Legge dei gas perfetti e trasformazioni termodinamiche

Esercitazione X - Legge dei gas perfetti e trasformazioni termodinamiche
Formulario
Il primo principio della termodinamica afferma che la variazione dell’energia
interna di un sistema ∆U è uguale alla somma dell’energia data al sistema
come calore Q e del lavoro fatto sul sistema W ,
∆U = Q + W .
Nel caso in cui il sistema in esame sia del gas contenuto in un pistone, il
lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da Vi a Vf è
W =−
Z
Vf
P (V )dV .
Vi
Nel caso di un gas ideale P , V e T sono legate dall’equazione di stato
P V = nRT ,
dove n è il numero di moli da cui è costituito il gas e
R = 8.314
J
.
moleK
Per definizione, una mole di gas è quella quantità di gas che contiene NA
molecole, dove
NA = 6.02 × 1023 (Numero di Avogadro) .
Studiamo ora alcune fondamentali trasformazioni dei gas perfetti.
Isobara
Durante una trasformazione isobara la pressione del gas rimane costante, P =
cost. Il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da Vi a Vf è
W =−
Z
Vf
P dV = −P
Vi
Z
Vf
dV = −P (Vf − Vi ) .
Vi
Il calore ceduto al sistema è
Q = nCP ∆T ,
dove CP è il calore specifico molare a pressione costante. Per un gas monoatomico vale che CP = 52 R.
1
Isocora
Durante una trasformazione isocora il volume del gas rimane costante, V = cost.
Il lavoro W fatto sul gas è nullo in quanto Vi = Vf ,
W =0.
Il calore ceduto al sistema è
Q = nCV ∆T ,
dove CV è il calore specifico molare a volume costante. Per un gas monoatomico vale che CV = 32 R.
Isoterma
Durante una trasformazione isoterma la temperatura del gas rimane costante,
T = cost. Per calcolare il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da
Vi a Vf uso che
P V = nRT
⇒ P =
nRT
,
V
da cui
W =−
Z
Vf
P dV = −
Vi
Z
Vf
Vi
nRT
dV = −nRT
V
Z
Vf
Vi
dV
= −nRT ln
V
Vf
Vi
.
Poiché l’energia interna U di un gas perfetto dipende solo dalla sua temperatura si ha ∆U = 0, da cui
Vf
Q = −W = nRT ln
.
Vi
Adiabatica
Durante una trasformazione adiabatica il gas non scambia calore con l’esterno,
Q=0.
Si dimostra che in una trasformazione adiabatica
P V γ = cost. ⇒ P =
cost.
,
Vγ
dove γ = CP /CV . In particolare per un gas monoatomico γ = 5/3.
Il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da Vi a Vf è
W =−
Z
Vf
Vi
P dV = −
Z
Vf
Vi
P V −P V
cost. −γ+1
cost.
f f
i i
−γ+1
=
dV
=
V
−
V
.
i
Vγ
γ−1 f
γ−1
2
Legge dei gas perfetti
Esercizio 1
Sapendo che in 1cm3 di aria ci sono 2.67×1019 molecole (numero di Loschmidt)
calcolare la pressione dell’aria alla temperatura T = 0◦ C.
Soluzione
Il numero di moli di molecole d’aria in 1cm3 sono
n=
2.67 × 1019
= 4.4 × 10−5 .
NA
E’ di fondamentale importanza convertire il volume in m3 e la temperatura
in K,
V = 1cm3 = 10−6 m3 , T = 0◦ C = 273.15K .
La pressione P dell’aria è
P =
nRT
≈ 105 P a ≈ 1atm .
V
Trasformazioni termodinamiche
Esercizio 2
Un recipiente contenente n = 2 moli di un gas perfetto alla pressione PA =
1atm è a contatto con un termostato che lo mantiene alla temperatura TA =
300K. Lentamente si comprime il gas fino a farne dimezzare il volume. In
seguito staccato il recipiente dal termostato e mantenendo la pressione costante,
si porta il recipiente ad un volume pari ad un terzo di quello iniziale. Calcolare
• La temperatura e la pressione finale del gas.
• Il lavoro totale compiuto dal gas.
Soluzione
Sia A lo stato iniziale del gas, B lo stato del gas dopo la compressione che
ne dimezza il volume e C lo stato in cui il volume è ridotto a un terzo di quello
iniziale.
La presenza di un termostato fa si che
A → B = isoterma ,
mentre per ipotesi
B → C = isobara .
Si vogliono calcolare TC e PC .
Per ipotesi PC = PB e per la legge dei gas perfetti
3
PB =
nRTA
nRTB
=2
= 2PA ⇒ PC = 2atm .
VB
VA
Analogamente
TC =
PC V C
1 PB V A
2 PA V A
2
=
=
= TA = 200K .
nR
3 nR
3 nR
3
Il lavoro totale WAC compiuto sul gas nella trasformazione A → B → C è la
somma del lavoro WAB compiuto durante l’isoterma e del lavoro WBC compiuto
durante l’isobara,
WAC
WAB
WBC
= WAB + WBC ,
1
VB
= 3458J ,
= −nRTA ln
= −nRTA ln
VA
2
1
1
= −PB (VC − VB ) = PA VA = nRTA = 1663J ,
3
3
da cui
WAC = 5121J .
Il lavoro compiuto dal gas è W = −5121J.
Esercizio 3
Calcolare il lavoro compiuto da n = 3 moli di gas perfetto durante la
trasformazione A → B → C,
A → B = isocora ,
B → C = isoterma ,
dove
PA = 2atm
PB = 2PA
PC = PA
TA = −70 C
TB = 133 C
TC = T B .
◦
◦
Soluzione
Il lavoro WAC fatto sul gas nella trasformazione A → B → C è
WAC = WAB + WBC ,
dove WAB è il lavoro fatto sul gas nella trasformazione isocora e WBC è il
lavoro fatto sul gas nella trasformazione isoterma.
Dato che in una generica trasformazione isocora il lavoro fatto sul gas è nullo
si ha WAB = 0.
Rimane da calcolare WBC e usando l’espressione generale del lavoro in una
isoterma si ha
4
WBC = −nRTB ln
VC
VB
.
Si è scritto TB ma si sarebbe potuto egualmente scrivere TC in quanto TB =
TC . TB lo conosciamo ma dobbiamo convertirlo in Kelvin. Si ricordi che
0◦ C = 273K ,
da cui
TB = TC = 406K .
Si osservi che non ci interessa davvero sapere chi siano VB e VC bensì il loro
rapporto. Dato che
VB =
nRTB
nRTC
, VC =
,
PB
PC
e TB = TC e PB = 2PC si ha
VC
PB
=
=2.
VB
PC
Sostituendo questi valori nella formula per WBC si ha che il lavoro fatto sul
gas è
W = AC = WBC = −3 × 8.314J/moleK × 406K ln 2 = −7019J .
Perciò il lavoro fatto dal gas è 7019J.
Si osservi che con i dati a disposizione avremmo potuto calcolare direttamente VB e VC ,
VB
=
VC
=
3 × 8.314J/moleK × 406K
nRTB
=
= 0.025m3 ,
PB
4 × 105 P a
nRTC
3 × 8.314J/moleK × 406K
=
= 0.05m3 ,
PC
2 × 105 P a
dove si è usato il fattore di conversione atmosf ere − P ascal
1atm = 1.013 × 105 P a .
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