Esercitazione XI - Trasformazioni termodinami- che Il primo principio della termodinamica aerma che la variazione dell'energia interna di un sistema ∆Eint è uguale alla somma dell'energia data al sistema come calore Q e del lavoro fatto sul sistema W , ∆Eint = Q + W . Nel caso in cui il sistema in esame sia del gas contenuto in un pistone, il lavoro W fatto su di un gas quando il suo volume varia da Vi a Vf è Z Vf W =− P dV . Vi Nel caso di un gas ideale P , V e T sono legate dall'equazione di stato P V = nRT , dove n è il numero di moli da cui è costituito il gas e J . moleK Per denizione, una mole di gas è quella quantità di gas che contiene NA molecole, dove R = 8, 314 NA = 6, 02 × 1023 (Numero di Avogadro) . Studiamo ora alcune fondamentali trasformazioni dei gas perfetti Isobara Durante una trasformazione isobara la pressione del gas rimane costante P = cost. Il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da Vi a Vf è Z Vf Z Vf W =− P dV = −P dV = −P (Vf − Vi ) . Vi Vi La variazione dell'energia interna ∆Eint è ∆Eint = Q + W . Isocora Durante una trasformazione isocora il volume del gas rimane costante V = cost. Il lavoro W fatto sul gas è nullo in quanto Vi = Vf , W =0. La variazione dell'energia interna ∆Eint è ∆Eint = Q . 1 Isoterma Durante una trasformazione isoterma la temperatura del gas rimane costante T = cost. Per calcolare il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da Vi a Vf uso che P V = nRT nRT , V ⇒ P = da cui Z Z Vf W =− Vf P dV = − Vi Vi nRT dV = −nRT V Z Vf Vi dV = −nRT ln V µ Vf Vi ¶ . Poiché l'energia interna Eint di un gas perfetto dipende solo dalla sua temperatura si ha ∆Eint = 0 , da cui µ Q = −W = nRT ln Vf Vi ¶ . Adiabatica Durante una trasformazione adiabatica il gas non scambia calore con l'esterno, Q=0. Si dimostra che in una trasformazione adiabatica P V γ = cost. ⇒ P = cost. , Vγ dove per un gas monoatomico γ = 5/3 ≈ 1, 67. Il lavoro W fatto sul gas quando il suo volume varia da Vi a Vf è Z Z Vf W =− Vf P dV = − Vi Vi ´ P V −P V cost. cost. ³ −γ+1 f f i i −γ+1 dV = V − V = . i Vγ γ−1 f γ−1 La variazione dell'energia interna ∆Eint è ∆Eint = W . 2 Calori specici molari dei gas perfetti In una trasformazione isocora il calore Q che è necessario fornire a n moli di gas per far variare la sua temperatura di una quantità ∆T è Q = nCV ∆T , dove CV è il calore specico molare a volume costante. In una trasformazione isobara il calore Q che è necessario fornire a n moli di gas per far variare la sua temperatura di una quantità ∆T è Q = nCP ∆T , dove CP è il calore specico molare a pressione costante. Vale che CP − CV CP CV = R, = γ. Per un gas monoatomico CP = 25 R e CV = 32 R. Trasformazioni Esercizio 1 Un recipiente contenente n = 2 moli di un gas perfetto alla pressione PA = 1atm è a contatto con un termostato che lo mantiene alla temperatura TA = 300K . Lentamente si comprime il gas no a farne dimezzare il volume. In seguito staccato il recipiente dal termostato e mantenendo la pressione costante, si porta il recipiente ad un volume pari ad un terzo di quello iniziale. Calcolare • La temperatura e la pressione nale del gas. • Il lavoro totale compiuto dal gas. Soluzione Sia A lo stato iniziale del gas, B lo stato del gas dopo la compressione che ne