Esercitazione 14
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Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Esercitazione 14 Intervalli di confidenza sulla proporzione Statistica Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Università degli studi di Cassino Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 1 / 14 Outline Esercitazione 14 A. Iodice 1 Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 2 / 14 Outline Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione 1 Intervalli di confidenza 2 Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 2 / 14 Outline Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza 1 Intervalli di confidenza 2 Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 3 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 2 / 14 Outline Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza 1 Intervalli di confidenza 2 Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 3 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Esercizio 5 Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 2 / 14 Ex.1: IC sulla proporzione Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Sia p la proporzione di unità statistiche della popolazione presentano una certa caratteristica. La statistica campionaria corrispondente è la proporzione x , dove x rappresenta il numero di unità nel campione che campionaria p̂ = n q p(1−p) presentano una determinata caratteristica. p̂ è tale che µp̂ = p e σp̂ = . n Ricorrendo all’approssimazione della binomiale alla normale, gli estremi dell’intervallo sono dati da p̂ ± Zα/2 σp̂ q p̂(1−p̂) ; dunque essendo p incognito si stima lo scarto quadratico medio σp̂ = n Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 r p̂ ± Zα/2 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio p̂(1 − p̂) n Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 3 / 14 Ex.1: IC sulla proporzione; determinazione di n Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione Su un certo quotiniano viene riportato il risultato di un sondaggio secondo il quale il 46% della popolazione condivide le scelte di politica economica del governo. Sapendo che il margine di errore riportato è del 3%, e che il livello di confidenza utilizzato è (1 − α) = 0.95. Quante persone sono state intervistate?. Svolgimento In base ai dati del problema, p̂ = 0.46, Zα/2 = Z0.025 = 1.96,poichè Esercizio 1 r Zα/2 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio r p̂(1 − p̂) 0.46 × 0.54 = 1.96 = 0.03 n n esplicitando, otteniamo n, numero di intervistati (1.96)2 0.46 × 0.54 0.46 × 0.54 = (0.03)2 −→ n = (1.96)2 n (0.03)2 quindi n = (1.96)2 Esercizio 5 0.46 × 0.54 = 1060.3 (0.03)2 dunque le persone intervistate sono state 1060 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 4 / 14 Ex.2: IC su somme e differenze tra medie Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione Si consideri di avere due popolazioni da cui si estraggono due campioni di numerosità rispettivamente n1 e n2 . Siano S1 e S2 due generiche statistiche campionarie, la cui media e scarto quadratico medio sono date rispettivamente da µS1 , σS1 ,µS2 ,σS2 . Sulla base di tali informazioni si può costruire la distribuzione campionaria delle differenze tra le due statistiche S1 − S2 . Media e scarto quadratico medio sono µS1 −S2 = µS1 − µS2 σS1 −S2 = Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio q 2 + σ2 σS S2 1 assumendo che i campioni siano indipendenti. Se S1 = X̄1 e S2 = X̄2 , allora risulta µX̄1 =µ1 e µX̄2 =µ2 , poichè la media delle 2 = medie campionarie corrisponde alla media della popolazione. Inoltre σX̄ 2 σX̄ 2 = 2 