CALCOLO COMBINATORIO Ad una gara partecipano 20 concorrenti; quanti terne di primi tre classificati si possono formare? (nell'ipotesi che non vi siano degli ex aequo) [6.840] Nelle ipotesi del precedente esercizio, in quanti modi potrebbe essere formata la classifica finale di tutti i 20 concorrenti? [2,4.108 circa] Un Comune deve scegliere 3 imprese fra 8 concorrenti per assegnare 3 lavori. In quanti modi il Comune può fare l'assegnazione? E se i lavori fossero 8? (Si supponga che ogni impresa, al massimo, esegua un lavoro). [336; 40320] Un'urna contiene 25 palline numerate da 1 a 25. Si estraggono successivamente 3 palline, senza rimettere le palline estratte nell'urna. Quante sono le possibili terne ordinate di numeri che si ottengono? Di queste quante sono formate da numeri pari? Quante terne sono formate dalle prime due palline con numeri pari e dalla terza con un numero dispari? Quante terne sono formate da due palline con numeri pari e una con un numero dispari? [13.800; 1.320;1716;5148] Cambierebbero i risultati del precedente esercizio se ogni pallina estratta venisse rimessa nell'urna prima di eseguire la successiva estrazione? [15.625; 1.728; 1.872; 5616] Quanti anagrammi (anche senza significato) si possono fare con le seguenti parole in modo che la prima e l'ultima lettera siano fisse: ISOLA, CASSATA, INDIVISIBILISSIMI? [6; 30; 302.702.400] Un insieme è costituito da 10 elementi. Determinare quanti sottoinsiemi si possono formare e di questi quanti contengono 3 elementi e quanti ne contengono 7 [1.024; 120; 120] Un insegnante di Italiano propone agli allievi 4 temi. In quanti modi diversi i 26 allievi possono scegliere un tema da svolgere fra i 4 proposti? [4,5.1015 circa] Cinque amici si salutano scambiandosi una stretta di mano. Calcolare quante strette di mano vi saranno. [10] In un piano sono dati 7 punti dei quali mai tre allineati. Calcolare quanti triangoli si possono formare con i vertici in quei punti. [35] In una classe vi sono 10 allieve e 15 allievi; si vuole scegliere una rappresentanza formata da 2 allieve e da 3 allievi. Calcolare in quanti modi si può formare questa rappresentanza. [20.475] In quanti modi si può estrarre una terna ordinata di carte da un mazzo di 40 carte (senza rimettere le carte estratte nel mazzo)? Quante terne sono formate da tre carte di fiori? Quante terne sono formate da 1 asso e 2 figure (in questo ordine)? [59.280; 720; 528] Ripetere il precedente esercizio nell'ipotesi che ogni carta estratta sia rimessa nel mazzo. [64.000; 1.000; 576] Un test di verifica di apprendimento è costituito da 20 domanda con risposta SI/NO. Calcolare: In quanti modi si può rispondere al test; in quanti modi si può rispondere esattamente a metà delle domande; in quanti modi si può rispondere esattamente a 15 domande. [1.048.576; 184.756; 15.504] Si lanciano tre dadi. Determinare: Quante terne di numeri si possono formare; quante terne sono formate da numeri pari; quante terne sono formate da due numeri pari e uno dispari; quante terne hanno per somma 9 [216; 27; 81; 25] In una classe di 15 allievi si suddividono gli allievi in gruppi di 5 per lavori di gruppo. In quanti modi si possono formare i gruppi? [756.756] Fra 8 persone, che comprendono il signore e la signora Rossi, deve essere scelta una commissione di 4 persone. Il signor Rossi non vuole entrare in commissione senza la moglie, mentre la signora Rossi è disposta ad entrarvi anche senza il marito. In quanti modi può essere formata la commissione? [50] Senza sviluppare la potenza (2a − 3) calcolare il secondo e il quinto termine. 7
[‐1344a6;22680a3] 1 ⎞
⎛
Senza sviluppare le potenze dei binomi ⎜ x 3 + 2 ⎟
x ⎠
⎝
5
⎛x 4
5 ⎞
e ⎜⎜
− 3 ⎟⎟
x ⎠
⎝ 2
7
determinare quali termini sono indipendenti da x. [quarto termine; quinto termine] Risolvere le equazioni: ⎛ x + 1⎞ ⎛ x ⎞
⎛x ⎞ ⎛x ⎞
⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = 4Dx ,2 ;
⎜⎜ ⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟ = x ; 3⎜⎜
⎝4⎠ ⎝5⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠
