Introduzione Cos`è una funzione

31/10/2012
Introduzione
FUNZIONI
MATEMATICHE
 Lo studio delle funzioni permette di
interpretare la variazione di due
grandezze, l’una rispetto l’altra, quando
tra le due esiste un legame di tipo
matematico..
matematico
La teoria dell’analisi delle funzioni è
utilizzata in tutte le materie scientifiche
Cos’è una funzione
FUNZIONE
è
una
particolare
corrispondenza tra gli elementi di due
insiemi che ad ogni elemento del primo
insieme fa corrispondere uno ed un solo
elemento del secondo insieme.
DEFINIZIONE DI FUNZIONE
MATEMATICA
è una relazione di tipo matematico (addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione, estrazione di
radice, potenza, ecc..), che ad un qualunque valore
x (variabile indipendente), fa corrispondere una
ed una sola y (variabile dipendente).
f
A
X
Y
B
NO!
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Il primo insieme
Il secondo insieme
f
A
X
Y
f
A
B
X
Y
B
Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato
dominio
Il secondo insieme, o insieme di arrivo , è chiamato:
codominio
della funzione
Il dominio D (o Campo di Esistenza, o anche insieme di
definizione) di una funzione è il più ampio sottoinsieme
di R costituito da tutti e soli i valori della x per cui esistano
finiti i corrispondenti valori di y = f(x).
Rappresentare funzioni
Le funzioni possono essere rappresentate
in vari modi, ad esempio con:



Diagrammi di Eulero – Venn e frecce
Tabelle
Grafici
della funzione
Il codominio C di una funzione è il sottoinsieme
di R costituito da tutti gli elementi y corrispondenti dei
punti x appartenenti al dominio della funzione.
Rappresentare funzioni
diagrammi di Eulero –Venn e frecce
Gli insiemi di partenza e
di arrivo sono
rappresentati attraverso
diagrammi di E-V
La corrispondenza è
rappresentata dal
complesso delle frecce
che partono da ogni
elemento del primo
insieme ed arrivano su di
un elemento dell’altro
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Rappresentare funzioni
Rappresentare funzioni
Tabelle
grafici
Capitali
Gli elementi degli insiemi
europee
di partenza in entrata e di
arrivo sono elencati nelle
Roma
colonne di una tabella
La corrispondenza è
rappresentata da ciò che
lega gli elementi delle
due colonne
Temperature
max il
01/10/11
22
Parigi
15
Londra
13
Rappresentare funzioni
grafici
Gli elementi degli insiemi di
partenza sono tutti i numeri
reali, rappresentati su di una
retta orizzontale (asse delle x
o asse delle ascisse)
Gli elementi degli insiemi di
arrivo sono tutti i numeri
reali, rappresentati su di una
retta orizzontale (asse delle y
o asse delle ordinate)
La corrispondenza è rappresentata da una linea nel
piano cartesiano, che assume forme diverse in
relazione alla formula matematica che definisce la
funzione
Ci sono molti tipi di grafici
Nel caso di grafici di funzioni matematiche
nel piano cartesiano …
Classificare le funzioni
FUNZIONI
empiriche
matematiche
trascendenti
algebriche
intere
irrazionali
razionali
fratte
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Funzioni empiriche
Sono tutte le funzioni che non posso
rappresentare con una formula matematica
È una legge ottenuta mettendo a quantità
concrete ottenute empiricamente, cioè
attraverso osservazioni e misure
Le funzioni algebriche
Una funzione si dice algebrica se il legame che
esprime y in funzione di x si può ridurre a
un’equazione
algebrica
di
grado
qualsiasi
nell’incognita x.
Il valore di y si ottiene con un numero finito di operazioni di addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento di potenza,
estrazione di radice
Esempi di funzioni algebriche sono:
Le funzioni razionali intere
Le funzioni razionali fratte
Le funzioni irrazionali
Funzioni matematiche
Sono tutte quelle funzioni che posso
rappresentare con una formula matematica
Per indicare una funzione matematica si può
scrivere:

f: A
B che si legge: “f è una funzione
dall’insieme A all’insieme B

f: x

y = f(x) che si legge: “y uguale a effe di x”
y che si legge: “f fa corrispondere
all’elemento x l’elemento y”
Funzioni razionali
Sono tutte le funzioni in cui
compaiono le operazioni di
addizione/ sottrazione,
moltiplicazione/divisione, elevamento
a potenza
ma non l’estrazione di radice
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Funzioni intere
Sono tutte le funzioni espresse mediante
polinomi
Funzioni fratte
Sono le funzioni espresse mediante il
quoziente di due polinomi
cioè
Esempio: y = 3x4-7x2-x+12
Le funzioni in cui x compare al
denominatore
Funzioni irrazionali
Le funzioni trascendenti
Le funzioni che non sono algebriche si dicono
trascendenti.
Sono tutte le funzioni in cui la variabile
indipendente compare sotto il segno di radice
y  x2
Esempi di funzioni trascendenti sono:
Le funzioni goniometriche
Le funzioni logaritmiche
Le funzioni esponenziali
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CLASSIFICAZIONE DELLE
FUNZIONI
Funzioni trascendenti
Sono tutte le funzioni che non sono
algebriche
Alcuni esempi:
y = ex
f. razionali intere
y=
f. irrazionali
3
y = 2x  3
f. logaritmiche
f. esponenziali
DOMINIO E CODOMINIO DI
UNA FUNZIONE
da tutti i valori che può assumere la
x, si chiama DOMINIO della funzione o
dipende dal tipo di legame (espressione
tra la x e la y. Mentre le immagini y
A sono contenuti in un insieme B che si
f
X
y = senx
f. goniometriche
y = log x
DOMINIO
x 1
x 1
f. razionali fratte
TRASCENDENTI (funzione non algebrica):
y = cos x
L'insieme A, costituito
variabile indipendente
CAMPO DI ESISTENZA e
matematica) che c'è
corrispondenti alle x di
chiama CODOMINIO.
y = x3+ 3x2 - 7
Y
CODOMINIO
Il DOMINIO di una funzione è costituito dall'insieme dei valori
reali che può assumere la x affinché si possa determinare il
corrispondente valore della y.
y =log x (a>0; a=1)
y = ax
DOMINIO DI UNA FUNZIONE
Se la funzione è
RAZIONALE INTERA il dominio risulta:
per ogni valore di x appartenente a R
RAZIONALE FRATTA il dominio risulta:
per ogni valore di x appartenente a R ad esclusione dei valori
che annullano il denominatore Q(x)
IRRAZZIONALE INTERA(FRATTA) con indice del radicale dispari
allora il dominio è come quello delle RAZIONALI
INTERE(FRATTE)
IRRAZIONALE con indice del radiale pari il dominio risulta:
per ogni valore di x per cui il radicando è positivo o nullo
TRASCENDENTE ESPONENZIALE allora il dominio è come quello
delle funzioni RAZIONALI INTERE o FRATTE
TRASCENDENTE LOGARITMICA il dominio risulta:
per ogni valore di x per cui il allora si impone all’argomento di
essere positivo
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DETERMINAZIONE DEL DOMINIO
Funzioni razionali intere
Sono definite qualunque valore assume la
x (perché le operazioni presenti nella
funzione si possono eseguire qualunque è il
valore della x, e quindi si può determinare
sempre il corrispondente y).
y= 4x4-3x2+1
C.E.  x  R 
DETERMINAZIONE DEL DOMINIO
Funzioni razionali fratte
Sono definite qualunque valore assume la x
tranne che per i valori che annullano il
denominatore (perché le operazioni presenti
nella funzione si possono eseguire solo se il
denominatore è diverso da zero, in caso
contrario non esiste il corrispondente y).
y
x 1
C.E.  x  R-{1} 1)
x 2  1(1; 
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