,
A p( p l1 )( p l 2 )( p l3 ) .Nel
che risolte danno 0 x
l’area
di
nostro
un
triangolo
si
caso
determina
p=2a,
l1 a 2 x , l 2 a x , l3 2a x A 2a(2 x 3 ax 2 a 2 x) : funzione algebrica il cui
dominio (-, -a] [0 ,a/2] contiene l’intervallo di significato geometrico gia’ indicato
nel punto a). La funzione A(x ) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato
[0 , a/2]; pertanto è applicabile il teorema di Weierstrass che garantisce l’esistenza del
minimo assoluto e del massimo assoluto nell’intervallo considerato. Il minimo assoluto
vale zero per x=0 e x=a/2, ma queste soluzioni non sono accettabili poiché
rappresentano triangoli degeneri.
c) Per x=a/4 si ha: l1 3 / 2 a ; l 2 3 / 4 a ; l3 7 / 4 a (valori accettabili, come previsto)
Attribuita ad un segmento u di lunghezza arbitraria la misura a/4, si costruiscono i
segmenti l1 6u , l 2 3u , l3 7u . Puntando il compasso agli estremi di l3 con
apertura rispettivamente l1 , l 2 si individua il terzo vertice come intersezione degli archi
tracciati. Detto
l’angolo opposto al lato maggiore l 3 si può calcolare cos
l l 2 l3
attraverso il teorema del coseno: cos = 1
= 1/9 < 0 : l’angolo è
2l1 l 2
ottuso e il triangolo ottusangolo.
2
2
2
d)
D
L’angolo formato dai due piani DBC e ABC è l’angolo in
H appartenente al triangolo rettangolo AHD. Si può
determinare tg = AD / AH; AH = 2 Area (ABC) / BC =
A
C
2 2a (a / 2)(5a / 4)( a / 4)
2 5
7
a ; tg =
=
.
7
( 7 a / 4)
2 5
Con l’approssimazione di un grado sessagesimale = 57°
H
B
Soluzione Questionario
1. Siano rispettivamente a , 4a , h le misure della base minore, della base maggiore e
dell’altezza del trapezio isoscele. Il volume del solido ottenuto facendo ruotare il
trapezio attorno alla base maggiore è dato da V ‘= 2 h2 a. Il volume del solido
ottenuto facendo ruotare il trapezio attorno alla base minore è dato da V “ = 3 h2 a. Il
rapporto fra i due volumi pertanto non dipende dai valori di a e di h e vale 2/3.
2. Due tetraedri regolari sono poliedri simili. Per essi valgono le seguenti proprietà: detto
R il rapporto fra elementi lineari corrispondenti (ad esempio spigoli), il rapporto fra
aree corrispondenti è dato da R2 e il rapporto fra volumi corrispondenti è dato da R3.
Pertanto se A ‘ / A “ = 2 R2 = 2 R = 2 R3 = V ‘ / V” = 2 2 .
3. L’alternativa corretta è B. La relazione proposta equivale a: a + c > b + d che è vera ,
data l’ipotesi e le proprietà delle relazioni di ordinamento. In ogni caso per escludere le
alternative A , C , D basta un solo esempio numerico : a = 2 , b = 1 , c = 5 , d = -1 .
4. La proposizione è falsa. Dati due numeri positivi a e b la loro media aritmetica è:
ab
ma
, la media geometrica è: m g ab . Vale la disuguaglianza m a m g ,
2
m a m g se i due numeri reali positivi sono uguali. Pertanto non è vero che la media
aritmetica sia sempre maggiore di quella geometrica.
5.
1
a
b
a( x 1) b( x 3) (a b) x (a 3b)
.
x 2x 3 x 3 x 1
x 2 2x 3
x 2 2x 3
a b 0 a 1 / 4
Per il principio di identità dei polinomi si ha
;
a 3b 1 b 1 / 4
2
6. f(x) è una funzione polinomiale, e quindi continua su R ; in particolare è continua
nell’intervallo chiuso e limitato proposto dal testo. Vale pertanto il teorema di
Weierstrass che assicura l’esistenza del minimo assoluto e del massimo assoluto in
tale intervallo.
7. La funzione integrale si può scrivere come somma delle due funzioni integrali, con a>0:
f ( x)
x 1
x 1
x
x
a
a
ln t dt
ln t dt ln t dt f1 ( x 1) f 2 ( x) .
df ( x 1) df 2 ( x)
f ' ( x) 1
ln( x 1) ln x
dx
dx
8. Alla funzione f(x) nell’intervallo [1,3] è applicabile il teorema di Lagrange: c (1,3)
f (3) f (1) f (3) 1
f (3) 1
2 , quindi
tale che f ' c
. Poiché 0 f ' (c) 2 , 0
3 1
2
2
1 f (3) 5 .
9. L’alternativa corretta è la B. Il dominio della funzione assegnata è l’insieme 1,1.
Pertanto il luogo geometrico è costituito da due punti: (-1, 0) (1, 0).
10. Applicando la sostituzione t 2 x, dt 2dx , per le proprietà degli integrali definiti si può
3
1 6
1
scrivere: ln 2 f (2 x)dx f (t )dt b b = 2 ln 2
0
0
2
2
2
6
3
6
1 6
1 0
1
ln 4 f (2 x)dx f (t )dt f (t )dt f (t )dt f (t )dt f (t )dt
1
0
2 0
2 2
2 2
0
1
1
1
b a ln 2 a .
ln 4 ln 2 a
a 2 2 ln 2 ln 2 2 ln 2
2
2
2
