Variabili aleatorie

Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Variabili aleatorie
Antonello Maruotti
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A. Maruotti
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Outline
1 Concetti base
2 Variabili aleatorie discrete
3 Variabili aleatorie continue
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Variabili aleatorie
Definizione formale
E’ una funzione definita sullo spazio campionario S che associa un
numero reale ad ogni evento elementare
Definizione informale
Variabile che assume determinati valori (modalità o realizzazioni)
con una certa probabilità.
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Variabili aleatorie: discrete e continue
Sono simili alle variabili statistiche quantitative. Si dividono in:
discrete, se l’insieme delle possibili realizzazioni è finito o
numerabile;
continue, se l’insieme delle possibili realizzazioni è un intervallo
della retta reale.
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Esempio
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Descrizione di una variabile aleatoria discreta
Valore Atteso: Media aritmetica delle realizzazioni pesata con
le rispettive probabilità
µ = E (X ) =
∑
xp(x )
x
Varianza: Media aritmetica degli scarti al quadrato pesata con
le rispettive probabilità
σ2 =
∑
(x − E (X ))2 p(x )
x
Osservazioni
Hanno lo stesso nome, significato e proprietà degli indici visti in
statistica descrittiva. L’unica differenza è che ora il sistema di pesi
non è dato dalle frequenze ma dalle probabilità.
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Trasformazioni lineari di variabili aleatorie
Il valore atteso e la varianza di una variabile aleatoria godono delle stesse
proprietà viste per la media e la varianza in statistica descrittiva.
E (a + bX ) = a + bE (X ),
V (a + bX ) = b 2 V (X )
Variabile aleatoria standardizzata
X − E (X )
X −µ
Z= √
=
σ
V (X )
E (X ) µ
− =0
σ
σ
V (X )
V (Z ) =
=1
σ2
E (Z ) =
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Esempi
Tempo di percorrenza tragitto casa Università;
Salario futuro;
Prezzo di unazione alla chiusura di domani;
Altezza di un individuo estratto casualmente da una
popolazione;
Istante di arrivo del bus;
Reddito di un individuo estratto casualmente da una
popolazione.
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Descrizione di una variabile aleatoria continua
Per le v.a. continue le probabilità sono assegnate ad intervalli
e non a singoli punti.
Allo scopo utilizziamo la funzione di densità di probabilità.
P(c ≤ X ≤ d) =
∫
d
f (x )dx
c
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Forma di una variabile aleatoria continua
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Funzione di ripartizione
La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X è definita
come
F (x0 ) = P(X < x0 )
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Osservazioni (1)
Se conosciamo la funzione di ripartizione possiamo calcolare in
modo molto semplice la probabilità di un qualsiasi intervallo
P(a < X < b) = F (b) − F (a)
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Osservazioni (2)
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Media e deviazione standard
∫
l2
xf (x )dx
E (X ) = µ =
∫
V (X ) = σ 2 =
l1
l2
l1
(x − µ)2 f (x )dx
Hanno lo stesso nome, significato e proprietà degli indici visti per
le v.a. discrete. Questo perché lintegrale non è altro che una
somma sul continuo
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A. Maruotti
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Concetti base
Variabili aleatorie discrete
Variabili aleatorie continue
Quantili
Data la variabile aleatoria continua X e la probabilità p,
chiameremo quantile di X associato a p il valore xp tale che
P(X < xp ) = p
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A. Maruotti
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