APPLICAZIONI O FUNZIONI Dati due insiemi A e B, che chiamiamo

APPLICAZIONI O FUNZIONI
Dati due insiemi A e B, che chiamiamo rispettivamente "insieme di partenza" e "insieme di arrivo", si
dice funzione o applicazione f di A in B una legge che associ a ogni elemento di A uno e un solo elemento
di B. In simboli:
f
f : A  B oppure A 
B.
L'insieme A viene detto dominio della funzione f e si indica con Df.
Per ogni a є A, l'elemento b є B che in modo unico gli viene associato mediante la f è denotato con
f (a) e viene detto immagine di a secondo f.
L'insieme {f (a):a є A} delle immagini degli elementi di A secondo f si chiama codominio di f o
immagine di A in B e può essere indicato con il seguente simbolo: f [A].
Il sottoinsieme di A x B costituito dalle coppie (a; b) con a є A e b = /(a) є B si dice grafico G della
funzione.
A
B
Esempi.
1)
Siano dati i seguenti insiemi:
A = insieme delle persone di una città,
B = insieme dei cognomi.
La legge che associa a una persona un determinato cognome è una funzione di A in B in quanto
ogni persona ha un solo cognome; è evidente che la relazione inversa da B in A che associa ad
ogni cognome una persona non è una funzione in quanto ogni cognome in generale appartiene a
diverse persone.
2)
Siano dati i seguenti insiemi:
A = insieme delle automobili,
B = insieme delle targhe emesse.
La legge che associa a ogni automobile una determinata targa è una funzione di A in B; è
evidente che in questo caso è una funzione anche la relazione inversa da B in A.
3)
Dati gli insiemi:
A = { 1; 2; 3; 4 }
e
B = { 2; 4; 6; 8; 10; 15; 20 }
la legge che associa a ogni elemento di A il suo doppio è una funzione di A in B.
A
1
.
.
3
2
4
.
4.
6.
.
2
.
B
10
.
15
.
20
.
.
8
Il suo
costituito dalle coppie:
grafico
G
è
(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)
e il codominio della funzione f è l’insieme
Cf = {2; 4; 6; 8}.
A noi in particolare interessano le cosidette funzioni matematiche o analitiche, cioè quelle in cui il
dominio e il codominio sono insiemi numerici e la relazione che permette di associare ad ogni elemento del
dominio il corrispondente elemento del codominio si può esprimere mediante una equazione che lega i due
elementi.
Tale equazione indica le operazioni matematiche da eseguire su ciascun numero del dominio per ottenere il
corrispondente numero del codominio.
Per il seguito diamo quindi la seguente definizione:
Si dice funzione (reale di variabile reale) una relazione che lega due grandezze variabili tale che ad ogni
valore della prima variabile corrisponda un solo valore della seconda.
La prima grandezza viene detta variabile indipendente e normalmente indicata con x, mentre la
seconda viene detta variabile dipendente e normalmente indicata con y.
Il fatto che nella definizione si parli di variabile reale significa che i valori da assegnare ad x devono
essere numeri reali e, poiché anche la funzione deve essere reale, i corrispondenti valori di y devono essere
reali.
Si definisce, quindi dominio della funzione, l’insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile
indipendente x, in modo tale che i corrispondenti valori della variabile dipendente y siano reali e finiti.
Per indicare che la grandezza variabile y è funzione della grandezza variabile x si usano diverse
notazioni, ma le più comuni sono le due seguenti:
y = f(x)e
F(x ;y) = 0.
Nel primo caso , y = f(x) che si legge “y uguale effe di x”, si dice che la funzione è espressa in forma
esplicita.
Esempio: y = 3x2 +2x -1
Nel secondo, F(x ;y) = 0 che si legge “effe di x y uguale 0”, si dice che la funzione è espressa in forma
implicita.
Esempio: 2xy – x2- x +3 = 0.
L’insieme delle coppie ordinate di numeri reali x e y che verificano l’equazione y = f(x) o F(x ;y) = 0
costituiscono il grafico della funzione. Se si interpretano tali coppie di numeri come coordinate cartesiane di
punti e si riportano sul piano cartesiano si ottiene una linea, in generale curva, diversa per ogni funzione.
Tale linea si dice grafico cartesiano della funzione.
Esempi:
y = ax
y
a>1
x
y = ax
y
a<1
x
y = logax
y
a>1
x
y = logax
y
a<1
x
y = mx + q
Retta
Y
X
x2 + y2 + ax + by + c = 0
Circonferenza
Y
X
y = ax2 + bx + c
Parabola
Y
X
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI.
Le funzioni si possono classificare in base all’equazione che le rappresenta. In particolare una
funzione, y = f(x) o F(x ;y) = 0, si dice algebrica se la sua equazione si può scrivere nella forma P(x ;y) =0,
dove P(x ;y) rappresenta un polinomio in x e y. In questo caso il grado del polinomio P(x ;y) si dice grado
della funzione; quindi si può parlare di grado di una funzione solo quando la funzione stessa è algebrica. Si
può anche dire che una funzione y = f(x) è algebrica quando le operazioni da eseguire su ciascun valore della
x per calcolare il corrispondente valore di y sono di tipo algebrico (addizione, sottrazione, moltiplicazione,
divisione, potenza ad esponente razionale cioè potenza con esponente intero ed estrazione di radice). Le
funzioni algebriche si dividono poi in f. razionali e f. irrazionali : nelle prime fra le operazioni dette sopra
non compare la radice (o potenza ad esponente frazionario), mentre nelle seconde ovviamente sì. Infine sia le
f. razionali che quelle irrazionali si dividono in intere e frazionarie o fratte a seconda che fra le operazioni
di cui sopra manchi oppure no la divisione.
Tutte le funzioni che non sono algebriche si dicono trascendenti; per esse non ha significato parlare di
grado. Sono esempi di funzioni trascendenti la f. esponenziale y = ax , la f. logaritmica y = logax e le varie
funzioni goniometriche (es. y = sen(x), y = cos(x), y = tg(x)).
Esempi di funzioni algebriche.
y = 3x2 + 2x –1 (f. alg. razionale intera di 2° grado) y =
y=
x2  2
x 2  3x
(f. alg. razionale fratta di 3° grado)
y=
x5
(f. alg. irrazionale intera di 2° grado)
x 1
x 1
(f. alg. irrazionale fratta di 4° grado).
Classificazione delle funzioni.
(riepilogo riassuntivo).
Funzioni matematiche o analitiche
f. algebriche
razionali
intere
f. trascendenti
irrazionali
fratte
intere
fratte