Quesito PER VOI

Quesito PER VOI - Febbraio 2005
Dimostrare che in ogni quadrilatero convesso il prodotto delle lunghezze delle diagonali vale
almeno il doppio dell'area. In quali casi vale esattamente il doppio?
Pubblichiamo le soluzioni ricevute da M. Cammarata.
Soluzione 1
Per i quattro vertici del quadrilatero si conducano le parallele
alle diagonali. Tali parallele definiscono un parallelogrammo
la cui area è il doppio dell’area del quadrilatero. Ma l’area di
un parallelogrammo è sempre minore o uguale al prodotto di
due lati non paralleli. Essendo tali lati congruenti alle
diagonali, segue la tesi. L’uguaglianza vale se e solo se il
parallelogrammo è un rettangolo, ossia se e solo se le
diagonali sono ortogonali.
Soluzione 2
Si prolunghi una diagonale, per esempio BD (v. figura a lato),
di un segmento DE = BO. Le coppie di triangoli BOC, DEC e
ABO, ADE sono equivalenti per costruzione, e di conseguenza
il triangolo ACE è equivalente al quadrilatero ABCD. Essendo
EO maggiore o uguale all’altezza del triangolo ACE, segue che
l’area di ACE è minore o uguale al semiprodotto AC·OE/2,
ossia al semiprodotto delle diagonali, da cui la tesi.
L’uguaglianza vale se e solo se EO coincide con l’altezza di
ACE, ossia se e solo se le diagonali sono ortogonali.
Soluzione 3.1 (questa e le tre seguenti sono varianti di una stessa
soluzione)
Indichia mo con a, b, c, d le misure dei quattro segmenti in cui le
diagonali si dividono scambievolmente. Essendo b ≥ altezza
(ABC) e d ≥ altezza (ACD), segue che l’area del quadrilatero è
minore o uguale alla somma di semiprodotti (a+c)b/2 + (a+c)d/2 =
(a+c)(b+d)/2, da cui la tesi. L’uguaglianza vale se e solo se le
diagonali sono ortogonali.
E
D
O
A
C
B
D
d
A
a
c
b
C
B
Soluzione 3.2
Con la stessa notazione della Soluzione 3.1, sia inoltre α l’angolo tra le diagonali. Detta S l’area del
quadrilatero, ricordando che l’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno
dell’angolo compreso (e che angoli supplementari hanno lo stesso seno), si ha 2S = absenα +
bcsenα + cdsenα + adsenα = (ab + bc + cd + ad)senα = (a+c)(b+d)senα ≤ (a+c)(b+d) c.d.d.
L’uguaglianza vale se e solo se senα = 1, ossia se e solo se le diagonali sono ortogonali.
Soluzione 3.3
Sempre con riferimento alla notazione della Soluzione 3.1, le quantità a, b, c, d possono
interpretarsi come moduli di vettori con origine nel punto di intersezione delle diagonali.
È allora 2S = |a×b| + |b×c| + |c×d| +|d ×a| = (essendo i quattro prodotti vettori paralleli ed equiversi)
= |a×b + b×c + c×d + d×a| = |a×b – c×b + c×d – a×d |= |a – c| × |b – d| ≤ |a – c| |b – d| = AC·BD,
con il segno di uguaglianza che vale se e solo se i vettori a – c, b – d sono ortogonali.
Soluzione 3.4
Si traccino per B e per D le altezze BH, BK relative ad AC.
L’area del quadrilatero è data da AC·BH/2 + AC·DK/2 =
AC(BH+DK)/2. Ma BH+DK ≤ BD, da cui la tesi. L’uguaglianza
vale se e solo se H e K coincidono col punto di intersezione delle
diagonali, ovvero se e solo se queste sono ortogonali.
D
A
H
K
C
B
Soluzione 4
Lemma 1: In un parallelogrammo il prodotto delle lunghezze delle diagonali vale almeno il doppio
dell'area. (La dimostrazione seguente non è applicabile a un quadrilatero qualsiasi).
Posto a = B – A = C – D, b = C – B = D – A, c = C – A, d = B –
D
C
D, valgono le relazioni c = a + b , d = a – b, da cui |c×d| = |(a +
b)×(a – b)| = |b×a – a×b| = 2|b× a|. Ma 2|b×a| è il doppio dell’area
c
b
d
del parallelogrammo, ed essendo sempre |c×d| ≤ |c||d| segue la
tesi. L’uguaglianza vale se e solo se c e d sono ortogonali, ossia
A
a
B
se il parallelogrammo è un rombo.
Lemma 2: Qualsiasi quadrilatero convesso è equivalente a un
parallelogrammo avente le stesse diagonali (in modulo e
direzione)
Seguendo la falsariga della Soluzione 2, è immediato dimostrare
che le diagonali possono spostarsi parallelamente a sé stesse fino
a incontrarsi nei punti medi senza che cambi l’area del
quadrilatero (v. seconda figura a lato).
La tesi segue direttamente dai due lemmi.
Soluzione 5
Dette xi ,yi (i=1,..,4) le coordinate dei vertici e S l’area del quadrilatero, vale la formula 2S = ad – bc,
con a = x1 – x3, b = x2 – x4, c = y 1 – y3, d = y2 – y4. Con la stessa notazione, il prodotto delle
diagonali è dato da P = [(a 2 + c2)(b 2 + d 2)]1/2. Elevando al quadrato e sottraendo, si ha:
P2 – (2S)2 = (a 2 + c2)(b 2 + d 2) – (ad – bc)2 = a 2b 2 + c2d 2 + 2abcd = (ab + cd)2 ≥ 0, da cui P ≥ 2S.
Il segno di uguaglianza vale se e solo se ab + cd = 0, ossia se [(y1 – y3)/(x 1 – x3)][( y2 – y4)/(x2 – x4)]
= –1. Ma le quantità tra parentesi quadre sono i coefficienti angolari m, m’ delle due diagonali, e la
condizione mm’ = –1 è la condizione di ortogonalità. Dunque l’uguaglianza vale se e solo se le
diagonali sono ortogonali.
Nota linguistica:
So bene che praticamente tutti i testi di geometria scrivono oggi parallelogramma e non
parallelogrammo , forma questa che il correttore d’ortografia di Word considera addirittura erronea,
ma che in effetti è il termine etimologicamente più corretto (dal tardo latino parallelogrammu(m), a
sua volta dal greco parallelógrammon, v. dizionario Zingarelli, ed. 1996; i dizionari più vecchi,
come il Palazzi del 1957, registrano solo parallelogrammo). Ho cercato nei testi dei vostri quesiti e
relative soluzioni un esempio di uso dell’uno o dell’altro termine, onde attenermi ad esso, ma tra le
copie che ho in archivio non ho trovato nulla. Qualunque scelta mi avrebbe fatto rischiare la figura
del pedante o quella dell’ignorante, perciò ho lanciato una moneta, e il risultato è quello visibile.