Programma del corso di Analisi Matematica III
Corso di Laurea in Matematica – II anno
a.a. 2016/2017 – Prof. Diego Pallara
1. Successioni e serie di funzioni: Definizione di convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni;
convergenza puntuale, uniforme, totale di serie di funzioni. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno
di derivata e di integrale. Serie di potenze: raggio di convergenza, derivazione e integrazione serie di
potenze, Serie di Taylor. Serie di Fourier: funzioni periodiche, serie trigonometriche, funzioni regolari a
tratti, coefficienti e serie di Fourier. Teorema della convergenza puntuale, totale e uniforme delle serie di
Fourier (senza dim.). Uguaglianza di Parseval.
2. Equazioni differenziali ordinarie. Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie di tipo normale. Problema di Cauchy per l’equazione del primo ordine e relativo teorema di esistenza ed unicità locale. Teorema
di esistenza ed unicità locale per l’equazione di ordine n. Prolungamento delle soluzioni e soluzioni massimali. Teorema sulle soluzioni globali. Equazioni a variabili separabili ed equazioni del primo ordine di
tipo omogeneo. Equazioni differenziali lineari. Lo spazio delle soluzioni dell’equazione lineare omogenea e
relativo teorema. Risoluzione delle equazioni omogenee a coefficienti costanti e delle equazioni omogenee
di Eulero. Metodo della variazione dei parametri. Equazioni lineari a coefficienti costanti con termine
particolare. Equazioni di Bernoulli. Equazioni autonome del secondo ordine.
3. Integrali doppi e integrali tripli. Insiemi normali in R2 e relativa misura. Integrali doppi di funzioni
continue su insiemi decomponibili in insiemi normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi.
Coordinate polari nel piano. Integrali doppi generalizzati. Formule di Gauss-Green in domini piani
regolari. Formula di Stokes nel piano. Formule per il calcolo dellarea di un dominio piano regolare.
Insiemi normali in R3 e relativa misura. Integrali tripli di funzioni limitate su insiemi decomponibili in
insiemi normali. Metodi di calcolo per integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli.
Coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Integrali tripli generalizzati.
4. Superficie e integrali superficiali. Superficie regolari. Piano tangente e versore normale. Alcune superficie
notevoli. Area di una superficie. Integrali superficiali di funzioni reali. Integrali superficiali di campi
vettoriali. Flusso attraverso la frontiera di un dominio regolare in R3 . Teorema della divergenza. Superficie
regolari con bordo. Formula di Stokes e sue conseguenze nel caso di campi irrotazionali.
5. Funzioni definite implicitamente. Teorema di U. Dini e teorema dell’invertibilità locale. Massimi e minimi
vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Testi consigliati:
E. Acerbi, G. Buttazzo: Secondo corso di Analisi Matematica, Pitagora;
A. Albanese, A. Leaci e D. Pallara, Successioni e serie di funzioni, note disponibili on line
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi matematica II, Liguori;
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. II, Liguori;
G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di Analisi due, Zanichelli/decibel;
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi matematica II, Zanichelli.