[5; 2; 3, 10; impossibile] Risolvere le disequazioni: ⎛ x + 2⎞ ⎛ x + 1⎞
⎛x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛ x ⎞
⎛x ⎞
⎟⎟ − ⎜⎜
⎟⎟ = 11⎜⎜ ⎟⎟ ; 2⎜⎜
⎟⎟ + 2⎜⎜
⎟⎟ = 3⎜⎜ ⎟⎟
3⎜⎜
⎝ x − 2⎠
⎝3⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝x − 4⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x − 1⎞ ⎛ x + 1⎞
⎟⎟ < ⎜⎜
⎟⎟
Dx +1, 4 − Dx ,2 < 5Dx ,3 ; ⎜⎜ ⎟⎟ > ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜⎜
⎝3⎠ ⎝4⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠
[3, 4; 4, 5, 6; x maggiore o uguale di 4] CALCOLO DELLE PROBABILITA' Un'urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere: una pallina bianca; una pallina nera; una pallina non bianca; una pallina blu. [4/9; 2/9; 5/9; 0] Un'urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90; si estrae una pallina. Calcolare la probabilità di avere: un numero pari; un numero superiore a 20 ed inferiore a 35; un numero la cui somma delle cifre sia 8; un numero non divisibile per 3. [1/2; 7/45; 1/10; 2/3] In uno scaffale della libreria vi sono 7 libri di narrativa, 5 romanzi polizieschi e 4 testi di carattere scientifico. Si prende un libro a caso, calcolare la probabilità che sia: un romanzo poliziesco; un libro non di narrativa; un vocabolario inglese; un libro di almeno 200 pagine. [5/16; 9/16; 0; non calcolabile] Un'urna contiene 6 palline rosse, 3 bianche e 7 verdi. Si estraggono contemporaneamente due palline; calcolare la probabilità di avere: due palline rosse; una pallina verde e una bianca; due palline non rosse. [1/8; 7/40; 3/8] Si lanciano due dadi regolari. Calcolare la probabilità di avere: due numeri superiori a 4; due numeri la cui somma è 8; due numeri la cui somma non supera 6; due numeri la cui somma supera 9. [1/9; 5/36; 5/12; 1/6] Si estraggono contemporaneamente tre carte da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di avere: tre figure; due figure ed un asso; una figura, un asso ed un 7. [11/494; 33/1235; 24/1235] Da un mazzo di 52 carte si estrae una carta; calcolare la probabilità degli eventi: la carta sia di fiori o di picche; la carta sia una figura od un asso; la carta sia un 7 o una carta di picche. [1/2; 4/13; 4/13] Da un'urna contenente 30 palline numerate da 1 a 30; si estrae una pallina. Calcolare la probabilità degli eventi: esce una pallina con un numero minore di 10 o maggiore di 25; esce una pallina con il numero divisibile per 4 o per 5; esce una pallina con un numero divisibile per 7 o per 11. ]7/15; 2/5; 1/5] Un'urna contiene 50 palline numerate da 1 a 50; si estrae una pallina. Calcolare la probabilità di ottenere una pallina con un numero divisibile per 2 o per 3 o per 5. [18/25] Si lanciano tre dadi regolari. Calcolare la probabilità che si abbiano: 3 facce uguali; 3 numeri la cui somma è 6 oppure 8; 3 numeri pari o divisibili per 3; almeno un 6. [1/36; 31/216; 17/108; 91/216] Una persona gioca 3 numeri al Lotto sulla ruota di Firenze. Calcolare la probabilità che vinca almeno un ambo (ossia un terno o un ambo). [43/5874] Ad una guardarobiera di un teatro 10 uomini consegnano il loro cappello. La guardarobiera, avendo smarrito le contromarche, li riconsegna a caso. Qual è la probabilità che ogni uomo riceva il proprio cappello? [1/3628800] In un sacchetto sono contenuti 21 cartoncini uguali su cui sono segnate le lettere dell'alfabeto italiano. Si estraggono contemporaneamente 4 cartoncini; calcolare la probabilità di avere: 4 consonanti; 3 consonanti ed 1 vocale; 2 consonanti e 2 vocali; 4 lettere per formare la parola CANE; 4 lettere per formare la parola CASA. [52/171; 80/171; 80/399; 1/5985; 0] Da un mazzo di 40 carte si estrae una carta. Calcolare la probabilità che sia un re sapendo che è una figura. [1/3] Da un mazzo di 52 carte si estrae una carta. Calcolare la probabilità che sia di valore pari sapendo che non è una figura. [1/2] Una scatola contiene 20 penne a sfera di cui 5 sono difettose. Si sceglie una penna a caso e si scarta perché è difettosa. Qual è la probabilità che una seconda penna, scelta a caso, sia non difettosa? [15/19] Una scatola contiene 3 