DOMINIO di funzioni PREREQUISITI: Grafici delle principali FUNZIONI. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. Tutorial di Barberis Paola - 2009 FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE E’ UNA LEGGE che associa ad ogni valore di x uno ed un solo valore di y Il legame fra x ( variabile indipendente) e y ( variabile dipendente) si indica: y=f(x) forma esplicita oppure F(x,y)=0 forma implicita Si chiama DOMINIO l’insieme dei valori di x che rendono calcolabile la y Cioè sostituendo alla x un numero è possibile svolgere il calcolo e trovare la y . x !3 Esempio: nella funzione y =2x-3 il calcolo 2i(...) è sempre possibile per ogni numero sostituito alla x. Il suo Dominio è : qualunque x appartenente ai Reali: ∀x∈R CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzioni algebriche (operazioni algebriche fra polinomi) RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice): - Intere (x non compare nel Denominatore) Dominio: ∀x∈R - Fratte (x compare nel Denominatore) Dominio: Denominatore ≠ 0 IRRAZIONALI (x sotto radice) - Intere : Dominio se la radice ha indice pari : Radicando ≥ 0 Dominio se la radice ha indice dispari : ∀x∈R - Fratte : Denominatore≠ 0 e Radicando ≥ 0 (se indice pari) Funzioni trascendenti (non algebriche) y=ax y= logax esponenziale logaritmica Dominio: ∀x∈R Dominio: x > 0 ARGOMENTO > 0 funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente y= senx , y= cosx Dominio : ∀x∈R y= tgx Dominio: x≠ π/2+k π Dominio: funzioni razionali intere Esempi: y = 3x ! 4 2 2 1 y= x + x 5 3 x2 !1 y = 10 Si chiamano: - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice - INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore Le funzioni razionali intere hanno tutte Dominio: ∀x∈R cioè D:(-∞,+∞) (qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI) NB: In generale il risultato del Dominio D si può esprimere in due modi: scrivendo i valori della x, esempio: x<4 V x≥10 mediante intervalli numerici, esempio : (-∞,4)U[10,+ ∞) Ricordo che V significa “oppure” , U significa “UNIONE”. Dominio: funzioni razionali fratte a) x!4 y= x !5 b) x!4 y= 2 x !9 c) x 4 + 4 x !1 y= 10 ! x - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice - FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore Poiche’ la DIVISIONE per 0 è OPERAZIONE IMPOSSIBILE escludo le x che rendono il Denominatore uguale a zero. Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO x!5"0# x"5 Dominio D:(-∞,5)U(5.+∞) b) x 2 ! 9 " 0; x 2 " 9 # x " ±3; D:(-∞,-3)U(-3,+3)U(+3.+∞) c) 10 ! x " 0;+x ! 10 " 0 # x " +10; a) D:(-∞,10)U(10,+∞) Dominio: funzioni irrazionali a) y = 3x ! 4 b) y = x + 5x + 4 2 c) y = x !4 2 - IRRAZIONALI perché la x non compare sotto radice - INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore La radice con indice PARI di un numero negativo NON ESISTE! Pertanto devo risolvere la Condizione: RADICANDO≥0 4 3 D: [4/3 , +∞) a) 3x ! 4 " 0 # 3x " 4 # x " b) x 2 + 5x + 4 ! 0;" # > 0 " x $ %4 & x ! %1 D: (-∞,-4] U [-1,+∞) c) x 2 ! 4 " 0;# $ > 0 # x % !2 & x " +2 D: (-∞,-2] U [+2,+∞) Dominio: funzione logaritmica a) y = log(5x ! 10) b) y = log(x ! 5x) 2 c) y = log(x ! 16) 2 un logaritmo esiste solo se l’argomento è positivo. Pertanto devo risolvere la Condizione: ARGOMENTO >0 a) 5x ! 10 > 0 " 5x > 10 " x > 2 D: (2 , +∞) b) x ! 5x > 0;" # > 0 " x < 0 $ x > 5 D: (-∞,0) U (5,+∞) c) x !16 > 0;" # > 0 " x < !4 $ x > +4 D: (-∞,-4)U (+4,+∞) 2 2 Dominio: esercizi a) x!4 y= 2 x !1 b) y= x !x 2 c) y = log(2 ! x) Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni: a) Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo x 2 !1 " 0 # x 2 " 1# x " ±1 b) c) D: (-∞,-1) U (-1,+1) U(+1,+∞) 2 x !x"0 Pongo il radicando ≥0 x 2 ! x = 0 " xi(x !1) = 0 " x = 0, x = 1 ! > 0 " concordanza : x # 0 $ x % 1 E trovo risolvo l’equazione associata: D: (-∞,0) U (+1,+∞) Pongo l’argomento del logaritmo maggiore di zero 2 ! x >" !x + 2 > 0 cambio segni e verso x!2<0" x<2 D: (-∞,+2) Dominio: esercizi a) a) x!4 y= 4 x !1 b) y = x + 5x ! x !5 x ! 4 " 0; x ! 4 " 0; Pongo i due fattori diversi da 0 e ottengo: (x ! 2) " (x + 2) # 0; 2 x + 5x ! x !5 " 0 3 2 (x + 5)!(x "1) # 0 x + 5 ! 0 " x ! #5 x !1" 0 # x $ !1% x " +1 2 c) 3 c) y = x !9x 3 Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni: 4 4 2 b) 3 2 x !0 x !9 " 0 # x $ !3% x " 3 2 Pongo i due fattori ≥0 con il grafo dei segni si ottiene: x 3 ! 9x " 0 # x $ (x 2 ! 9) " 0 D:x ! " 2 # x ! 2 D :!5 " x " !1# x $1 Pongo i due fattori ≥0 con il grafo dei segni, si ottiene il risultato : D :!3 " x " 0 # x $ 3