NUMERO DI PRIMI MINORI

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NUMERO DI PRIMI MINORI O UGUALE a x: ∏(x)
APPLICANDO LA PRODUTTORIA DEI NUMERI PRIMI
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
This paper describes the prime counting function that gives the number of
primes less than or equal to x through a formula without using logarithms
using instead the product of prime numbers.
Also described is an approximate method to find the n-th prime number
and some observations.
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Indice:
1. NUMERO DI PRIMI MINORI O UGUALE a x: ∏ (x) APPLICANDO LA PRODUTTORIA DEI NUMERI PRIMI..... 3
2. CALCOLO APPROSSIMATO DELL’x-ESIMO NUMERO PRIMO px APPLICANDO LA PRODUTTORIA DEI
NUMERI PRIMI...................................................................................................................................................................... 7
3. OSSERVAZIONI ................................................................................................................................................................. 9
4. RIFERIMENTI .................................................................................................................................................................. 13
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1. NUMERO DI PRIMI MINORI O UGUALE a x: ∏(x) APPLICANDO
LA PRODUTTORIA DEI NUMERI PRIMI
La Formula prodotto di Eulero o più semplicemente il Prodotto di Eulero è la
seguente:
∞
1
1
=∏
−s
s
n =1 n
p 1− p
ζ (s ) = ∑
valida per Re(s) > 1
dove ζ (s ) è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro
dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.
Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono
tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi.
Poniamo s=1 e otteniamo:
Π p≤ x
p
= eγ * ln(x) = 1,78107241799 * ln(x)
p −1
∏(x) ≈
per x→∞
eγ x
C p≤ x −2
Dal documento “CALCOLO DEL NUMERO DI NUMERI PRIMI ∏(x)
APPLICANDO LA SERIA ARMONICA” si ha:
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x
∏(x) ≈
Hx −
8
5
per x →∞
dove
∞
Hn= ∑
n =1
1
1 1 1 1 1
=1+ + + + + +…
n
2 3 4 5 6
La serie armonica diverge ma possiamo ricavare delle ottime approssimazioni
della somma dei primi n termini. Si ha anche che:
∞
Hn= ∑
n =1
1
1
=ln(n)+γ+O  
n
n
Dalla formula precedente
∏(x) ≈
eγ x
C x −2
Si ricava:
Π p≤ x
p
= eγ * ln(x)
p −1
per x→∞
∞
1
= ln(x)+γ
x =1 x
Hx= ∑
per x→∞
Ovviamente si ha sempre ∏x > Hx
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γ
∏p≤x = e (Hx – γ)
per x→∞
e quindi
γ
γ
∏p≤x = e Hx - γe ≈ 1,78107241799 Hx - 1,0280629
dove γ è la costante di Eulero –Mascheroni che vale:
γ = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082…
eγ = 1,7810724179901979852365039426639…
Notiamo che esiste una connessione tra π, Φ e γ. Abbiamo infatti le seguenti
connessioni:
π – (Φ)2 = 3,141592654 – [(√5+1)/2]2 = 3,141592654 – 2,618033988 = 0,523558665;
(π/Ф2) / 2 = π/[(√5+1)/2]2 / 2 = 0,5999908076040;
π/2 – [(√5+1)/2 – (√5-1)/2] = 1,570796327 – (1,618033989 – 0,618033989) =
= 0,570796327
Dove 0,523558665 0,599990807 e 0,570796327 sono tutti valori molto vicini,
soprattutto l’ultimo, al valore della costante di Eulero-Mascheroni. E sappiamo
che π e Φ sono connesse alle stringhe attraverso le relazioni di Ramanujan che
illustriamo qui di seguito.
Ricordiamo che 1 / Φ = 0,61803398 =
5 −1
2
(Peitgen et al. 1986). Un tale fattore compare anche nella famosa identità frattale di
Ramanujan (Hardy 1927):
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0,618033 = 1 / φ =
5 −1
= R(q) +
2
5
1+
 1 q f 5 (−t ) dt 
3+ 5

exp
1/ 5
4/5 
∫
2
 5 0 f ( −t ) t 
e




3 
5

π = 2Φ −
R(q) +
5

q
20
 1
3+ 5
f (−t ) dt  

1+
exp

1/ 5
4/5  
∫
2
 5 0 f (−t ) t  

dove
Φ=
5 +1
2
Inoltre, ricordiamo che π deriva anche dalla seguente identità (Ramanujan’s paper:
“Modular equations and approximations to π” Quarterly Journal of Mathematics, 45
(1914), 350-372.):
π=