σ2 ; n2 1 2 σ1 n1 e dunque µX̄1 −X̄2 = µ1 − µ2 s Esercizio 5 σX̄1 −X̄2 = A. Iodice () Esercitazione 14 σ12 σ2 + 2 n1 n2 Statistica 5 / 14 Ex.2: IC su somme e differenze tra medie Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Un campione di 150 lampadine di marca A ha un tempo di vita medio di 1400h, con uni scarto quadratico medio pari a 120h. Un campione di 100 lampadine di marca B ha un tempo di vita medio di 1200h, con uni scarto quadratico medio pari a 80h. Costruire un intervallo di confidenza al 95% e 99% sulla differenza media dei tempi di durata delle lampadine di marca A e B. Poichè Intervalli di confidenza sulla proporzione µX̄1 −X̄2 = µ1 − µ2 Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 s σX̄1 −X̄2 = σ12 σ2 + 2 n1 n2 allora gli estremi dell’intervallo di confidenza sono Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio s X̄1 − X̄2 ± Zα/2 σ12 σ2 + 2 n1 n2 Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 6 / 14 Ex.2: IC su somme e differenze tra medie Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione costruire l’intervallo di confidenza al 95% In base ai dati del problema X̄A = 1400,X̄B = 1200,σA = 120,σB = 80,n1 = 150,n2 = 100,Zα/2 = 1.96 gli estremi dell’intervallo di confidenza sono s X̄1 − X̄2 ± Zα/2 s σ12 σ22 80 1202 + = 1400 − 1200 ± 1.96 + = 200 ± 24.8 n1 n2 150 100 Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Gli estremi dell’intervallo sono [175, 225]. costruire l’intervallo di confidenza al 99% In base ai dati del problema X̄A = 1400,X̄B = 1200,σA = 120,σB = 80,n1 = 150,n2 = 100,Zα/2 = 2.58 gli estremi dell’intervallo di confidenza sono s X̄1 − X̄2 ± Zα/2 Esercizio 5 s σ12 σ22 1202 80 + = 1400 − 1200 ± 2.58 + = 200 ± 32.6 n1 n2 150 100 Gli estremi dell’intervallo sono [167, 233]. A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 7 / 14 Ex.3: IC su somme e differenze tra proporzioni Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie In un sondaggio sul gradimento di una certa trasmissione televisiva sono stati intervistati due campioni, uno di adulti (400) ed uno di adolescenti (600). Gli adolescenti che hanno espresso apprezzamento sono stati 300, gli adulti sono invece stati 100. Calcolare i limiti di confidenza al 95% e 99% sulla differenza tra la proporzione di adulti ed adolescenti favorevoli. Svolgimento Se S1 = p̂1 e S2 = p̂2 , allora gli estremi dell’intervallo di confidenza sono s Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio p̂1 − p̂2 ± Zα/2 p̂2 (1 − p̂2 ) p̂1 (1 − p̂1 ) + n1 n2 Pertanto, in base ai dati del problema, p̂1 = 300 600 = 0.5 e p̂1 = 100 400 = 0.25 Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 8 / 14 Ex.3: IC su somme e differenze tra proporzioni Esercitazione 14 A. Iodice Svolgimento Essendo i dati del problema, p̂1 = n2 = 400. Intervalli di confidenza = 0.5, p̂1 = 100 400 = 0.25,n1 = 600 e intervallo di confidenza al 95% s p̂2 (1 − p̂2 ) p̂1 (1 − p̂1 ) + = p̂1 − p̂2 ± Zα/2 n1 n2 r 0.5 × 0.5 0.25 × 0.75 0.5 − 0.25 ± 1.96 + = 0.25 ± 0.06 600 400 Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie 300 600 gli estremi dell’intervallo sono [0.19, 0.31] Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 intervallo di confidenza al 95% s p̂1 (1 − p̂1 ) p̂2 (1 − p̂2 ) p̂1 − p̂2 ± Zα/2 + = n1 n2 r 0.5 × 0.5 0.25 × 0.75 0.5 − 0.25 ± 2.58 + = 0.25 ± 0.08 600 400 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Esercizio 5 gli estremi dell’intervallo sono [0.17, 0.33] A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 9 / 14 Ex.4: IC su somme tra medie Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione La capacità media delle memorie