dimezza il volume e C lo stato in cui il volume è ridotto a un terzo di quello iniziale. La presenza di un termostato fa si che A → B = isoterma , mentre per ipotesi B → C = isobara . Si vogliono calcolare TC e PC . Per ipotesi PC = PB e per la legge dei gas perfetti 3 PB = nRTB nRTA =2 = 2PA ⇒ PC = 2atm . VB VA Analogamente TC = P C VC 1 P B VA 2 P A VA 2 = = = TA = 200K . nR 3 nR 3 nR 3 Il lavoro totale WAC compiuto sul gas nella trasformazione A → B → C è la somma del lavoro WAB compiuto durante l'isoterma e del lavoro WBC compiuto durante l'isobara, WAC = WAB = WBC = WAB + WBC , µ ¶ µ ¶ VB 1 −nRTA ln = −nRTA ln = 3458J , VA 2 1 1 −PB (VC − VB ) = PA VA = nRTA = 1663J , 3 3 da cui WAC = 5121J . Il lavoro compiuto dal gas è W = −5121J . Esercizio 2 Calcolare il lavoro compiuto da n = 3 moli di gas perfetto durante la trasformazione A → B → C , A → B = isocora B → C = isoterma , dove PA = 2atm TA = −70◦ C PB = 2PA TB = 133◦ C PC = PA TC = TB . Soluzione Il lavoro WAC fatto sul gas nella trasformazione A → B → C è WAC = WAB + WBC , dove WAB è il lavoro fatto sul gas nella trasformazione isocora e WBC è il lavoro fatto sul gas nella trasformazione isoterma. Dato che in una generica trasformazione isocora il lavoro fatto sul gas è nullo si ha WAB = 0. Rimane da calcolare WBC e usando l'espressione generale del lavoro in una isoterma si ha 4 µ WBC = −nRTB ln VC VB ¶ . Si è scritto TB ma si sarebbe potuto egualmente scrivere TC in quanto TB = TC . TB lo conosciamo ma dobbiamo convertirlo in Kelvin. Si ricordi che 0◦ C = 273, 15K , da cui TB = TC = 406K . Si osservi che non ci interessa davvero sapere chi siano VB e VC bensì il loro rapporto. Dato che VB = nRTB nRTC , VC = , PB PC e TB = TC e PB = 2PC si ha VC PB = =2. VB PC Sostituendo questi valori nella formula per WBC si ha che il lavoro fatto sul gas è W = AC = WBC = −3 × 8, 314J/moleK × 406K ln 2 = 7019J . Perciò il lavoro fatto dal gas è −7019J . Si osservi che con i dati a disposizione avremmo potuto calcolare VB e VC , VB = VC = 3 × 8, 314J/moleK × 406K nRTB = = 0, 025m3 , PB 4 × 105 P a nRTC 3 × 8, 314J/moleK × 406K = = 0, 05m3 , PC 2 × 105 P a dove si è usato il fattore di conversione atmosf ere − P ascal 1atm = 1, 013 × 105 P a . Cicli Esercizio 3 Calcolare il calore Q̂ ceduto da 1 n = 2 moli di gas monoatomico durante il ciclo A → B → C → D → A, A → B = isocora B → C = isoterma C → D = isocora D → A = isoterma , 1 Si osservi sin da ora che il calore Q̂ ceduto dal gas è opposto al calore Q assorbito dal gas: Q̂ = −Q. 5 dove PC 4 = TA . PA = 2 × 105 P a PB = 4PA PC = 2, 285 × 105 P a PD = TA = 122K TB = 4TA TC = 4TA TD Soluzione Poiché abbiamo a che fare con un ciclo ∆Eint = 0 e il calore Q assorbito dal gas (o equivalentemente ceduto al gas) è Q = −W , dove W è il lavoro fatto sul gas. Si ha W = WAB + WBC + WCD + WDA = WBC + WDA , in quanto il lavoro compiuto nelle trasformazioni isocore è nullo. Sfruttando l'espressione generale del lavoro compiuto in una isoterma si ha ¶ µ ¶ PB VC = −nRTB ln , −nRTB ln VB PC µ ¶ µ ¶ VA PD −nRTD ln = −nRTD ln . VD PA µ WBC = WDA = Dai dati del problema si ha TB = 488K , TD 122K , PB 4PA PD PC = = 3, 5 , = = 0, 286 , PC PC PA 4PA da cui µ Q = −W = nR(TB − TD ) ln 4PA PC e inne Q̂ = −Q = −7624J . 6 ¶ = 7624J ,