pezzi difettosi e 7 pezzi non difettosi; si estraggono due pezzi a caso, senza reimmissione. Calcolare la probabilità che almeno uno di essi non sia difettoso e la probabilità che entrambi siano non difettosi, nell'ipotesi che il primo sia non difettoso. [8/15; 2/3] Si lanciano tre monete regolari. Calcolare la probabilità che si presentino 3 teste, sapendo che almeno una è testa. [1/7] Si estraggono successivamente 2 carte da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità, rimettendo la prima carta estratta nel mazzo, che: la prima sia un asso e la seconda una figura; entrambe le carte siano figure; la prima sia una carta di fiori e la seconda una carta non di fiori. [3/100; 9/100; 3/16] Si estraggono successivamente 2 carte da un mazzo di 40 carte: Calcolare la probabilità, senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, di avere 2 carte dello stesso seme; 2 carte di seme diverso; una figura e una non figura dello stesso seme; una figura ed una non figura di seme diverso. [3/13; 10/13; 7/65; 21/65] Un'urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Si estraggono successivamente 2 palline. Calcolare la probabilità, rimettendo la prima pallina estratta nell'urna, di avere: 2 numeri pari; 2 numeri divisibili per 3 o per 5; 2 numeri il primo dei quali pari e il secondo superiore a 50. [1/4; 49/225; 2/9] Si lanciano un dado e una moneta. calcolare la probabilità di avere: un numero pari e testa; un numero divisibile per 3 e croce; un numero pari o superiore a 4 e testa. [1/4; 1/3; 1/3] Un'urna contiene 14 palline rosse, 26 bianche e 10 verdi. Si estraggono successivamente 3 palline. Calcolare la probabilità, rimettendo nell'urna le palline estratte, di avere: 3 palline dello stesso colore; 2 palline bianche e 1 non bianca; almeno 2 palline rosse. [533/3125; 6084/15625; 2989/15625] Un'urna contiene 15 palline rosse e 15 nere, mentre un'altra urna ne contiene 12 rosse e 18 nere; si estraggono 2 palline da ciascuna urna, rimettendo le palline estratte nelle loro urne. Calcolare la probabilità di avere: 4 palline dello stesso colore; 3 palline rosse e 1 nera. [13/100; 1/5] Si hanno 2 mazzi di 40 carte; si estrae una carta da ciascun mazzo. Calcolare la probabilità di avere: 2 assi; 2 figure; una figura ed una non figura dello stesso seme; una figura ed una non figura di seme diverso. [1/100; 9/100; 21/100; 63/200] Un tennista ha probabilità del 60% di vincere una partita. Partecipa ad un torneo e gioca 5 partite. Calcolare la probabilità che: vinca tutte le partite; vinca almeno una partita. [0,07776; 0,98976] Tre cacciatori sparano, in modo indipendente, a un fagiano; il primo ha probabilità 0,5 di colpirlo, il secondo ha probabilità 0,4 ed il terzo ha probabilità 0,7. Calcolare la probabilità che: tutti e 3 i cacciatori colpiscano il fagiano; nessun cacciatore colpisca il fagiano; almeno uno dei cacciatori colpisca il fagiano; un solo cacciatore colpisca il fagiano. [0,14; 0,09; 0,91; 0,36] La probabilità per un trentenne di vivere ancora 40 anni è 0,64 e per sua moglie di 26 anni è 0,86. Calcolare, supponendo indipendenti gli eventi, la probabilità che: siano entrambi vivi fra 40 anni; siano entrambi morti fra 40 anni; uno solo sia vivo fra 40 anni. [0,55; 0,05; 0,40] Una classe è composta da 10 ragazze e 1a ragazzi. Si scelgono a caso 3 rappresentanti di classe (i loro nomi vengono estratti successivamente senza reimmissione). Calcolare la probabilità che siano: tutti ragazzi; tutte ragazze; almeno una ragazza. [91/506; 15/253; 415/506] Si lancia per 8 volte una moneta regolare. Calcolare la probabilità di avere: per 5 volte testa; almeno per 5 volte testa. [7/32; 93/256] Si lancia per 6 volte un dado regolare. Calcolare la probabilità di avere: il numero 6 esattamente 2 volte; un numero divisibile per 3 non più di 2 volte. [3125/15552; 496/729] Si estrae per 10 volte, con reimmissione, una carta da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilità di avere: per 7 volte una carta di fiori; almeno per 6 volte una carta rossa. [405/131072; 193/512]