24
log 
142


 10 + 11 2 

+


4


 10 + 7 2  




4


da cui ricaviamo:
24 =
π 142

log 


 10 + 11 2 

+


4


 10 + 7 2  




4


che connette π ai “modi” (24) che corrispondono alle vibrazioni fisiche delle
stringhe bosoniche
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2. CALCOLO APPROSSIMATO DELL’x-ESIMO NUMERO PRIMO
px APPLICANDO LA PRODUTTORIA DEI NUMERI PRIMI
Un’approssimazione per trovare l’x-esimo numero primo px è la seguente::
px ≈ e^
Π p≤ x
eγ
Notiamo che per il numero primo 83 abbiamo i seguenti valori:
Numero primo 83:
produttoria = 8,133249987; ∏(x) = 24,10190361 e px = 96,22373159 .
Quindi circa i tre numeri 8 , 24 e 96. Ma, come ben sappiamo, il numero 8 è un
numero di Fibonacci ed è connesso con i “modi” che corrispondono alle vibrazioni
fisiche di una superstringa attraverso la seguente funzione di Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

e 4 φw' (itw') 
1 
. (1)
8=
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




Invece, riguardo al numero 24 (e quindi 96 = 24 * 4), esso è connesso ai “modi” che
corrispondono alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche attraverso la
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seguente funzione di Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
−
w'

 t w'
4
(
)
'
e
φ
itw
w
'

