Esercitazione 14

Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Esercitazione 14
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Statistica
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Università degli studi di Cassino
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
1 / 14
Outline
Esercitazione
14
A. Iodice
1
Intervalli di confidenza
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
2 / 14
Outline
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
1
Intervalli di confidenza
2
Intervalli di confidenza sulla proporzione
Esercizio 1
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
2 / 14
Outline
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
1
Intervalli di confidenza
2
Intervalli di confidenza sulla proporzione
Esercizio 1
3
IC su somme e differenze tra medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
2 / 14
Outline
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
1
Intervalli di confidenza
2
Intervalli di confidenza sulla proporzione
Esercizio 1
3
IC su somme e differenze tra medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
4
Intervalli di confidenza per lo scarto quadratico medio
Esercizio 5
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
2 / 14
Ex.1: IC sulla proporzione
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Sia p la proporzione di unità statistiche della popolazione presentano una certa
caratteristica. La statistica campionaria corrispondente è la proporzione
x
, dove x rappresenta il numero di unità nel campione che
campionaria p̂ = n
q
p(1−p)
presentano una determinata caratteristica. p̂ è tale che µp̂ = p e σp̂ =
.
n
Ricorrendo all’approssimazione della binomiale alla normale, gli estremi
dell’intervallo sono dati da
p̂ ± Zα/2 σp̂
q
p̂(1−p̂)
; dunque
essendo p incognito si stima lo scarto quadratico medio σp̂ =
n
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
r
p̂ ± Zα/2
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
p̂(1 − p̂)
n
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
3 / 14
Ex.1: IC sulla proporzione; determinazione di n
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Su un certo quotiniano viene riportato il risultato di un sondaggio secondo il
quale il 46% della popolazione condivide le scelte di politica economica del
governo. Sapendo che il margine di errore riportato è del 3%, e che il livello di
confidenza utilizzato è (1 − α) = 0.95.
Quante persone sono state intervistate?.
Svolgimento
In base ai dati del problema, p̂ = 0.46, Zα/2 = Z0.025 = 1.96,poichè
Esercizio 1
r
Zα/2
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
r
p̂(1 − p̂)
0.46 × 0.54
= 1.96
= 0.03
n
n
esplicitando, otteniamo n, numero di intervistati
(1.96)2
0.46 × 0.54
0.46 × 0.54
= (0.03)2 −→ n = (1.96)2
n
(0.03)2
quindi
n = (1.96)2
Esercizio 5
0.46 × 0.54
= 1060.3
(0.03)2
dunque le persone intervistate sono state 1060
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
4 / 14
Ex.2: IC su somme e differenze tra medie
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Si consideri di avere due popolazioni da cui si estraggono due campioni di
numerosità rispettivamente n1 e n2 . Siano S1 e S2 due generiche statistiche
campionarie, la cui media e scarto quadratico medio sono date rispettivamente da
µS1 , σS1 ,µS2 ,σS2 . Sulla base di tali informazioni si può costruire la distribuzione
campionaria delle differenze tra le due statistiche S1 − S2 . Media e scarto
quadratico medio sono
µS1 −S2 = µS1 − µS2
σS1 −S2 =
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
q
2 + σ2
σS
S2
1
assumendo che i campioni siano indipendenti.
