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Cognome e Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . CdS . . . . . . . . . . .
CALCOLO DELLE PROBABILITA’ - 16 Settembre 2015
CdL in STAD, SIGAD
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi.
Tempo: 2h 45’ . Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti. Ogni esercizio risolto correttamente
vale 6 punti. Punteggio massimo 30.
1. Dati due eventi A, B con 0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1, e assegnate le probabilità P (A|B) =
7
, P (A|B c ) = 15 , P (B|A) = 35 calcolare P (AB), P (A), P (B).
10
P (AB) =
P (A) =
P (B) =
2. Un allele recessivo è responsabile di una malattia. Indichiamo con A l’allele dominante e con a
l’allele recessivo. Ogni individuo possiede una coppia di alleli ed è: malato (evento M ), se ha
la coppia di alleli aa; sano (evento S) se ha la coppia di alleli AA; portatore sano (evento H)
se ha una delle seguenti coppie di alleli Aa, aA. La situazione di una persona scelta a caso si
può raffigurare con un quadrato di lato 1 in cui la probabilità di un sottoinsieme sia data dalla
sua aera (vedi Figura 1). Calcolare: (i) la probabilità che un individuo sia sano sapendo che è
non è portatore sano ; (ii) la probabilità che un individuo sia portatore sano sapendo che non
è malato .
0.6
AA
Aa
0.4
aA
aa
0.6
0.4
Figura 1:
=
;
=
;
3. Un giocatore intende partecipare al seguente gioco "3elotto". Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Il giocatore segna su una schedina 3 numeri tra quelli presenti nell’urna e paga
1 euro. Dall’urna si estraggono (senza restituzione) 20 palline e le vincite sono stabilite dalla
Tabella 1, dove X è il numero delle palline indovinate dal giocatore e V è la corrispondente vincita. Nei casi non presenti in tabella non si vince nulla. Calcolare: i) P (V > 0); ii) la probabilità
X
3
2
V Vincita (in euro)
50
2
Tabella 1: Struttura Premi
condizionata di avere indovinato 3 palline sapendo di aver vinto un premio (non nullo). Infine,
calcolare il guadagno relativo atteso gr di chi acquista il biglietto (gr = E( V c c ), dove c è il costo
del biglietto).
P (V > 0) =
; =
1
;r =
;
4. Sia X un numero aleatorio con distribuzione di probabilità esponenziale di parametro = 3.
Sia Z = 3X. Calcolare: la funzione di ripartizione di Z, la probabilità P (Z > 5|Z > 3) e il
coefficiente di correlazione ⇢ di X, Z.
FZ (z) =
P (Z > 5|Z > 3) =
⇢=
5. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f (x, y) = k(y x), per (x, y) 2
Q = [0, 2] ⇥ [2, 4], con f (x, y) = 0 altrove. Calcolare la costante k e il valore di x0 tale che
P (X  x0 ) = 1/2; inoltre, stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti.
k=
y0 =
stoc. indip.?
6. Le funzioni caratteristiche di due numeri aleatori X, Y indipendenti sono rispettivamente X (t) =
it
it
e3(e 1) e Y (t) = e2(e 1) . Posto Z = X+Y , calcolare la funzione caratteristica Z (t), il valore
atteso m di Z e la probabilità p dell’evento condizionato (Z 2 | X  1).
Z (t)
=
m=
2
p=