24 = 
. (2)
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




Notiamo inoltre come il valore 8,133249987 sia molto vicino a 8,12461180, il valore
24,10190361 sia molto vicino a 24,27050983 ed il valore 96,22373159 sia molto
vicino a 96,38580890 tutti valori connessi alle frequenze del sistema musicale aureo
basato quindi sul rapporto aureo Φ = (√5 + 1) / 2 .
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3. OSSERVAZIONI
Come in tutte le approssimazioni al problema della generazione di una lista dei
numeri primi e/o del calcolo dell’ n° numero primo, sappiamo che purtroppo non
potremo mai raggiungere la perfezione assoluta, per via delle irregolarità nella
distribuzione dei numeri primi, per esempio i gap tra due numeri consecutivi, dove
qualsiasi approssimazione fallisce, inserendo approssimazioni di numeri primi che
invece nei gap non esistono. Per esempio nelle nostre Tabelle Produttoria, tra 113
e 127 (gap di 14 unità senza numeri primi, mentre per la differenza media locale
(un numero primo ogni quattro unità, ci dovrebbero essere 14/4 = 3,5 , la nostra
approssimazione mostra invece 13 possibilità di numeri primi, nessuna delle quali
approssima un numero primo reale, poiché in tale intervallo tra 113 e 127 non ne
esistono. Così anche per tutti gli altri gap, che comunque, per la congettura di
Cramer, non dovrebbe superare il quadrato del logaritmo del numero primo
inferiore. Per es., in questo caso,
(ln 113)2 = (4,72...)2 = 22,34...
127 – 113
22,34...
= 14/22,34 = 0,6266.... < 1
“La congettura di Cramér, formulata dal matematico svedese Harald Cramer nel 1936,
afferma che
lim sup
n →∞
p n+1 − p n
(ln p n )2
=1
Nella 4° di copertina del libro di John Derbishire, leggiamo che ( Rif.2):
“Nell’agosto 1859 Bernhard Riemann, matematico giovane e ancora poco
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noto, presentò all’accademia di Berlino un articolo intitolato Sul numero dei
primi minori di una certa grandezza . In quella circostanza discusse per la
prima volta l’ipotesi che prende il suo nome è passata alla storia come uno
di più famosi problemi irrisolti della matematica. Dimostrare questa ipotesi
permetterebbe di trovare una formula per generare l’elenco dei numeri primi,
cosa che avrebbe conseguenze fondamentali non solo per la scienza
matematica, ma anche per la fisica quantistica e per la sicurezza
informatica...”
Siamo d’accordo per le conseguenze in matematica e fisica quantistica,
ma non tanto per la sicurezza informatica. Abbiamo già elenchi lunghissimi di
numeri primi, che però non aiutano affatto eventuali violazioni della
crittografia RSA basata sui numeri primi e numeri RSA come prodotti
di due numeri primi lunghi qualche centinaio di cifre. Occorrerebbero piuttosto
elenchi di coppie di numeri primi, come per esempio le coppie di numeri
primi gemelli, le coppie di Goldbach , o dei numeri di Sophie - Germain,
ecc. con rispettivi rapporti r = q/p di circa 1, variabile tra 1 e 2,25, e di
circa 2. Escludiamo i prodotti tra di due numeri gemelli, facilmente
fattorizzabili con l’algoritmo di Fermat a ritroso, e i prodotti di due
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numeri di Sophie – Germain (p, 2p+1, rapporto r = 2p+1/p ≈ 2) , poiché ad un
rapporto r di circa 2 corrisponde una percentuale di p rispetto ad n = √N pari a
circa il 70% di n, e quindi anch’esso facilmente fattorizzabili. ....”. Vedi Nota 1
E tutto ciò, senza scomodare l’ipotesi di Riemann, che però permette di calcolare
π (n) con assoluta precisione, a differenza delle possibili approssimazioni, compresa
le nostre (Rif. 2 e questo lavoro ) e altre simili elaborate da altri Autori.
Nota 1
Brano tratto dal nostro lavoro “Congettura forte e debole di Goldbach”,già sul
nostro sito:
“...Conseguenze della dimostrazione della congettura di Goldbach si potrebbero
avere per la fattorizzazione più veloce dei numeri RSA con rapporto r = q/p
variabile da 1 a 2 o poco più. Per esempio, per un rapporto r ≈ 2, p è ≈ 70% di n =
√N , e la somma p + q è di poco superiore a 2n ( esattamente 2n per q e p numeri
primi gemelli). Per cui essendo q ≈ 2p, p + q ≈ 3p , e quindi p ≈ 2n/3 e q ≈ 3n / 2,
formule interessanti per numeri RSA con rapporto r ≈ 2 .
Il problema è che è difficile trovare il rapporto esatto conoscendo solo N = p*q,
tranne che nei casi in cui p e q sono primi gemelli o molto vicini, e quindi con
rapporto leggermente superiore ad 1, poiché in tal caso la parte decimale di n è
molto alta, tipo 0,9…, mentre per rapporti più alti , da 1 a 2, tale parte decimale
diventa caotica è non più utilizzabile per stimare il rapporto r = q/p (vedi Rif.
finali sulla Fattorizzazione e i numeri RSA , in particolare 2c) sulla nostra “Ipotesi
percentuale”, non ancora dimostrata, e 6a) sul nostro teorema fondamentale della
fattorizzazione, TFF, da noi recentemente elaborato e dimostrato).
La congettura di Goldbach è stata già usata per costruire algoritmi con cui tentare
la fattorizzazione numeri RSA, ma senza grossi risultati, poiché la crittografia
RSA è ancora vigente. Tali algoritmi, spesso basati sulla fattorizzazione alla
Fermat, potrebbero essere migliorati in futuro, ma non è questo il nostro scopo
principale (che è quello di conoscere bene i numeri primi e le loro connessione, in
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questo caso Goldbach e fattorizzazione più o meno veloce).
Del resto, per fattorizzare un numero RSA -2048, di 617 cifre, occorrerebbero
circa 15 miliardi di anni (l’età dell’Universo), e con la nostra formula p ≈ 2n/3 ci
metteremo solo 5 miliardi di anni al massimo, ma non è proprio un gran progresso.
Fattorizzare numeri RSA di 200 o 300 cifre non è però più un gran problema con i
calcoli a mezzo GRID o supercomputer, e tali numeri saranno sostituiti dall’anno
prossimo, 2014, con numeri RSA - 2048 o anche più grandi, per una maggiore
sicurezza informatica*. Tuttavia, la congettura di Goldbach, apparentemente
inutile, potrebbe essere, se studiata bene a fondo, essere utile per algoritmi di
fattorizzazione più veloci. L’algoritmo di Fermat tiene conto della semisomma s =
(p+q)/2, ed è molto efficiente per numeri p e q gemelli o comunque molto vicini,
per cui sarebbe sconsigliabile usarli per formare grossi numeri RSA.
Solo in questo caso la congettura di Goldbach, per via della suddetta semisomma s,
e della semidifferenza d se molto piccola, sembrerebbe allora veramente pericolosa
per la crittografia RSA”.
Anche qui, senza scomodare una eventuale dimostrazione dell’ipotesi di Riemann!
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4. RIFERIMENTI
1) Wikipedia
2) CALCOLO DEL NUMERO DI NUMERI PRIMI ᴨ(x) APPLICANDO LA
SERIA ARMONICA
3) TABELLE PRODUTTORIA FINO A x<100.000
4) Congettura di Cramer, Wikipedia