Se S1 = X̄1 e S2 = X̄2 , allora risulta µX̄1 =µ1 e µX̄2 =µ2 , poichè la media delle
2 =
medie campionarie corrisponde alla media della popolazione. Inoltre σX̄
2
σX̄
2
=
2
σ2
;
n2
1
2
σ1
n1
e
dunque
µX̄1 −X̄2 = µ1 − µ2
s
Esercizio 5
σX̄1 −X̄2 =
A. Iodice ()
Esercitazione 14
σ12
σ2
+ 2
n1
n2
Statistica
5 / 14
Ex.2: IC su somme e differenze tra medie
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Un campione di 150 lampadine di marca A ha un tempo di vita medio di 1400h,
con uni scarto quadratico medio pari a 120h. Un campione di 100 lampadine di
marca B ha un tempo di vita medio di 1200h, con uni scarto quadratico medio
pari a 80h. Costruire un intervallo di confidenza al 95% e 99% sulla differenza
media dei tempi di durata delle lampadine di marca A e B. Poichè
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
µX̄1 −X̄2 = µ1 − µ2
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
s
σX̄1 −X̄2 =
σ12
σ2
+ 2
n1
n2
allora gli estremi dell’intervallo di confidenza sono
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
s
X̄1 − X̄2 ± Zα/2
σ12
σ2
+ 2
n1
n2
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
6 / 14
Ex.2: IC su somme e differenze tra medie
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
costruire l’intervallo di confidenza al 95%
In base ai dati del problema
X̄A = 1400,X̄B = 1200,σA = 120,σB = 80,n1 = 150,n2 = 100,Zα/2 = 1.96 gli
estremi dell’intervallo di confidenza sono
s
X̄1 − X̄2 ± Zα/2
s
σ12
σ22
80
1202
+
= 1400 − 1200 ± 1.96
+
= 200 ± 24.8
n1
n2
150
100
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Gli estremi dell’intervallo sono [175, 225].
costruire l’intervallo di confidenza al 99%
In base ai dati del problema
X̄A = 1400,X̄B = 1200,σA = 120,σB = 80,n1 = 150,n2 = 100,Zα/2 = 2.58 gli
estremi dell’intervallo di confidenza sono
s
X̄1 − X̄2 ± Zα/2
Esercizio 5
s
σ12
σ22
1202
80
+
= 1400 − 1200 ± 2.58
+
= 200 ± 32.6
n1
n2
150
100
Gli estremi dell’intervallo sono [167, 233].
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
7 / 14
Ex.3: IC su somme e differenze tra proporzioni
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
In un sondaggio sul gradimento di una certa trasmissione televisiva sono stati
intervistati due campioni, uno di adulti (400) ed uno di adolescenti (600). Gli
adolescenti che hanno espresso apprezzamento sono stati 300, gli adulti sono
invece stati 100. Calcolare i limiti di confidenza al 95% e 99% sulla differenza tra
la proporzione di adulti ed adolescenti favorevoli.
Svolgimento
Se S1 = p̂1 e S2 = p̂2 , allora gli estremi dell’intervallo di confidenza sono
s
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
p̂1 − p̂2 ± Zα/2
p̂2 (1 − p̂2 )
p̂1 (1 − p̂1 )
+
n1
n2
Pertanto, in base ai dati del problema, p̂1 =
300
600
= 0.5 e p̂1 =
100
400
= 0.25
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
8 / 14
Ex.3: IC su somme e differenze tra proporzioni
Esercitazione
14
A. Iodice
Svolgimento
Essendo i dati del problema, p̂1 =
n2 = 400.
Intervalli di
confidenza
= 0.5, p̂1 =
100
400
= 0.25,n1 = 600 e
intervallo di confidenza al 95%
s
p̂2 (1 − p̂2 )
p̂1 (1 − p̂1 )
+
=
p̂1 − p̂2 ± Zα/2
n1
n2
r
0.5 × 0.5
0.25 × 0.75
0.5 − 0.25 ± 1.96
+
= 0.25 ± 0.06
600
400
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
300
600
gli estremi dell’intervallo sono [0.19, 0.31]
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
intervallo di confidenza al 95%
s
p̂1 (1 − p̂1 )
p̂2 (1 − p̂2 )
p̂1 − p̂2 ± Zα/2
+
=
n1
n2
r
0.5 × 0.5
0.25 × 0.75
0.5 − 0.25 ± 2.58
+
= 0.25 ± 0.08
600
400
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Esercizio 5
gli estremi dell’intervallo sono [0.17, 0.33]
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
9 / 14
Ex.4: IC su somme tra medie
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
La capacità media delle memorie RAM prodotte è di 995 megabyte. Lo scarto
quadratico medio è invece 2 megabyte. Si supponga di aver montato quattro
schede RAM su una scheda madre. Quali sono gli intervalli di confidenza al 95%,
99% e al 50% della capacità di memoria RAM installata in totale?
