31/10/2012 Introduzione FUNZIONI MATEMATICHE Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l’una rispetto l’altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico.. matematico La teoria dell’analisi delle funzioni è utilizzata in tutte le materie scientifiche Cos’è una funzione FUNZIONE è una particolare corrispondenza tra gli elementi di due insiemi che ad ogni elemento del primo insieme fa corrispondere uno ed un solo elemento del secondo insieme. DEFINIZIONE DI FUNZIONE MATEMATICA è una relazione di tipo matematico (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, estrazione di radice, potenza, ecc..), che ad un qualunque valore x (variabile indipendente), fa corrispondere una ed una sola y (variabile dipendente). f A X Y B NO! 1 31/10/2012 Il primo insieme Il secondo insieme f A X Y f A B X Y B Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato dominio Il secondo insieme, o insieme di arrivo , è chiamato: codominio della funzione Il dominio D (o Campo di Esistenza, o anche insieme di definizione) di una funzione è il più ampio sottoinsieme di R costituito da tutti e soli i valori della x per cui esistano finiti i corrispondenti valori di y = f(x). Rappresentare funzioni Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi, ad esempio con: Diagrammi di Eulero – Venn e frecce Tabelle Grafici della funzione Il codominio C di una funzione è il sottoinsieme di R costituito da tutti gli elementi y corrispondenti dei punti x appartenenti al dominio della funzione. Rappresentare funzioni diagrammi di Eulero –Venn e frecce Gli insiemi di partenza e di arrivo sono rappresentati attraverso diagrammi di E-V La corrispondenza è rappresentata dal complesso delle frecce che partono da ogni elemento del primo insieme ed arrivano su di un elemento dell’altro 2 31/10/2012 Rappresentare funzioni Rappresentare funzioni Tabelle grafici Capitali Gli elementi degli insiemi europee di partenza in entrata e di arrivo sono elencati nelle Roma colonne di una tabella La corrispondenza è rappresentata da ciò che lega gli elementi delle due colonne Temperature max il 01/10/11 22 Parigi 15 Londra 13 Rappresentare funzioni grafici Gli elementi degli insiemi di partenza sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle x o asse delle ascisse) Gli elementi degli insiemi di arrivo sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle y o asse delle ordinate) La corrispondenza è rappresentata da una linea nel piano cartesiano, che assume forme diverse in relazione alla formula matematica che definisce la funzione Ci sono molti tipi di grafici Nel caso di grafici di funzioni matematiche nel piano cartesiano … Classificare le funzioni FUNZIONI empiriche matematiche trascendenti algebriche intere irrazionali razionali fratte 3 31/10/2012 Funzioni empiriche Sono tutte le funzioni che non posso rappresentare con una formula matematica È una legge ottenuta mettendo a quantità concrete ottenute empiricamente, cioè attraverso osservazioni e misure Le funzioni algebriche Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime y in funzione di x si può ridurre a un’equazione algebrica di grado qualsiasi nell’incognita x. Il valore di y si ottiene con un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento di potenza, estrazione di radice Esempi di funzioni algebriche sono: Le funzioni razionali intere Le funzioni razionali fratte Le funzioni irrazionali Funzioni matematiche Sono tutte quelle funzioni che posso rappresentare con una formula matematica Per indicare una funzione matematica si può scrivere: f: A B che si legge: “f è una funzione dall’insieme A all’insieme B f: x y = f(x) che si legge: “y uguale a effe di x” y che si legge: “f fa corrispondere all’elemento x l’elemento y” Funzioni razionali Sono tutte le funzioni in cui compaiono le operazioni di addizione/ sottrazione, moltiplicazione/divisione, elevamento a potenza ma non l’estrazione di radice 4 31/10/2012 Funzioni intere Sono tutte le funzioni espresse mediante polinomi Funzioni fratte Sono le funzioni espresse mediante il quoziente di due polinomi cioè Esempio: y = 3x4-7x2-x+12 Le funzioni in cui x compare al denominatore Funzioni irrazionali Le funzioni trascendenti Le funzioni che non sono algebriche si dicono trascendenti. Sono tutte le funzioni in cui la variabile indipendente compare sotto il segno di radice y x2 Esempi di funzioni trascendenti sono: Le funzioni goniometriche Le funzioni logaritmiche Le funzioni esponenziali 5 31/10/2012 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzioni trascendenti Sono tutte le funzioni che non sono algebriche Alcuni esempi: y = ex f. razionali intere y= f. irrazionali 3 y = 2x 3 f. logaritmiche f. esponenziali DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE da tutti i valori che può assumere la x, si chiama DOMINIO della funzione o dipende dal tipo di legame (espressione tra la x e la y. Mentre le immagini y A sono contenuti in un insieme B che si f X y = senx f. goniometriche y = log x DOMINIO x 1 x 1 f. razionali fratte TRASCENDENTI (funzione non algebrica): y = cos x L'insieme A, costituito variabile indipendente CAMPO DI ESISTENZA e matematica) che c'è corrispondenti alle x di chiama CODOMINIO. y = x3+ 3x2 - 7 Y CODOMINIO Il DOMINIO di una funzione è costituito dall'insieme dei valori reali che può assumere la x affinché si possa determinare il corrispondente valore della y. y =log x (a>0; a=1) y = ax DOMINIO DI UNA FUNZIONE Se la funzione è RAZIONALE INTERA il dominio risulta: per ogni valore di x appartenente a R RAZIONALE FRATTA il dominio risulta: per ogni valore di x appartenente a R ad esclusione dei valori che annullano il denominatore Q(x) IRRAZZIONALE INTERA(FRATTA) con indice del radicale dispari allora il dominio è come quello delle RAZIONALI INTERE(FRATTE) IRRAZIONALE con indice del radiale pari il dominio risulta: per ogni valore di x per cui il radicando è positivo o nullo TRASCENDENTE ESPONENZIALE allora il dominio è come quello delle funzioni RAZIONALI INTERE o FRATTE TRASCENDENTE LOGARITMICA il dominio risulta: per ogni valore di x per cui il allora si impone all’argomento di essere positivo 6 31/10/2012 DETERMINAZIONE DEL DOMINIO Funzioni razionali intere Sono definite qualunque valore assume la x (perché le operazioni presenti nella funzione si possono eseguire qualunque è il valore della x, e quindi si può determinare sempre il corrispondente y). y= 4x4-3x2+1 C.E. x R DETERMINAZIONE DEL DOMINIO Funzioni razionali fratte Sono definite qualunque valore assume la x tranne che per i valori che annullano il denominatore (perché le operazioni presenti nella funzione si possono eseguire solo se il denominatore è diverso da zero, in caso contrario non esiste il corrispondente y). y x 1 C.E. x R-{1} 1) x 2 1(1; 7