RAM prodotte è di 995 megabyte. Lo scarto quadratico medio è invece 2 megabyte. Si supponga di aver montato quattro schede RAM su una scheda madre. Quali sono gli intervalli di confidenza al 95%, 99% e al 50% della capacità di memoria RAM installata in totale? Svolgimento Si consideri Esercizio 1 µR1+R2+R3+R4 = µR1 + µR2 + µR3 + µR4 = 4 × µRi IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio σR1+R2+R3+R4 = q q 2 + σ2 + σ2 + σ2 = 2 σR1 4 × σRi R2 R3 R4 In base ai dati del problema, µR1+R2+R3+R4 = 4 × 995 = 3980 e q √ 2 = 4 × σRi 4 × 22 = 4. σR1+R2+R3+R4 = Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 10 / 14 Ex.4: IC su somme tra medie Esercitazione 14 A. Iodice Svolgimento Intervalli di confidenza Intervalli di confidenza sulla proporzione intervallo di confidenza al 95% 3980 ± 1.96 × 4 = 3980 ± 7.84 gli estremi dell’intervallo sono [3972.16, 3987.4] intervallo di confidenza al 99% Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio 3980 ± 2.58 × 4 = 3980 ± 10.32 gli estremi dell’intervallo sono [3969.68, 3990.32] intervallo di confidenza al 50% 3980 ± 0.6745 × 4 = 3980 ± 2.698 gli estremi dell’intervallo sono [3977.3, 3982.7] Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 11 / 14 Ex.5: IC sullo scarto quadratico medio Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza La durata di vita di un campione di 200 motori di auto da corsa è stato stimato avere uno scarto quadratico medio di 100h a pieno regime. calcolare i limiti dell’intervallo di confidenza al 95% e al 99%. stabilire la numerosità campionaria necessaria a stabilire, con un livello di confidenza del 99.73%, che lo scarto quadratico medio della popolazione non differisca da quello stimato di più del 5% o del 10%. Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio Svolgimento Sia s lo scarto quadratico medio campionario. I limiti dell’intervallo di confidenza su σ sono dati da σ s = s ± Zα/2 √ s ± Zα/2 √ 2n 2n σ viene stimato da s. Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 12 / 14 Ex.5: IC sullo scarto quadratico medio Esercitazione 14 A. Iodice Intervalli di confidenza Svolgimento intervallo di confidenza al 95% Intervalli di confidenza sulla proporzione Esercizio 1 100 s = 100 ± 1.96 √ = 100 ± 9.8 s ± Zα/2 √ 2n 200 gli estremi dell’intervallo sono [90.2, 109.8] IC su somme e differenze tra medie intervallo di confidenza al 99% 100 s = 100 ± 2.58 √ = 100 ± 12.9 s ± Zα/2 √ 2n 200 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio gli estremi dell’intervallo sono [87.1, 112.9] Esercizio 5 A. Iodice () Esercitazione 14 Statistica 13 / 14 Ex.5: IC sullo scarto quadratico medio Esercitazione 14 Svolgimento A. Iodice Intervalli di confidenza stabilire la numerosità campionaria necessaria a stabilire, con un livello di confidenza del 99.73%, che lo scarto quadratico medio della popolazione non differisca da quello stimato di più del 5% o del 10%. Per (1 − α) = 0.9973 il corrispondente valore Zα/2 = 3. Inoltre si vuole che la quanità Zα/2 √σ 2n Intervalli di confidenza sulla proporzione σ : s = 5 : 100 Zα/2 √ 2n Esercizio 1 IC su somme e differenze tra medie da cui, poichè s = 100 e σ è stimato tramite s, la precedente si può riscrivere σ 100 Zα/2 √ = 5 −→ 3 √ =5 2n 2n Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio non si discosti dal valore dello scarto quadratico di più del 5%. Risulta pertanto 3 100 5 = √ 2n −→ 300 2 = 2n −→ n = 5 il calcolo rispetto al 10% è poco dissimile. Zα/2 √σ 2n Esercizio 5 3 A. Iodice () 300 10 = √ 2n −→ 300 Esercitazione 14 2 = 1800 : s = 10 : 100; da cui 2 10 (60)2 = 2n −→ n = (30)2 2 = 450 Statistica 14 / 14
