POLITECNICO DI BARI - SECONDA FACOLTA' DI INGEGNERIA - TARANTO
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Programma del corso di Analisi Matematica I (12 CFU)
A.A. 2011/2012 - Prof. C. Greco
ü Argomenti svolti
Insiemi numerici: maggioranti e minoranti di un insieme numerico, insiemi limitati e illimitati, minimo e massimo di un insieme
numerico. Insiemi separati e completezza di , teorema sull'esistenza del massimo dei minoranti, definizione di estremo inferiore di
un insieme numerico. Teorema sull'esistenza del minimo dei maggioranti, definizione di estremo superiore di un insieme numerico.
Insiemi contigui. Teorema sulle proprietà caratteristiche per gli insiemi numerici. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per la contiguità.
Funzioni e successioni: concetto di funzione, insieme di partenza, grafico, insieme di definizione. Primi esempi di funzioni: rette,
potenza n -esima e radice n - esima, funzioni definite "a pezzi", funzione valore assoluto e segno. Funzioni pari, dispari e periodiche;
operazioni sui grafici di una funzione: traslazioni, moltiplicazione per una costante, cambiamenti di scala. Relazione d'ordine, composizione di funzioni. Codominio di una funzione; funzioni surgettive ed ingettive, funzioni inverse, funzioni monotone. Maggioranti e
minoranti di una funzione. Massimi, minimi ed estremi di una funzione. Teorema sulle proprietà caratteristiche per le funzioni.
Successioni, progressioni aritmetiche e geometriche, successioni monotone.
Funzioni elementari: funzione esponenziale e logaritmo e loro proprietà. Misura degli angoli in radianti; funzioni trigonometriche
seno, coseno e tangente, definizioni, archi notevoli, principali proprietà e formule trigonometriche. Le funzioni inverse arcoseno,
arcocoseno e arcotangente e loro proprietà. Periodicità delle funzioni elementari e loro composte.
Limiti di funzioni e successioni: definizione di limite di una funzione nei vari casi; funzioni che non ammettono limite; limite a
sinistra e a destra. Nozione di intorno di un punto x0 œ ; intorni di ≤ ¶; definizione generale di limite. Teorema di unicità del limite;
teorema sulle operazioni con i limiti; forme indeterminate, limiti di polinomi e funzioni razionali fratte. Definizione di funzione
continua, teorema sulla continuità delle funzioni elementari, teorema sulle operazioni con le funzioni continue, teorema sulla forma
indeterminata ê0. Limiti delle funzioni razionali fratte negli zeri del denominatore. Teorema sul limite delle funzioni composte, limiti
di funzioni irrazionali. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Teorema della permanenza del segno per i limiti e teorema sulla
conservazione delle disuguaglianze; primo teorema di confronto per le funzioni. Secondo teorema di confronto per le funzioni.
Il limite limxØ0
sin x
x
e gli altri limiti notevoli collegati; prodotto di una funzione infinitesima per una limitata; somma di una funzione
divergente e di una limitata. Funzioni della forma f HxLgHxL ; calcolo dei limiti e forme indeterminate 00 , ¶0 , 1¶ . La funzione xa .
Teorema sul limite delle funzioni monotone.
Definizione di limite di una successione; teorema sul calcolo del limite di una successione; successioni monotone e teorema relativo;
criterio di confronto per le successioni. Sottosuccessioni; relazione tra limite di una successione e quello delle sue sottosuccessioni. La
1 n
1 x
successione I1 + n M e il numero di Nepero. Il limite notevole limxØ≤¶ I1 + x M e i limiti notevoli collegati.
Funzioni continue: teorema sulle operazioni con le funzioni continue; punti di discontinuità eleminabile, di prima specie (salto), di
seconda specie. Prolungamento per continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri; teorema dei valori intermedi, teorema
di Bolzano, teorema sull'intersezione di grafici. Uniforme continuità; teorema sulla continuità delle funzioni uniformemente continue;
teorema di Cantor.
Derivate: Derivata di una funzione e retta tangente. Funzioni non derivabili, derivata a sinistra e a destra, tangente a sinistra e a destra.
Punti angolosi e punti cuspidali. Derivate delle prime funzioni elementari. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili,
teorema sulle operazioni con le derivate, teorema sulla derivazione delle funzioni composte. Derivate di funzioni definite "a pezzi".
Derivate successive. Funzioni di classe CHnL e di classe C¶ . Significato fisico della derivata; tangenti e approssimazioni. Derivate delle
funzioni elementari: xa , ax , log x, log †x§. Derivate delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse. Derivate delle funzioni del
tipo f HxLgHxL . Significato fisico della derivata; tangenti e approssimazioni. Regola dell'Hôpital e sua applicazione al calcolo dei limiti in
forma indeterminata.
Applicazioni delle derivate: minimi e massimi relativi; teorema di Fermat, definizione di punto critico, teorema di Rolle, teorema
di Lagrange, teorema sul criterio di monotonia. Definizione di funzione concava o convessa, punti di flesso. Teorema sulla concavità e convessità. Applicazioni allo studio del grafico di una funzione. Punti angolosi e cuspidali. Teorema sul calcolo della
derivata a sinistra e a destra. Studio di grafici con punti angolosi o cuspidali. Studio di funzioni trascendenti. Studio di equazioni e
disequazioni trascendenti.
