DOMINIO di funzioni

DOMINIO di funzioni
PREREQUISITI:
Grafici delle principali FUNZIONI.
Calcolo di EQUAZIONI e
DISEQUAZIONI, intere e fratte.
Tutorial di Barberis Paola - 2009
FUNZIONE e DOMINIO
 LA FUNZIONE E’ UNA LEGGE che associa ad
ogni valore di x uno ed un solo valore di y
Il legame fra x ( variabile indipendente) e y ( variabile dipendente) si indica:
y=f(x) forma esplicita
oppure
F(x,y)=0 forma implicita
Si chiama DOMINIO l’insieme dei valori di x che
rendono calcolabile la y
Cioè sostituendo alla x un numero è possibile svolgere il
calcolo e trovare la y .
x !3
Esempio: nella funzione y =2x-3 il calcolo 2i(...)
è sempre possibile per ogni numero sostituito alla x.
Il suo Dominio è : qualunque x appartenente ai Reali: ∀x∈R
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
Funzioni algebriche (operazioni algebriche fra polinomi)
 RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice):
- Intere (x non compare nel Denominatore) Dominio: ∀x∈R
- Fratte (x compare nel Denominatore)
Dominio: Denominatore ≠ 0
 IRRAZIONALI (x sotto radice)
- Intere : Dominio se la radice ha indice pari : Radicando ≥ 0
Dominio se la radice ha indice dispari : ∀x∈R
- Fratte : Denominatore≠ 0
e
Radicando ≥ 0 (se indice pari)
Funzioni trascendenti (non algebriche)
y=ax
y= logax
esponenziale
logaritmica
Dominio: ∀x∈R
Dominio: x > 0 ARGOMENTO > 0
 funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente
y= senx , y= cosx Dominio : ∀x∈R
y= tgx Dominio: x≠ π/2+k π
Dominio: funzioni razionali intere
Esempi:
y = 3x ! 4
2 2 1
y= x + x
5
3
x2 !1
y =
10
Si chiamano:
- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice
- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
Le funzioni razionali intere hanno tutte
Dominio: ∀x∈R
cioè
D:(-∞,+∞)
(qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI)
NB: In generale il risultato del Dominio D si può esprimere in due modi:
 scrivendo i valori della x, esempio: x<4 V x≥10
 mediante intervalli numerici, esempio : (-∞,4)U[10,+ ∞)
Ricordo che V significa “oppure” , U significa “UNIONE”.
Dominio: funzioni razionali fratte
a)
x!4
y=
x !5
b)
x!4
y= 2
x !9
c)
x 4 + 4 x !1
y=
10 ! x
- RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice
- FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore
Poiche’ la DIVISIONE per 0 è OPERAZIONE IMPOSSIBILE
escludo le x che rendono il Denominatore uguale a zero.
Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO
x!5"0# x"5
Dominio D:(-∞,5)U(5.+∞)
b)
x 2 ! 9 " 0; x 2 " 9 # x " ±3;
D:(-∞,-3)U(-3,+3)U(+3.+∞)
c)
10 ! x " 0;+x ! 10 " 0 # x " +10;
a)
D:(-∞,10)U(10,+∞)
Dominio: funzioni irrazionali
a)
y = 3x ! 4
b)
y = x + 5x + 4
2
c)
y = x !4
2
- IRRAZIONALI
perché
la x non compare sotto radice
- INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore
La radice con indice PARI di un numero negativo NON ESISTE!
Pertanto devo risolvere la Condizione:
RADICANDO≥0
4
3
D: [4/3 , +∞)
a)
3x ! 4 " 0 # 3x " 4 # x "
b)
x 2 + 5x + 4 ! 0;" # > 0 " x $ %4 & x ! %1
D: (-∞,-4] U [-1,+∞)
c)
x 2 ! 4 " 0;# $ > 0 # x % !2 & x " +2
D: (-∞,-2] U [+2,+∞)
Dominio: funzione logaritmica
a)
y = log(5x ! 10)
b)
y = log(x ! 5x)
2
c)
y = log(x ! 16)
2
un logaritmo esiste solo se l’argomento è positivo.
Pertanto devo risolvere la
Condizione:
ARGOMENTO >0
a)
5x ! 10 > 0 " 5x > 10 " x > 2
D: (2 , +∞)
b)
x ! 5x > 0;" # > 0 " x < 0 $ x > 5
D: (-∞,0) U (5,+∞)
c)
x !16 > 0;" # > 0 " x < !4 $ x > +4
D: (-∞,-4)U (+4,+∞)
2
2
Dominio: esercizi
a)
x!4
y= 2
x !1
b)
y= x !x
2
c)
y = log(2 ! x)
Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni:
a)
Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo
x 2 !1 " 0 # x 2 " 1# x " ±1
b)
c)
D: (-∞,-1) U (-1,+1) U(+1,+∞)
2
x
!x"0
Pongo il radicando ≥0
x 2 ! x = 0 " xi(x !1) = 0 " x = 0, x = 1
! > 0 " concordanza : x # 0 $ x % 1
E trovo risolvo l’equazione associata:
D: (-∞,0) U (+1,+∞)
Pongo l’argomento del logaritmo maggiore di zero
2 ! x >" !x + 2 > 0
cambio segni e verso
x!2<0" x<2
D: (-∞,+2)
Dominio: esercizi
a)
a)
x!4
y= 4
x !1
b)
y = x + 5x ! x !5
x ! 4 " 0; x ! 4 " 0;
Pongo i due fattori
diversi da 0 e ottengo:
(x ! 2) " (x + 2) # 0;
2
x + 5x ! x !5 " 0
3
2
(x + 5)!(x "1) # 0
x + 5 ! 0 " x ! #5
x !1" 0 # x $ !1% x " +1
2
c)
3
c)
y = x !9x
3
Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni:
4
4
2
b)
3
2
x !0
x !9 " 0 # x $ !3% x " 3
2
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei
segni si ottiene:
x 3 ! 9x " 0 # x $ (x 2 ! 9) " 0
D:x ! " 2 # x ! 2
D :!5 " x " !1# x $1
Pongo i due fattori ≥0
con il grafo dei segni,
si ottiene il risultato :
D :!3 " x " 0 # x $ 3