Svolgimento
Si consideri
Esercizio 1
µR1+R2+R3+R4 = µR1 + µR2 + µR3 + µR4 = 4 × µRi
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
σR1+R2+R3+R4 =
q
q
2 + σ2 + σ2 + σ2 =
2
σR1
4 × σRi
R2
R3
R4
In base ai dati del problema,
µR1+R2+R3+R4 = 4 × 995 = 3980 e
q
√
2 =
4 × σRi
4 × 22 = 4.
σR1+R2+R3+R4 =
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
10 / 14
Ex.4: IC su somme tra medie
Esercitazione
14
A. Iodice
Svolgimento
Intervalli di
confidenza
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
intervallo di confidenza al 95%
3980 ± 1.96 × 4 = 3980 ± 7.84
gli estremi dell’intervallo sono [3972.16, 3987.4]
intervallo di confidenza al 99%
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
3980 ± 2.58 × 4 = 3980 ± 10.32
gli estremi dell’intervallo sono [3969.68, 3990.32]
intervallo di confidenza al 50%
3980 ± 0.6745 × 4 = 3980 ± 2.698
gli estremi dell’intervallo sono [3977.3, 3982.7]
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
11 / 14
Ex.5: IC sullo scarto quadratico medio
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
La durata di vita di un campione di 200 motori di auto da corsa è stato stimato
avere uno scarto quadratico medio di 100h a pieno regime.
calcolare i limiti dell’intervallo di confidenza al 95% e al 99%.
stabilire la numerosità campionaria necessaria a stabilire, con un livello di
confidenza del 99.73%, che lo scarto quadratico medio della popolazione
non differisca da quello stimato di più del 5% o del 10%.
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
Svolgimento
Sia s lo scarto quadratico medio campionario. I limiti dell’intervallo di confidenza
su σ sono dati da
σ
s
= s ± Zα/2 √
s ± Zα/2 √
2n
2n
σ viene stimato da s.
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
12 / 14
Ex.5: IC sullo scarto quadratico medio
Esercitazione
14
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
Svolgimento
intervallo di confidenza al 95%
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
Esercizio 1
100
s
= 100 ± 1.96 √
= 100 ± 9.8
s ± Zα/2 √
2n
200
gli estremi dell’intervallo sono [90.2, 109.8]
IC su somme e
differenze tra
medie
intervallo di confidenza al 99%
100
s
= 100 ± 2.58 √
= 100 ± 12.9
s ± Zα/2 √
2n
200
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
gli estremi dell’intervallo sono [87.1, 112.9]
Esercizio 5
A. Iodice ()
Esercitazione 14
Statistica
13 / 14
Ex.5: IC sullo scarto quadratico medio
Esercitazione
14
Svolgimento
A. Iodice
Intervalli di
confidenza
stabilire la numerosità campionaria necessaria a stabilire, con un livello di confidenza del 99.73%,
che lo scarto quadratico medio della popolazione non differisca da quello stimato di più del 5% o del
10%.
Per (1 − α) = 0.9973 il corrispondente valore Zα/2 = 3. Inoltre si vuole che la quanità Zα/2 √σ
2n
Intervalli di
confidenza
sulla
proporzione
σ
: s = 5 : 100
Zα/2 √
2n
Esercizio 1
IC su somme e
differenze tra
medie
da cui, poichè s = 100 e σ è stimato tramite s, la precedente si può riscrivere
σ
100
Zα/2 √
= 5 −→ 3 √
=5
2n
2n
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Intervalli di
confidenza per
lo scarto
quadratico
medio
non
si discosti dal valore dello scarto quadratico di più del 5%. Risulta pertanto
3
100
5
=
√
2n −→
300
2
= 2n −→ n =
5
il calcolo rispetto al 10% è poco dissimile. Zα/2 √σ
2n
Esercizio 5
3
A. Iodice ()
300
10
=
√
2n −→
300
Esercitazione 14
2
= 1800
: s = 10 : 100; da cui
2
10
(60)2
= 2n −→ n =
(30)2
2
= 450
Statistica
14 / 14