Integrali definiti. Trapezoide, plurirettangoli inscritti e circoscritti, somma inferiore e superiore. Teorema sulle proprietà delle somme
inferiori e superiori. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito. Teorema sulla condizione necessaria e
sufficiente per l'integrabilità. Integrale definito di f HxL = k, e di una funzione nulla salvo un numero finito di punti; integrale
definito di f HxL = x, e di f HxL = x2 . Funzioni non integrabili. Somma di Cauchy. Teorema sull'integrabilità delle funzioni continue e teorema sull'integrabilità delle funzioni monotone. Teorema sulla linearità dell'integrale; indipendenza dell'integrale dal
valore della funzione in un numero finito di punti. Teorema sull'additività rispetto all'intervallo di integrazione; teorema sulla monotonia dell'integrale. Teorema della media. Definizione di primitiva (o antiderivata), teorema sulle funzioni a derivata nulla, teorema
sulla differenza di due primitive. Definizione di funzione integrale e teorema sulla funzione integrale. Teorema fondamentale del
calcolo integrale.
Integrali indefiniti. Concetto di integrale indefinito, tabella degli integrali indefiniti immediati e di quelli immediati generalizzati.
Integrazione per decomposizione e integrazione per parti. Formule di ricorrenza. Integrazione di funzioni razionali fratte del tipo
PHxL
,
QHxL
dove QHxL è un polinomio di primo o secondo grado, e PHxL è un polinomio di grado qualsiasi. Integrali particolari. Integrazione per
sostituzione. Calcolo degli integrali indefiniti. Calcolo per parti e sostituzione. Funzioni non integrabili elementarmente: esempi
notevoli. Calcolo di integrali definiti.
Infinitesimi ed infiniti. Generalità su infinitesimi e infiniti; infinitesimi e infiniti campione; ordine di infinitesimo e di infinito;
funzioni infinitesime o infinite di ordine infinitamente grande o piccolo. Calcolo dell'ordine di infinitesimo o di infinito.
Integrali impropri. Integrali impropri in D a, bD; assoluta integrabilità; caso delle funzioni limitate; funzioni non limitate in D a, bD,
Teorema del confronto per gli integrali impropri in D a, bD. Teorema sul criterio dell'infinito. Caso degli intervalli @a, b@ e D a, b@.
Integrali impropri in @a, +¶@; assoluta integrabilità. Teorema del confronto per gli integrali impropri in @a, +¶@. Teorema sul criterio
dell'infinitesimo. Caso degli intervalli D - ¶, aD e D - ¶, +¶@.
Formula di Taylor. I polinomi di Taylor. Teorema sulla formula di Taylor per i polinomi. La formula di Taylor. Teorema sul resto
n -esimo della formula di Taylor. Teorema sulla formula di Taylor col resto di Peano. Applicazioni alla ricerca dei minimi,
massimi e flessi per le funzioni di una variabile: teorema sul test della derivata n -esima. La formula di Taylor col resto di
Lagrange: applicazioni all'approssimazione di costanti numeriche e di funzioni con errore fissato; applicazioni al calcolo approssimato
di integrali.
Serie numeriche. Definizione di serie numerica, somma parziale, serie convergenti, divergenti e indeterminate. La serie di Mengoli.
La serie geometrica. Teorema sulla distributività della moltiplicazione per le serie. Teorema sulla condizione necessaria per la
convergenza; serie a termini positivi e teorema sul carattere di una serie a termini positivi, teorema del confronto per le serie, la
+¶
1
serie armonica e la serie ‚ 2 . Serie assolutamente convergenti. Teorema sul criterio del rapporto, teorema sul criterio della
n
n=1
radice, relazioni tra serie e integrali e teorema sulla serie armonica generalizzata. Teorema sul criterio dell'infinitesimo. Serie
alternanti e teorema sul criterio di Leibnitz. Serie armonica generalizzata a segni alterni.
Successioni di funzioni: insieme di convergenza puntuale di una successione di funzioni; funzione limite puntuale di una successione
di funzioni.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale ed assoluta delle serie di funzioni. Serie di potenze, teorema sull'insieme di convergenza di
una serie di potenze, raggio di convergenza. Teorema del rapporto per le serie di potenze, teorema della radice per le serie di
potenze. Serie di Taylor, serie di MacLaurin, funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Esempi di funzioni non sviluppabili in serie di
Taylor. Teorema su una condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi in serie di Taylor di alcune
funzioni elementari.
Avvertenze: bisogna conoscere tutte le definizioni e tutti i concetti introdotti nel corso, sapendo illustrare ciascuno di essi con appropriati esempi. Di ogni teorema è necessario conoscere l'enunciato, e sapere indicare il ruolo di ogni ipotesi mediante adeguati esempi e
controesempi. Degli argomenti indicati in grassetto è necessario conoscere anche la dimostrazione.
ü Testi consigliati
1°)
Bramanti-Pagani-Salsa: Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2, Zanichelli.
2°)
Marcellini-Sbordone: Esercitazioni di matematica, I° e II° Volume, Liguori.
3°)
Dispense del corso.
